ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 58
Скачиваний: 0
32 |
Глава 1 |
уравнения Эйнштейна, следует из тождества (1.2.9), согласно которому х)
л
вВтп
так что
й(Д V i) |
б ((0)Д V j) |
$&тп |
$£тп |
Конкретный расчет [3] приводит к результату:
6 (^ д _У г) _ _ у ~ |
|
A-gmni?1 . |
(1.5.12) |
|
offmn |
L |
^ |
J |
|
Подставляя это равенство в (1.4.19) и сравнивая с урав нениями (1.5.1), находим выражение
ym n = ___ 2 |
U |
_ 2 |
G |
|
|
ЬХ |
6jg |
(1.5.13) |
|||
V g |
5е ТПП |
V g |
тпп |
||
|
для симметричного тензора энергии-импульса.
§ в. Дифференциальные законы сохранения
Под дифференциальным законом сохранения мы пони маем выполнение уравнения непрерывности в частных • производных вида
Особое”значение имеет использование частных, а не ковариантных производных в связи с переходом к интеграль ной формулировке закона, так как, если бы вместо частной производной стояла ковариантная производная, такой
переход был бы невозможен.
о
Поскольку лаграижева плотность Л неметрического поля, как уже говорилось, должна быть инвариантом (скаляром) относительно преобразований координат, для
J) Тождество (1.2.9) при данных здесь определениях неприме нимо к величинам, содержащим вторые производные потенциалов; все будет вполне корректно, если вариационную производную в нем понимать согласно формуле, приведенной в примечании на стр. 25.— Прим, перев.
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 33
нее справедливы все соотношения, выведенные в § 4. Основные из них мы. выпишем здесь для этого частного случая. Так как все практически встречающиеся лагранже- 1!ы плотности ие зависят явно от координат, для них
( ■ й ) „ „ г 0 " е “ ° |
(i.o -i) |
Величины (1.4.6а) и (1.4.66) при учете (1.5.13) и (1.4.20)
принимают вид
и |
и |
|
и |
|
|
|
|
дХ |
|
[ Ч* а |
(1.6.2а) |
||
T ta= X g ia— Пйа£/о ( |
|
|||||
%mn, а |
§тп, t "Г A-'t , |
|||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
- n Qas nТтiUt- |
дХ |
’ ь!т |
(1.6.26) |
||
|
jr tam |
|||||
|
|
|
|
dgn |
|
|
где £/rt = |
Tta У g, |
причем соотношения |
(1.4.8) — (1.4.10) |
|||
при использовании геометрических объектов, для которых
*5пг = 0, и |
учете уравнении |
неметрических |
полей (1.4.20) |
|
переходят |
в |
|
|
|
|
а\ |
I ^ |
_rj |
(1.6.3) |
|
— &1 /, |
|
§mn,t — |
|
|
и |
и |
|
(1.6.4) |
|
rtm+ T tam. a = о, |
|||
|
и |
|
0. |
(1.6.Р) |
|
T tima) = |
|||
Соотношение (1.4.11) выполняется тождественно, а (1.4.12) принимает вид
Г Г . т .« = 0, |
(1.6.6) |
тогда какиз(1.4.13) или (1.4.14) следует
T im,m = 0. |
(1.6.7) |
Далее ввиду (1.5.13) соотношение (1.4.15)можно записать в виде
£а<. <- у £ МПгтП.а = 0, |
(1-6.8) |
3 - 0 1 3 5 0
S4 |
I'ласа 1 |
|
a (1.4.16) |
и (1.4.17) — n виде |
|
|
J tba = T.tbxn-\-Ttba, |
(1.6.9) |
|
e f r \ b = 0. |
(1.6.10) |
Однако положение существенно меняется при формули-
и G
ровке теоремы Нётер для лаграпжевой плотности А = А + Л подпой системы полей, где гравитационное поле представ лено эйнштейновской лаграпжевой плотностью; в этом
G
случае ввиду иеннвариантиой природы Л лагравжева плотность А инвариантна лишь относительно линейных преобразований. Ввиду этого обстоятельства следует опи раться на полное соотношение (1.4.7), откуда
Е 'ГЛ „ -!- |
{Г Г + 7 Т , „] = о, |
(1 .6 .1 1 ) |
так что |
|
|
Т Г . а = 0 |
(1.6.12) |
|
и |
|
|
Г Г = - Г Г . т. |
(1-6.13) |
|
Две последние формулы приводят к соотношению |
|
|
Г Г . т . а - 0. |
(1.6.14) |
|
Вместо (1.4.10) мы имеем здесь |
|
|
aJ/tba = |
T tbxa -1 T tba. |
(1.6.15) |
Для этой вслпчипы справедливо соотношение, аналогич ное (1.4.17):
о1/Г\ь- -~0. (1.6.16)
Канонические комплексы энергии-импульса метрического и неметрических полей определяются следующим образом:
|
|
|
|
G |
|
(1.6.17) |
|
(паи),*, а |
: |
ах |
ёт п , I <£&l 1 |
||
г- |
■Ь/ |
|
dgn |
и |
|
|
и |
|
|
|
|
||
(каю,7- п |
^«5? |
|
|
|
ОХ |
|
4,1 |
0U, |
■Ua, t + |
т ,1 — % ё Г - |
( 1 . 6 . 1 8 ) |
||
|
Q, а |
|
|
|
|
|
Непрерывные симметрии п общерел. класс, теории поля 35
Соответственно для полного ноля имеем
, , |
, ,с |
, .и |
|
(naii)ij а __ (iiaii)rj-^a _j_ (nan)^. n |
(1.6.19) |
||
|
|
|
|
причем соотношение (1.4.6a) записывается теперь как
T ta = |
(нам)с? а , |
( 1. 6. 20) |
н из (1.6.12) следует
(ЮШ)£Д в = ;о. |
(1. 6.21) |
Для полноты мы приведем здесь также соотношения, получающиеся из выведенных выше в случае
G
|
|
Л ^ Л . |
|
|
|
|
|
||
Запишем сначала определения |
|
|
|
|
|
||||
G |
г |
G |
|
„ |
|
0 |
|
, G |
„ |
Т а |
-- JsSt |
дХ |
|
|
« |
SZ |
|||
|
°ьтп, a |
Sinn, i |
|
4 |
|
gml -- |
|||
|
|
|
|
e"4 |
VHma |
|
|||
|
и |
W i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
an am_ |
и ^<2? |
|
g/n |
|
||||
|
1 1 |
|
Z Os |
a |
|
||||
|
|
|
|
иьтп, |
|
|
|
|
|
и
J tba= T tbxa+ T tba,
(1.6.22)
(1.0.23)
(1.6.24)
а затем соотношения, которым они удовлетворяют
T ta. a = — (£<° + (Ka,° l in), 0 = 0,
G |
|
G |
ern m |
err* am |
|
У |
t — — У t , a> |
|
G
r * m°.m.a = 0,
J t ba. b = 0.
(1.6.25)
(1.0.26)
(1.6.27)
(1.6.28)
Для канонического комплекса энергии-импульса метри ческого (гравитационного) поля, именуемого также эйн штейновским псевдотензором гравитационного поля, из
3 *
(1.6.17) при подстановке (с дифференцированием) (1.5.7) следует выражение
.hr
— {Q)Rg,a . (1.6.29)
Заметим, кроме того, что вследствие (1.6.18) соотношение (1.6.2а) может быть приведено к виду
(1.6.30)
и в силу (1.6.7) справедливо равенство
(1.6.31)
Итак, мы привели здесь всю совокупность дифферен циальных соотношений, следующих из теоремы Иётер при сделанных выше предположениях. Теперь остается дать нм правильное физическое истолкование.
Прежде всего сделаем некоторые замечания по поводу симметричного тензора энерпш-пмпульса (1.5.13). Соглас но результатам, полученным Розепфельдом [6], дифферен цирование по метрическому тензору и его производным удается частично выразить через дифференцирование по функциям неметрических полей и их производным. Клю чевым пунктом при этом является использование свойства антисимметрии (1.6.5), имеющего место для лагранжианов первого порядка. В самом деле, используя обозначение
(1.6.32)
находим
Непрерывные |
симметрии в общерел. класс, |
теории |
поля 37 |
||
н далее, путем |
соответствующей |
перестановки |
индексов |
||
и комбинирования членов, получаем |
|
|
|||
Г тт - -1- [пЖШт+ сШЫт + |
М тЫ- |
S£imh- |
- |
3 £'nih), |
|
|
|
|
|
|
(1.6.33) |
так что в силу |
(1.6.4) из |
(1.6.30) |
имеем |
|
|
|
|
, .и |
_j_ |
|
|
|
_0‘ЭН) |
|
|
||
+ y [g,h {M h™ + M ahm+ f f l m* - - M hma- m amh- 3 e nha)i м. (1.6.34)
В частности, если для полей выполняется свойство
последнее выражение принимает простои вид:
£ га = 0<ам)^„ + {glh^ a h l ^ |
(1 .6 .3 5 ) |
В частнорелятивистском случае выражение (1.6.34) тожде ственно совпадает с построенным ad hoc тензором Белин-
фанте [7].
Дадим еще раз сводку дифференциальных законов сохранения, важных для физической интерпретации ре зультатов. Так как мы потребовали выполнения уравне ний полей, то из соотношения (1.4.2), связанного с функ циональными преобразованиями, следует дифференциаль
ный закон сохранения |
|
|
|
[ГГ™8gmn + |
n Qo6f/й + 60“], а = 0. |
(1.6.36) |
|
Ввиду равенства (1.6.25) |
величину |
|
|
(пшп° £ za = |
-f (Ke,,)£ te = |
-!- tt“ |
(1.6.37) |
естественно назвать полным комплексом энергии-импульса
полного поля, ибо для нее
(поли)^. а |
(1.6.38) |
V . a = 0. |