ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 59
Скачиваний: 0
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 27
Наконец, из (1.4.8) и (1.4.13) следует результат
f ьзе |
|
9 |
6j? „ |
) |
|
|
\бс/й |
SaratUT 2 ,-----gmt > , а |
— |
|
|||
|
|
5JS |
|
бх |
|
|
|
|
Sgг. |
gnu, I- |
(Uа, t+ Sat) = 0. |
(1.4.15) |
|
С учетом |
определения |
|
|
|
||
|
|
S , ba = |
(T tb- |
Пп% |
г + O g b) ха+ T iba |
(1.4.16) |
уравнению (1.4.12) можно придать интересную форму:
v/ftba,b = 0. |
(1.4.17) |
Этими соотношениями исчерпывается содержание нётеровского тождества (1.4.3). Здесь особенно важны соот ношения (1.4.13) и (1.4.17), так как они имеют вид диф ференциальных законов сохранения в частных (а не кова-
риантиых) дивергенциях. Соотношения такого типа назы вают сильными законами сохранения, так как равенство нулю частных дивергенций следует в них исключительно в силу свойств симметрии лагранжиана. В противопо ложность этому соотношение (1.4.8) имеет характер так называемого слабого закона сохранения, ибо здесь дивергенциальпое выражение обращается в нуль лишь вслед ствие выполнения уравнений поля, т. е. при равенстве нулю вариационных производных лагранжиана. Вообще говоря, физический смысл имеют именно слабые законы сохранения 1).
Отметим, наконец, что величины jr t amносят название суперпотенциалов, так как из них, согласно соотношению (1.4.9), путем дифференцирования следуют величины f ' tm, связанные, как покажет дальнейшее физическое рассмотре ние, с комплексом энергии-импульса.
Теперь целесообразно произвести еще разбиение лагранжевых плотностей и соответственно функций Лагран
1) Итак, вод слабыми соотношениями понимают такие, которые выполняются лишь при учете уравнении ноля (наряду со свойства ми инвариантности); в отличие от сильных соотношений, отражаю щих только свойства инвариантности конструкций типа лагран жианов, слабые соотношения, очевидно, насыщены п физическим Содержанием.— Прим, перев.
28 |
Глава 1 |
жа на чисто гравитационную (метрическую) часть и неме трический остаток:
G U |
и |
G U |
(1.4.18) |
Л = Л + Л |
£ = £ + %, |
||
при этом |
|
|
|
G G |
и |
U U |
|
£ = A V g |
£ — A]Yg. |
|
Пусть введенные функции имеют следующую структуру:
G G
A = A{gmn, gjnn. а! £ )i
ии
A = A(Uq, UQ, a! Smni Smn, Ь>&)•
При этих предположениях из (1.2.7) следуют уравнения метрического поля
8 Х |
д Х |
G |
|
|
|
|
|
= дХ |
(■ 4 . \ + |
|
|
||||
§Втп |
дВтп |
V дВтп, а > • а дВтп |
V дВтп, а /• а |
|
|
||
|
|
U |
U |
|
|
|
|
|
|
дХ |
- ( т г ^ — ) |
|
= ° |
(1-4-19) |
|
|
|
дВт-п |
. а |
||||
|
|
\ д Втпп, а I |
|
4 |
' |
||
и уравнения неметрических полей
8Х |
и |
и |
|
|
8 Х |
д Х |
|
|
|
8Un |
бС/о |
оип |
( щ - А . = ° - |
{1Л20} |
Естественно разбить (1.2.4) па две части: |
|
|||
|
|
G |
и |
(1.4.21) |
|
Ya = Ya- |
Y a, |
||
где |
|
|
|
|
|
У “ = |
^ Г Г % , „ |
|
|
и |
|
Ув |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ya = -jr=.H |
8.Uq. |
(1.4.22) |
|
|
|
У в |
|
|
Так как эти части ие зависят друг от друга, мы распростра ним на каждую из них наше требование тензорности, если примем за основу обзцековариантную формулировку прин
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 29
ципа Гамильтона. Поскольку лаграижевы плотности
и
имеющих физический смысл полей Л сами являются инва
риантами относительно преобразований координат, наше
и
требование автоматически удовлетворяется для Y a. Что же
G
касается Y a, то здесь требуется специальное рассмотрение.
§ 5. Эйнштейновские уравнения гравитаг^иониого поля
Общая запись уравнений гравитационного (метрическо го) поля представлена в (1.4.19) в форме уравнений Лагран жа. Возникает вопрос: совпадают ли эти уравнения с известными уравнениями Эйнштейна
Rur~~2 ghiR — HTh!. |
(1.5.1) |
Здесь |
|
. „ + Ш - Ш |
(1.5.2) |
С } |
— тензор Риччи,
?О II ttj
(1.5.3)
— инвариант кривизны (скалярная кривизна), Thl — симметричный тензор энергии-импульса материи х) и
-------2 Yjv . |
—2,08• 10-48 г-1 см-1 с2 |
(1.5.4) |
« - С4 |
— эйнштейновская гравитационная постоянная. В послед ней формуле с = 3-1010 см*с-1 — скорость света в вакууме, y N = 4я-6,67-10_8 см3*г-1с~2 — ньютонова гравитационная
1) Обычно в физике под «материей» понимают совокупность вещества п всех полей, кроме гравитационного (поля метрического тензора), хотя последнее и обладает основными атрибутами мате рии в более широком понимании.— Прим, перев.
30 |
Глава i |
постоянная1). В выражении (1.5.2) использовано обозна чение
Sam, I ~\~8la, т Sail, а) |
(1.5.5) |
для символов Кристоффеля 2).
Вычисления приводят к выводу, что уравнения (1.5.1) вытекают из (1.4.19) для двух подробно исследованных в литературе лагранжевых плотностей. Первая из них имеет вид
о |
р |
(1.5.6) |
А |
= — — R (ковариантный случай). |
Эта лагранжева плотность совпадает со скалярной кривиз ной с точностью до множителя, дающего нужную раз мерность. Это — лагранжева плотность второго порядка, т. е. она содержит вторые производные метрического тензора и поэтому выходит за рамки нашего анализа 3).
а) Чаще ньютонову |
гравитационную |
постоянную определяют |
без множителя 4л, что |
соответствует аналогу гауссовых единиц |
|
в электродинамике.— Прим. перев. |
Кристоффеля, в литера |
|
-) Кроме этого обозначения символов |
||
туре используется (и притом чаще) также обозначение Г ^ .— Прим. •
перев.
3) Если в лаграпжевой плотности (1.5.6) символы Кристоффеля не считать независимыми, то, действительно, уравнения в форме (1.4.19) оказываются непригодными, и вместо них приходится писать уравнения для лагранжиана со вторыми производными потенциала
Однако существует и другой подход (метод Палатнни, уже упомя нутый нами в примечании на стр. 25), когда метрический тензор и символы Кристоффеля варьируются (собственно вариации!) неза висимо друг от друга. Тогда для лаграпжевой плотности (1.5.6) в качестве уравнений Лагранжа подучаются как уравнения Эйнвк тейна (1.5.1) (варьирование но метрическому тензору gm]l), так и «уравнение» для символов Кристоффеля (1.5.5) (варьирование но этим последним). В теореме Нётер, учитывающей законы преобра зования нолевых величин, при этом необходимо пользоваться обоб щенным законом преобразования для символов Кристоффеля, ука занным в примечании на стр. 25).— Прим, перев.
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля |
31 |
Подробный анализ показывает [3], что построенный с ее помощью комплекс энергни-импулъса неудовлетворителен с точки зрения физики. Хотя в этом случае принцип Гамильтона записывается в общековариаптиом виде, что подчеркивает особо ценимую в общей теории относитель ности общую ковариантность, все же эта лагранжева плотность не оправдывает себя в ряде узловых пунктов, как детально было показано Мёллером [5] 1).
В эйнштейновском варианте лаграпжева плотность имеет вид
A = ^ |
iQ)R. |
(1.5.7) |
При этом определение |
исходит из следующих соот |
|
ношений: |
|
|
Я = (Q)R + ЩЯ = Ф)Я — (Q)i?, |
(1.5.8) |
|
|
|
(1.5.9) |
|
|
(1.5.10) |
|
|
(1.5.11) |
Индексы Q п L использованы для того, чтобы подчеркнуть, что мы имеем дело с выражениями квадратичными и линейными соответственно по символам Кристоффеля (и их производным). Индекс D указывает на то, что речь идет о дквергенциалыюм выражении. Тот факт, что обе приведенные лагранжевы плотности дают одни и те же
х) Читатель должен иметь в виду, однако, что проблема энер- гип-импульса далеко еще не решена в общей теории относительно сти, и пока преждевременно выносить категорическое суждение против инвариантной лаграижевон плотности в пользу эйнштей новского лагранжиана. См. дальнейший анализ в этой книге и в ре комендуемой литературе, в частности [25—27]. Что касается работ [5], то последняя из них, вышедшая несколько раньше первой, была затем более подробно изложена на русском языке [25], хотя в это изложение не вошел анализ принципа простоты лагранжиана.—
Прим, перев.