ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 63
Скачиваний: 0
44 |
|
Глава 1 |
|
|
zi = a.-4(+) |
и д'1 = |
x'\_i бесконечно |
близки друг к другу, |
|
получаем вместо |
последнего |
уравнения |
||
-^Г |
J P V ~gd«'x= - |
j f |
Y^T^ckJa (1.7.11) |
|
*4=const |
|
(Уз) |
|
|
уравнение баланса исследуемой величины. При обращении в нуль правой части этого уравнения (с учетом взаимно обратных ориентаций интегрирования) вместо уравнения баланса мы получаем закон сохранения
dQ__ j_ |
^ l i * V g d f3'x = 0, |
(1-7.12) |
|
dx‘l |
с |
||
который имеет место, если в пространственно ограничен ной области количество втекающей величины равно коли честву вытекающей или в пространственно бесконечной области трехмерная плотность тока убывает на бесконеч ности быстрее, чем растет величина охватывающей область поверхности. После этого чотырехмерного перехода от дифференциального к интегральному закону сохранения поучительно рассмотреть, как проводится такая же про цедура в трехмерном варианте. При этом целесообразно исходить из равенства (1.7.2), придав ему предварительно впд
Умножая это равенство на cli3)x — dx1 dx2 dx3 и интегри руя по заданной пространственной области ж4 = const, получаем
j ? V g d ' » x = - |
{ ( f Y g ) , * d « > x . |
(1.7.13) |
x4=COnst |
X‘l=ConSt |
|
В рассматриваемом пока случае А, когда /т — 4-вектор, величина jm]/"g преобразуется при чисто пространствен ных преобразованиях координат как трехмерная вектор ная плотность. Поэтому в правой части полученного равенства можно коварпантиым образом (независимо от выбора координат) прнмоппть теорему Гаусса и перейти от интеграла по объему к интегралу по ограничивающей этот объем поверхности. Если при этом принять сделанные
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 45
выше предположения, то поверхностный интеграл обратит ся в нуль, и мы придем к формулировке интегрального закона сохранения в виде (1.7.12).
Случаи Б (coxpancHsic энергии-импульса)
В этом случае величина J ..m ие является плотностью тензора первого ранга. Собственно говоря, мы имеем теперь в виду уравнение (1.6.38) как выражение диффе ренциального закона сохранения (1.7.1), так что полагаем
J «I _ (ИОЛН)<£ ш
Таким образом, исходным пунктом нашего анализа теперь является локальный закон сохранения энергии-импульса
(ПО1Ш)£ Л т = 0. |
(1.7.14) |
В отличие от случая А при интегрировании по четырехмериой области, изображенной на фиг. 1, мы не можем здесь, вообще говоря, ковариантно (т. е. в произвольной системе координат) применить теорему Гаусса. Поэтому преобразование, проделаииое в (1.7.3), невозможно, п сле дует выяснить, при каких условиях интегралу по 4-объему
I I |
(поли),?. т |
m<2,4'/=J (П0Л!!)г8m.md“'x |
|
||
Vi Vи g6 |
|
Vi |
можно придать вид поверхностного интеграла. Мы можем, конечно, избавиться от интегрирования по 4-объему, так как каждый член в этой сумме сводится к необходимому иам дифференциалу, но объединить результат таким обра зом, чтобы получился интеграл по замыкающей гипер поверхности, можно лишь в предположении об определен ной топологической структуре координатпых линий. Наша цель не может быть достигнута в сферических (поляр ных) координатах; для этого нужна такая система коорди нат, в которой каждая из координатных линий дважды пересекает границу области. Назовем такие координаты
координатами протяженности (Langenkoordinaten). Как правило, возможность ввести координаты протяженности реализуется лишь в предположении об островном распре делении тензора энергии-импульса.
46 |
■1'ла.аа 1 |
В таком случае из дифференциального закона (1.7.14) по аналогии с (1.7.3) следует уравнение
(иолп)<'> т
Z'mdfm-
dfm + i |
j -i= |
“ d/ = 0 , |
охват. гиперпов
предполагающее, во всяком случае, использование коор динат протяженности. Если к тому же интеграл по вре менноподобной граничной гиперповерхности равен нулю
/ . = |
j |
1 (П0ПН)$ m ^m = 0, |
(1.7.15) |
охват. v ° гиперпов
то при предельном переходе к бескопечному трехмерному пространству будет справедливо уравнение
( |
(n0niI)£” df’n= f |
luom4 sm dfm, (1.7.16) |
d V g |
J V s |
|
и результат окажется не зависящим от конкретного выбо ра пространственной области. При таких предположениях имеет смысл ввести по аналогии с величиной Q (см. слу чай А) для полной системы полей, включая гравитацион ное, обобщенный 4-импулъс
|
= - |
( — |
(ПОЛП)л «4d/4= |
||
1 |
СX ijon st^ ' |
|
|
||
[ |
(полu)Z*d™X. |
(1.7.17) |
|||
с |
|||||
|
|
|
|
||
a:‘l=const
И если очень сложны уже трансформационные свойства комплекса энергии-импульса, то закон преобразования обобщенного 4-импульса еще сложнее. Во всяком случае, не может быть речи о каких-либо его тензорных свойствах.
Те же рассуждения, которые были проведены в слу чае А, и здесь при переходе к двум бесконечно близким
Непрерывные симметрии в одщерел. класс, теории поля 47
пространствепноподобным гиперповерхностям дают урав нение изменения (баланса)
_dL |
J <nMI,> V d ,34 = - |
j (rto,rm)tr. a |
Г~_ |
V = ^ d a at |
|||
dx |
.\“l=COIlSt |
(Из) |
|
|
|
||
|
|
|
(1.7.18) |
если предположить конечность щюстрапствеиной области интегрирования и использование в ней координат протя женности. При равенстве нулю поверхностного интеграла (что требует особого доказательства в том случае, когда имеет место процесс гравитационного излучения) отсюда следует закон сохранения
^(полн)р^
|
|
|
|
|
|
Ас* |
: 0• |
(1.7.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тройка величии |
|
|
|
|
|
|
|||
(поли) г, |
__ i |
Г |
1 |
(поw ) Z |
m d } m = ; |
Г |
|
||
|
с |
J |
у ъ |
|
|
|
|
s-i=const |
|
|
|
Уз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.7.20) |
рассматривается как |
3-импульс системы, а величипа |
||||||||
и о.чп) |
- |
С(пол,,)Л |
= |
- |
i ( |
4 = (nam' X md fm = |
|
||
% = |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
j |
(пол,,)2 44 d^x |
(1.7.21) |
|
|
|
|
|
|
|
x'i=const |
|
|
— как ее энергия в случае, когда тензор энергии-импульса обладает островным распределением.
Вфизике плоского пространства-времени, в частности
вдорелятивистской физике, хорошо известно понятие
локализуемости физических величин (массьт, энергии, заряда и пр.). Под нею понимают возможность однозначно приписать любой дайной точке пространства в данный момент времени определенное значение плотности соответ ствующей физической величины.
Иначе говоря, считается, что есть основания для сле дующего утверждения: в заданном объеме содержится вполне определенное количество рассматриваемой физи
48 |
Глава 1 |
ческой величины. Поскольку ото утверждение органически входит в состав понятия вещества (субстанции), с этим понятием часто связывают и вышеупомянутые физические величины.
Если попытаться связать с 3-импульсом некоторую плотность импульса, то уравнение (1.7.20) приведет к величине
я,г= |
— 1М. . |
(1.7.22) |
Подобным же образом, |
согласно определению |
(1.7.21), |
в качестве плотности энергии следовало бы взять |
||
w = (,10Л">£44 1 / — М . . |
(1.7.23) |
|
При исследовании закона преобразования этой предпола гаемой плотности энергии относительно преобразований чисто пространственных координат обнаруживается, что она ведет себя ие как инвариант. Но это последнее, здесь нарушаемое свойство является основным требованием, следующим пз локализуемое™ энергии. Другими словами, поскольку рассматриваемая величина ведет себя при чисто пространственных преобразованиях не как инвариант, мы получаем для нее в данной точке пространства числен ные значения, зависящие от случайного выбора системы координат. Такое субъективное поведение этой величины противоречит определению объективного физического фун даментального понятия.
Этот многозначительный факт был обнаружен Бауэром
[8]сразу же после создания общей теории относительности
ииспользован как возражение против эйнштейновской
теории. Действительно, расчет показывает, что у?ке в плоском пространстве Минковского (где кривизна равна нулю) эйнштейновский комплекс энергпп-пмпульса дает отличные от нуля величины, если применять сферические координаты. Строго говоря, нет оснований винить в этом сам эйнштейновский комплекс, так как, взяв сферические координаты, мы отошли от выражения комплекса энергииимпульса в координатах протяженности. Уже в § 5 было
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 49
подчеркнуто, что при построении комплекса энергиипмпульса использовалась также ипвариантпая лагранжева плотность. Такой подход, восходящий еще к Г. А. Ло ренцу и в особенности проанализированный с некоторыми надеждами Мёллером [5], сталкивается однако с принципиальными трудностями, которых смог избегнуть эйн штейновский подход. Рассмотрим эту проблему несколько глубже, ограничиваясь островным распределением тензора энергии-импульса, когда на бесконечности метрика имеет следующее асимптотическое значение:
(1.7.24)
Здесь величина р = У £ обобщает понятие сферической радиальной координаты1), а величина
__хМ 0с2
(1.7.25)
4тс
называется гравитационным радиусом рассматриваемой центральной массы М 0._Канонический комплекс энергииимпульса гравитационного поля, построенный с помощью инвариантной лаграижевой плотности, обладает асимпто тическим поведением
|
|
|
, |
(1.7.26))* |
*) Не |
следует |
путать |
с обозначаемым так же |
вектором |
в (1.1.1), |
(1.6.42) |
п т. д.; |
здесь это — всего лишь декартовы коор |
|
динаты точки, где берется значение метрического тензора, причем начало этой декартовой системы совпадает с центром симметрии поля.— Прим, перев.
4 — 0 1 3 5 0
50 |
Глава 1 |
тогда как эйнштейновский комплекс ведет себя на беско нечности как
(1-7-27)
Так как при этом пспользуемые координаты переходят на бесконечности в галилеевы координаты, асимптотическое значение элемента поверхности dfm имеет вид
dfi я* id's,2 d& dt,4, |
df2tt0 , |
df3&0, |
d f i ^ Q |
|
при |
I1 = const и т. |
д.; |
|
|
dfi яз id£f d^2 dt3, |
dfi я* 0, |
dfz « |
0, |
df3л* 0 |
при |
£4 = const. |
|
|
|
Если теперь задаться такими простраиствеипоподобпыми
гиперповерхностями V3 и Т 3(фиг. 1), чтобы иа бесконеч ности онп превращались в две параллельные гиперплоско сти, разделенные конечным интервалом, то боковая (охва тывающая) поверхность, которую можно определить без ограничения общности как гиперповерхпость р = const, растет как квадрат р, так что интеграл (1.7.15) по этой гиперповерхности обладает асимптотикой в ковариантном случае
I s ~ j - y 0 , |
(1.7.28) |
а в эйнштейновском
(1.7.29)
Положение существенно меняется, если рассматривае мые гиперплоскости образуют друг с другом отличный от нуля угол. Это имеет место, если обобщенный импульс подвергнуть преобразованию Лоренца. Из соображений физического смысла следует требовать, чтобы обобщенный 4-импульс, соответствующий островному распределению тензора энергии-импульса, при преобразованиях Лоренца изменялся как тензор (вектор), так как на больших рас стояниях должны выполняться соотношения частной тео