ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 64
Скачиваний: 0
Мы дали такое истолкование именно этим последним урав нениям (из всех аналогичных им, приведенных выше), так как они представляются наиболее ему отвечающими, обладая тем особым свойством, что при переходе к случаю частной теории относительности дают в точпости част норелятивистский закон сохранения эпоргип-импульса (в этом пределе в полном комплексе эиергии-пмпульса гравитационная часть обращается в пуль).
На выражение (1.6.37) уже в 1915 г. опирался Эйн штейн, хотя он и работал в специальной системе коорди нат, так что не получил выражения (1.6.29) в приведенном здесь общем виде. Эйнштейн исходил из соотношения (1.6.8), в котором ему удалось с помощью своих уравнений гравитационного поля привести второй член слева к тре буемому виду.
Однако уже введение в общей теории относительности
комплекса момента импульса оказывается весьма затруд нительным. Разумным образом можно опереться лишь
на |
соотношение |
(1.6.16), |
которое с |
помощью |
(1.6.15) |
|
и (1.6.20) |
удается привести к виду |
|
|
|||
|
|
|
((,,а,0£ /;bxa- |
T tba),b= |
0. |
(1.6.39) |
Преобразуя это |
равенство, можпо получить |
|
||||
|
|
|
_j_ ejpabl_cjplba^ ^ __ |
|
|
|
= |
°'апV |
{xagH, b- x lgas, ь) -I- T sb'g'l3. b - r s bag!s, b. |
(1.6.40) |
|||
Мы предприняли такое преобразование, хотя тем самым и отошли от вида дифференциального закона сохранения (1.6.39), по дело в том, что полученное соотношение в слу чае частной теории относительности переходит в хорошо известный закон сохранения момента импульса и цен тра масс.
В связи с этил! хотелось бы указать на то, что многие авторы при апализе сохранения энергии-импульса осно вываются па соотношениях
Ттп. п = 0 и тпп = Тпт, |
(1.6.41) |
следующих из уравнений Эйнштейна, обходя тем самым
Непрерывные симметрии в общерел. плисе, теории поля 39
теорему Нётер. Из двух последних соотношений тогда следует
{1тТтПV g ) , n = V~s |
(U ; n+ In-. т) Ттп. |
Если же потребовать, чтобы вектор £т удовлетворял
уравнениям Киллипга
+ !» ;« = О, |
(1.6.42) |
то мы приходим к дифференциальному закону сохранения
(Zmr mni/'g),n= 0 , |
(1.6.43) |
весьма многозначительному, так как в ием фигурирует вектор (тензор ранга 1), что особенно удобно при ковариантиой формулировке интегрального закона сохранения. Тогда вопрос о том, при каких условиях существуют интегральные сохраняющиеся воличппы для энергии и импульса, сводится к отысканию в данном пространствевремени существующих там полей векторов Киллинга. Поскольку из уравнения
Ajg’Smn= n"1"tn; m= О
следует, что дифференциал Ли для метрического тензора обращается в нуль, что выражает существование изометри ческих преобразований координат; или так называемой подвижности пространства-времени, удовлетворение урав нений Киллинга соответствует наличию симметрии про странства-времени. Иными словами, интегральные сохра няющиеся величины могут быть выражены ковариантным образом, если пространство-время обладает определенны ми симметриями.
Если след тензора эпергин-импульса равен^нулю {Т,пп = 0), то условие (1.6.42) можно ослабить, придав ему вид х)
; п |
! bn; m “ |
/ни • |
Некоторые авторы в |
отличие |
от (1.6.38) принимают |
в общей теории относительности |
определение величин1 |
|
1) Вектор, удовлетворяющий такому уравнению, называется конформно-киллинговым. См. соответствующую теорию, например, в работе [19], стр. 59.— Прим, перво.
40 |
Глава 1 |
типа энергии-импульса, для которого справедливо урав нение вида
(1.6.44)
Однако ввиду того, что теорема Нётер приводит к закону (1.6.38), а также пз физических соображений, к которым мы верпемся в следующем параграфе, мы отдадим пред почтение уравнению вида (1.6.38).
§ 7. Интегральные законы сохранения
Исследуем в общем виде вопрос о том, при каких усло виях можно перейти от дифференциального закона сохра нения в форме
Гп — П |
(1.7.1) |
*> , т— v) |
|
где пока пе делается никаких предположений о трансфор мационных свойствах величины к интегральному закону сохранения.
(пространстбеннопсдодноя)
Фиг. 1.
Для этого проинтегрируем последнее равенство по изображенной на фиг. 1 четырехмерной области, грани которой пе делят ее на изолированные части, и попытаемся перейти к интегралу по этим гиперповерхностям (если же область «разрезана» на части гиперповерхностями гранен, то аналогичное рассуждение применимо к каждой из получаемых частей). В дальнейшем мы рассмотрим два основных случая:
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 41
Случай А (сохранение величии типа заряда)
Пусть величина J"1 — векторная плотность, так что можно принять
J'n = jmV g .
Тогда равенству (1.7.1) можно придать явно ковариаитный вид:
Г ; т = ъ = { Г У в ) ,„ = 0. |
(1.7.2) |
VS |
|
В этом случае мы можем применить теорему Гаусса в коварнаитном виде, не привязывая результат к какой-либо определенной системе координат:
= * [ p d U - i |
j jmdf, |
i j j mdfm = 0. (1.7.3) |
Гз |
у» |
OXОЛТыв. |
|
|
пшсрпов |
Использованные здесь обозначения подробно разъяснены в § 2. Будем теперь неограниченно увеличивать величину двух пространственноподобиых граней, расширяя в этих направлениях пашу область. Если интеграл по временноподобной охватывающей гиперповерхности стремится к нулю
j jmdfm=-- 0, |
(1.7.4) |
охпатыв.
пшсрпов
что практически всегда имеет место в физических задачах с островным распределением величины jm, когда простраиствепиоподобиые обкладки близки друг к другу, то остает ся лишь уравнение
j |
imdfm= j Г dim• |
(1.7.5) |
Ёз |
** |
|
Оно выражает интегральный закон сохранения рассматри ваемой величины типа заряда.
42 |
Глава 1 |
Если распределение материи ие является островным, то решающее значение приобретает топологическая сторо на вопроса. Тогда приходится проводить рассуждения отдельно для каждого конкретного случая.
Обозначим интегральную сохраняющуюся величину, не зависящую от конкретного выбора трехмерной простраиствеииоподобной области F3, через
Q = i - J f ndfm, |
(1-7.6) |
v3 |
|
где интеграл (1.7.5) мы снабдили множителем, смысл которого станет ясен позднее. Эта величина ие зависит от случайного выбора трехмерной области интегрирования лишь вследствие справедливости равенства (1.7.5).
Если пространственнонодобную область Е3 отожде ствить с гиперповерхностью ж4 = const, то при ориентации векторов, на которые натягивается трехмерное подпро
странство, вдоль координатных лииий |
из определения |
(1 .2 .6) получим |
|
d /i= i pAgdx1 dxs dx3 = i f/gd^ 'x, |
dfa — 0. (1.7.7) |
Аналогично для гиперплоскостей x1, x2, x3= const полу чим элементы вида
dfa = i Y — Sa dxi daa, d/ 4= 0 , |
(1.7.8) |
|
где |
|
|
doa = ± l / |
J i-A abcdVbc |
(1.7.9) |
f |
S-4 |
|
— элемент двумерной поверхности, который при преобра зованиях в рамках данной системы отсчета ведет себя как тензор [3].
При этих предположениях |
|
|
<? = 1 |
J ] * У Ц Я 3'х. |
(1.7.10) |
Х-1 = const
Сразу видно, что величина Q в этой форме имеет привыч ную структуру сохраняющихся величин, а именно являет ся интегралом от некоторой плотности по объему. Поэтому
Непрерывные симметрии о общерел. класс, теории поля 43
выражение (1.7.6) можно с полным основанием считать ее релятивистским обобщением.
Проанализируем теперь уравнение, определяющее из менение (баланс) рассматриваемой величины в некоторой конечной трехмерной пространственной области. Чтобы упростить математическое описание задачи, выберем коор динаты таким образом, что
Гз |
задается |
как |
■>•4_- л*4 |
X — X ), |
|||
Рз |
задается |
как |
xi = a:4;.,, |
мзадается как x1 = x1i+),
м'Y'l-- Л»1
задается как П/ --Ji/
Тогда теорема Гаусса (1.7.3) перепишется в виде |
|
||||||
J |
]-т dfm-Ь |
| |
jmdfm-\- |
|
|
||
|
+ |
|
j |
imdfm+ |
j |
imdfm= 0. |
|
|
k3=k3,_)i s3(+) |
a;‘l=K'l(_), .-c4(+) |
|
||||
G учетом формул (1.7.7) и (1.7.8) получаем отсюда |
|||||||
| |
|
|
| |
j2 df2-j- |
|
|
|
|
Xl(+) |
а;3=д;2(_,1.\-2(+) |
|
|
|
||
|
|
+ |
J |
f d f 3+ |
|
j |
i*dh = 0 |
|
|
|
кЗ=кЗ(_ь К3(+) |
|
.x4H.) |
|
|
или, вспоминая, |
что строчные греческие |
индексы пробе |
|||||
гают значения от |
1 |
до 3, |
|
|
|
|
|
j |
da* j |
j* V — Su dv^ -f |
|
|
|
||
xa=xa(—}tл:а<+) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
j |
j'1 j^g dl3)x —0. |
|
|
|
|
|
к4=зс4(_ь ж4(+) |
|
||
Рассматривая четырехмерпую область интегрирования, соответствующую фиг. 1, для которой гиперплоскости