Файл: Прикладная математика [сборник статей]..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 50

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 18 -

Для балок сплошного прямоугольного сечения (рис. 1 ,а ) опти­ мальная толщина

а для сечения трехслойных

балек (рис.

1 ,6 ) - выражением

 

,

, ,

( \ 1 Г М \

3 |6 ?(х )| \

(15)

 

 

 

) ■

1

■

 

s\

*i1

'

 

f

б)

J W

________

./

Ь

\ . ч у

Ь ^ Ш )

' , J-LLj-

 

— J\

6

L

-

 

,

«

(*

-

Рис. I . Сечения

балок: а - сплошного прямоугольного

 

сечения}

б -

трехслойных

 

%

 

 

 

 

 

 

 

 

Отношение

объемов

оптимальных

балок

 

и наилегчайинх

балок постоянного

сечения

Кс для различных

случаев нагруже­

ния приведено в таблице.

Таким образом, при ограничениях на величину изгибных или касательных напряжений сечение оптимальной балки определяет­ ся законом изменения нагрузок M(t) и Q(t) . Оказывается также, что оптимальные по весу балки будут балками равного сопротив­ ления изгибу или сдвигу.

Оптимальные балки с ограничениями на прогиба

При наличии

ограничений геометрического

характера (4)

приходим к задаче

с ограничениями на фазовые

координаты [2 , з]

В дальнейшем-рассмотрим балки с сечением

типа (рис. 1 ,а )

в ограничением (4) вида

 

д = const .

(16)

- 19 -

Отношение объемов оптимальных и наилегчайших балок постоянного сечения для различных случаев нагружения

Схема

балки

 

 

v opt/ v

c

 

Ограничение по б

 

Ограничение по *С

с

нагрузко"

 

 

 

 

 

Тип I

Тип П

•

Тип I

Тип П

4 * -------------- \

2/3

i / г

 

Г

I

/ . ! —

 

-------\

£ = 0 ,7 8 3

2/3

 

1/2

1 /2

- С -

.. ....1

I

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

\ р* t

2/3

 

1/2

 

I

I

*

р

п

щ

4 b = 0,783

2/3

 

1/2

1 /2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

^ С —

 

-------- ж

2/3

 

1 /2

 

1/2 .

1/2

 

 

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возможны следующие выходы

координаты yt на

ограни­

чения :

 

 

 

точке x=x*e(Q,L)

 

 

 

1) !,£/1Ос*')|=Д , </Е(**)=0 в

;

 

 

2)

! ^ ( 0 ) ) = Д

или ( ^ ( i j | = <й

в конце п р о н е ^ т к а р ,!];

 

 

3)

1^/j'pA

на участке [ х *,Х**\

промежутка [0 ,2 ]' . Тре­

тий

выход возможен,

если нагрузка носит

редко встречавшийся

в практике характер

х * < х < х * * ;

 

 

 

 

 

М{ х ) =

°

 

 

 

 

 

 

 

M ix ) , х * х * х>х**.

 

 

В точках Х-Х* возможен разрыв непрерывности множителей Лагранжа А, „ , описываемый соотношениями Эрдмана - Вейер-

итрасса [з] :

дер

A .,(x*-0)-A jU *+Q )+ ду;(х*) =0, У -1 ,2 ;

(I-?)

- § f* = 0

 

Здесь

(18)

- 20 -

Рассмотри! ряд балок, схемы которых приведены на рас. 2 .

а)

/4 5)

М (д

гг.

I-------------

Т

t

 

У & -&

 

 

 

У1<Л

Рве.

2 .

Схемы нагружения балок

 

Для ховсоди, наказанной ва рве. 2,а , ограничение ныпоашетсн ш хромежутве((Ц,) я гаде строгого аеравенства. Равенство у^х}=-& повет иметь место д в а ва хонде промежутка ш Давать дополивтельное граничное условиеy W t - h . . Поэтому фужж-

цляяр строятся в uqte

 

 

9=J44^0bPiW<0)+P*f&(£)*A3 -

 

О»)

 

Гамильтониан снстевы нредстаэш равенством

 

 

 

Я = Я а = -^ Л +А1^ - А 1 |

^

,

 

 

(20)

а уравненхя

(8)

л концевые условия (9)

для множителе!

Заграя-

*а

приводят х ревешь

 

 

 

 

 

 

 

 

А1(0)=р1;

Я1Ш)=рг ,

Ai(X)—p s;

At (i)-0 ;

 

 

| ^ i =P i i

A t =Pv( i - /r ) ;

p t =pi i ;

 

Pi=-f'i .

 

Учитывая, ч т о Ц ^ О , Щ(х)=Ых)ш

У=1, из

последнего уравнения

(8)

подучаем

36По А |(д )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 21)

 

 

 

■1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив

значение А* н h в

ура т е ния ( I)

и проинтегрировав

кх

при условиях

(1 9 ), определим две постоянные

интегрирова­

ния и множитель

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда

 

M xf У4г^ х/9£М ’

,

t22)

 

_______

_ .

 

 

 

 

 

Для сравнения отметим, что

консоль

постоянной высоты h

с заданным прогибом Л свободного

конца

имеет

объем

 

V ^=<5Z |f® ^p ,

объем оптимальной

консоли

F 0p( = ^ А==н 6L *

, J / ^ 2 T

= 0,955 ^ .

 

 

 

 

 

 

 

- 21

-

Аналогичным образом можно

получить решение для консоли,

показанной на рис. 2 ,6 . В этом

случае найдем

,К о*-0 ,8 4 7 , .

Вкачестве другого примера рассмотрим однопролетную балку (рис. 2,в ) . Точка выхода на ограничение х - х *не­

известна. Строя функцию ср

в виде

 

 

 

 

 

(? = р1у1(0)+ рг у1Ш + р 3[{/1( л * ) - д ] + р ^ г ( х ^ ) ,

(23)

получаем

следующие соотношения

Эрдмана

-

Вейерштрасса

в

 

точке разрыва

множителей Лагранжа

;

 

 

 

 

Л~(х*)-Л^(х*)+р5=0; к\№ )С № *)у № 1£(х *)=Н ь( х* ).

(24)

(Здесь и в дальнейшем знаки

и "+" обозначают функции до

и после точки разрыва).

 

4

 

\

0

-

Соотношения (8)

и (9)

дают

уравнения и концевые условия

|

=0

>

 

 

 

 

 

 

 

(25)

[ A t + A ^ O ;

А 2_(0)=0;

 

AJZ,)=Ch

 

 

 

 

Решение уравнений (24) с учетом условий (25) дает выра­

жения д

л

я и

формулы, связывающие множители

Лагранжа р у

;

J ^ i =Pi

>

 

 

 

P i+P 2 +j:i3=0;

 

 

 

 

 

 

Л1— р г и-х);

-?iX*+f>b(L-x*frPb-Q.

(26)

Решая уравнения

(8) о учетом построенных условий,

полу-

чаем уравнение .

х

 

 

 

 

 

 

 

L - х * - Ч

Хг

 

d x - k r х

 

 

(27)

х *

НX*

 

 

 

 

/

и

[L-xP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение его численным методом позволяет определить

 

 

{x*=o(L)

с< = 0,531.

Использовав найденное х * ,

можно вы

 

числить

Р)

и h ( x ) ,

Оказывается, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1

 

 

 

О

< х 4 ;

 

 

 

 

 

{/ -pt x * x (L - x )/[I - x * j

,

x * * x < L ;

(28)

 

2 x * f 3l l f 06 l

 

 

 

 

 

 

 

 

3

)

] E L & K

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы