Файл: Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей.pdf

измерения может быть легко изображено. Второй закон Кирхгофа Ыі= м2 ограничивает подчиняющиеся ему век­ торы расположением вдоль линии, помеченной знаком b на рис. 2-12. Аналогично линия, помеченная у, есть ком­

плект всех векторов, которые подчиняются первому за­ кону Кирхгофа ti + /2=0. Очевидно, что оба подпрост­ ранства b и у ортогональны и, значит, iiUi + huz— Q.

2-16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНОВ КИРХГОФА

СПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

Вданной главе теорема Телледжена доказывает­ ся при помощи законов Кирхгофа. Возникает вопрос, нужны ли законы Кирхгофа для того, чтобы теорема

Телледжена имела силу? В этом параграфе будет пока­ зано, что второй закон Кирхгофа вместе с теоремой Тел­ леджена заключают в себе первый закон Кирхгофа и что первый закон Кирхгофа вместе с теоремой Телледжена заключают в себе второй закон Кирхгофа. Более точно покажем, что любая система токов, для которой

для всех распределений напряжения, согласующихся со вторым законом Кирхгофа, автоматически удовлетворяет первому закону Кирхгофа. Доказать это не трудно.

Возьмем разрез цепи (к примеру, узел в ней), в кото­ ром суммарный ток не равен нулю; это значит, система токов не подчиняется первому закону Кирхгофа. Одним из распределений напряжения, согласующихся со вторым законом Кирхгофа, является то, в котором при потенциа­ ле всех узлов по одну сторону разреза, равном нулю, потенциал всех узлов по другую сторону равен единице. Тогда взятая в отдельности ветвь имеет напряжение, не равное нулю, только в том случае, если она разрывается при разрезе цепи, а следовательно, (2-36) сводится к утверждению, что суммарный ток разреза равен нулю. Это противоречие и доказывает теорему.

Доказательство дуальной теоремы подобно приведен­ ному. Покажем, что любая система напряжений, при ко­ торой (2-36) сохраняет силу для всех распределений то­ ка, которые подчиняются первому закону Кирхгофа, авто­ матически удовлетворяет второму закону Кирхгофа. До-

28

казательство не сложно. Возьмем в цепи контур, для которого сумма напряжении в ветвях не равна нулю. Рассмотрим распределение токов, состоящее из тока, равного 1 А, циркулирующего в этом контуре; других токов в цепи нет. Это распределение подчиняется перво­ му закону Кирхгофа; тогда (2-36) приводит к формули­ ровке, что сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю. Противоречие обосновывает теорему.

Мы показали, что распределение тока ортогонально ко всем распределениям напряжения, которые удовлет­ воряют второму закону Кирхгофа только при условии, если оно само удовлетворяет первому закону Кирхгофа, и наоборот. Однако не было показано (и это не всегда правильно), что система токов должна удовлетворять первому закону Кирхгофа просто потому, что она орто­ гональна некоторым распределениям напряжений, кото­ рые подчиняются второму закону Кирхгофа.

2-17. СВОДКА

В этой главе было доказано несколько форм теоре­ мы Телледжена, перечисленных в табл. 2-2. Все эти фор­ мы записаны в функциях операторов Кирхгофа.

Было показано, как обобщить эти шесть форм теоре­ мы для случая двух цепей, топология которых или иден­ тична, или дуальна. Распространение на конститутивные зависимости в неопределенной форме будет рассмотрено в приложении 3.

Главы 3—7 включительно посвящены показу полез­ ных результатов применения теоремы Телледжена в спе­ цифических случаях.

29

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕПЯМ

Теорема Телледжеиа была получена без принятия во внимание разновидностей включенных в цепь элемен­ тов. Обычно эта теорема применяется к цепи определен­ ного вида, например к цепи с нелинейным активным сопротивлением или к линейной цепи RLC. В этой главе

из теоремы Телледжеиа выводится несколько общих тео­ рем, которые применимы ко всем видам цепей.

3-1. ТЕОРЕМА МГНОВЕННОЙ МОЩНОСТИ

Если Л' и А" являются операторами тождественно­

сти, то теорема Телледжеиа [уравнение (2-20)] приво­ дится к виду

Сумма в левой части уравнения относится к входам; каждый член ее является мгновенной мощностью, по­ ступающей в цепь. Сумма в правой части относится к ветвям, и каждый член ее является мгновенной мощ­ ностью, поставляемой элементу ветви а.

Уравнение показывает, что в каждый момент време­ ни мощность, поглощаемая цепью на ее входах, полно­ стью распределяется между элементами цепи. Этот ре­ зультат хотя и не тривиален, но настолько общепринят, что никто из читателей не будет им удивлен.

Некоторые виды элементов цепи (например, пассив­ ные, без потерь или неэнергетичные) могут быть охарак­ теризованы в соответствии с их способностью поглощать энергию. Уравнение (3-1) может быть использовано для показа того, что цепи, состоящие из элементов опреде­ ленного класса, сами относятся к тому же классу, на­ пример цепи из пассивных элементов являются сами по себе пассивными.

3-2. ТЕОРЕМА МОЩНОСТИ МАЛОГО СИГНАЛА

Часто случается, что цепь подвергнута смещению

рах), поляризация, «преобладание» (в регулировке электромагнит­ ного механизма) и т. и. (Прим, ред.)

30

ких случаях внимание фокусируется на возмущениях из этого «невозмущенного» состояния. Это состояние может быть постоянным или зависимым от времени. Возникает вопрос, подчиняются ли возмущения какой-либо теореме сохранения энергии. Теорема Телледжена частично обес­ печивает ответ.

Предположим, что токи и напряжения на входах и в элементах разложены на невозмущеиные части и воз­ мущения:

(3-2)

Выражение для напряжений аналогично. Если А' и А." используются для выбора невозмущенной части или

возмущений, то теорема Телледжена (2-20) сводится к четырем отдельным теоремам:

(3-3)

(3-4)

(3-5)

(3-6)

Первая из них может быть объяснена как соотноше­ ние сохранения энергии для иевозмущениого состояния. Четвертая есть зависимость, включающая только возму­ щения. Она формулирует, что некоторый своеобразный вид «мощности» распределен по элементам цепи. Эта «мощность малого сигнала» может быть часто объяснена физически, например, в обычной ситуации, когда воз­ мущения отличаются по частоте от невозмущенных на­ пряжений и токов. Объяснения второй и третьей теорем менее просты, однако они помогают показать механизм взаимодействия между ударным возбуждением и пере­ менными малого сигнала.

Они приводятся здесь как указание на тот факт, что теорема Телледжена часто приводит к результатам, кото­ рые хотя и правильны, но трудно объяснимы.

Элементы цепи могут быть классифицированы со­ гласно их способностям принимать или генерировать мощность малого сигнала. Так, элементы, которые могут генерировать мощность малого сигнала для малых из­ менений около точки равновесия при постоянном токе, называются «местиоактивными»; примерами служат тун-

31

кельный диод и транзистор. Элементы, которые могут генерировать мощность малого сигнала для малых воз­ мущений около зависимого от времени невозмущенного состояния, могут быть названы.«параметрически актив­ ными»; примером может служить нелинейный конден­ сатор. В таком случае (3-6) может быть применено, что­ бы показать, например, что усиление возмущений не­ возможно при независящем от времени невозмущенном состоянии, если по крайней мере один элемент в цепи не является местноактивным.

Обычно расчеты свойств малого сигнала элементов ограничены возмущениями первого порядка, а компонен­ тами высшего порядка пренебрегают. В других случаях, однако, необходимо выделить часть возмущения первого порядка, часть второго порядка, часть третьего порядка и т. д. Теорема Телледжена может быть применена для доказательства большого количества результатов, подоб­ ных (3-3) — (3-6), но с величинами нулевого и первого порядка, замененными величинами нулевого, первого, второго, третьего порядка и т. д. Производим дальней­ шее обобщение. Допустим, что каждый из операторов Кирхгофа в теореме Телледжена состоит последователь­ но из двух операторов Кирхгофа, один из которых из­ бирает порядок отклика, а другой остается произволь­ ным. Таким образом, обобщенная форма (3-6) будет иметь вид:

Обобщения трех других теорем аналогичны. Уравне­ ние (3-7) может привести к многочисленным другим тео­ ремам точно таким же путем, как это получается из теоремы Телледжена. (2-20).

3-3. ТЕОРЕМА МОЩНОСТИ ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО ТОКОВ

Взятие среднего по времени напряжения или тока— линейная операция, так же как и взятие остатка пере­ менной после того, как вычислена средняя по времени. Это дает части переменной, относящиеся соответственно как бы к режиму постоянного тока (de) и к переменно­ му по времени режиму (ас):

32

Если эти операторы отождествить с Л' и Л", то тео­ рема Телледжена (2-20) приводит нас к зависимостям:

Первое уравнение может быть объяснено как теоре­ ма мощности постоянного тока, а последнее уравнение есть теорема мощности переменного тока. Два средних уравнения — более неясного смысла, но они показывают взаимодействие между источниками и стоками перемен­ ного и постоянного токов.

3-4. ТЕОРЕМЫ ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Обычно временная область более применима для нелинейных цепей, чем частотная область. Однако не об­ ращая внимания на то, является ли цепь линейной или нелинейной, можно применять преобразования Фурье для переменных, например:

—00

Если какая-нибудь из переменных периодична или имеет периодическую часть, то частотные переменные имеют импульсы на определенных частотах.

Операция применения преобразований Фурье линей­ на, даже если она и применяется здесь для переменных в цепях, которые могут быть нелинейными. Если обозна­ чим через А" преобразование Фурье, а через Л' — его

Этот результат может быть рассмотрен как закон сохранения активной и реактивной мощностей; при этом активная мощность является активной составляющей