Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 84

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

РОСТОВСКИЙ-НА-ДОНУ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

Ю. Н. Музыченко

РАСЧЕТ ПЛАСТИНЧАТО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Издательство Ростовского университета

1974

У Д К 624.071+624.073

Печатается mo постановлению Ученого совета Роетовского-на-Дону инженерно-строительного института

Ответственный редактор проф., д-р техн. наук К. К. К е р о п я н

Рецензенты: проф., д-р техн. наук, заслуженный деятель нау­ ки и техники Узбек. ССР Ш. М. Г о ф м а «; доц., канд. техн. наук И. Г. П авл о в .

j

‘ЭКЗЕМПЛЯР

I

ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА

Ю. Н. М узы чен ко . Расчет пластинчато-стержневых систем. Издательство Ростовского университета, 1974. .

204стр.

Вкниге излагается расчет анизотропных, ортотропных и изотропных пластин и пластинчато-стержневых систем методом сеток и методом ко­ нечных элементов повышенной точности, позволяющий рассчитывать плас­ тины на сложные распределенные напрузки. Приводятся алгоритмы расче­ тов прямоугольных и круглых в плане пластин с учетом деформаций сдвига.

Днига адресована инженерно-техническим работникам, аспирантам и студентам строительных специальностей.

0311—079

ММ 175(03)—74

©ИЗДАТЕЛЬСТВО РОСТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, 1974-1

В В Е Д Е Н И Е

Книга посвящена некоторым численным методам расчета пла­ стин и пластинчато-стержневых систем.

Вопросам усовершенствования и реализации численных мето­ дов расчета конструкций в связи с быстрым развитием вычисли­ тельной техники уделяется в настоящее время большое внима­ ние как в нашей стране, так и за рубежом [21, 23, 24, 28, 47, 49, 50, 51].

Наибольшую популярность приобретают весьма удобные для составления алгоритмов расчета на ЭЦВМ методы конечных

разностей и конечных элементов [1, 2, 3,

5, 10, 42, 13, 14, 15,

19,

31,

48].

 

 

Существует несколько способов вывода расчетных уравнений

метода

конечных разностей.

замену производных,

 

Первый предусматривает формальную

входящих в той или иной комбинации в исходные дифференци­ альные уравнения, их аналогами, выраженными через дискрет­ ные значения функции в узлах сетки ['16, 19].

При втором способе используется вариационный метод выво­ да сеточных уравнений как более общий и обладающий возмож­ ностью учитывать сложные краевые условия. Однако и он огра­ ничен пределами точности аппроксимации производных обычны­ ми конечными разностями [1, 3, 13, 27].

Этот шособ расширил возможности метода сеток, сделав осуществимым решение многоконтактных задач и расчет многосвязных областей [13, 27].

Вместе с тем конечно-разностные уравнения,можно вывести и третьим способом. При этом выбирается та или иная функция (обычно в виде алгебраического или тригонометрического поли­ нома), которая точно или приближенно удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению не только в самом узле, но и в окрестности узла сетки или, во всяком случае, позволяет судить о поведении функции за пределами данного узла.

Полученные последним способом конечно-разностные опера­ торы будут иметь свои специфические особенности, хотя в неко­ торых случаях они могут совпадать с теми, которые получены обычным путем (формальной заменой производных). Чтобы

3


убедиться в этом достаточно сравнить конечно-разностные опе­ раторы, -составленные для -случая изгиба пластины в декарто­ вых и п-олярных координатах [20].

Действительно, о-бычн-ое сеточное уравнение изгиба пластин, полученное для прямоугольной сетки, -соответствует -равномерно- распределенной нагрузке по всей -зоне, примыкающей к данно­ му узлу, чегс нельзя сказать о -конечно-разностном аналоге, составленном для дифференциального уравнения изгиба, запи­ санного -в полярных координатах. Чтобы получить равноценное уравнение, необходимо учесть -соответствующий равномерно-рас­ пределенной нагрузке тригонометрический полином.

По мере усложнения внешней распределенной нагрузки не­ обходимо выбирать и подходящие аппроксимирующие функции. При это-м имеем различные по структуре и точности конечно-

разностные операторы [20, 35, 37, 39, 40, 42, 53].

Сущность этих уточненных конечно-разностных операторов иллюстрируется сначала на -стержневых системах, а затем на пластинах.

На примере расчета стержней показывается, что для опреде­ ленного вида сложных распределенных нагрузок можно полу­ чить по уточненным конечно-разностным уравнениям точные ре­ шения, -в то время как обычные конечно-разностные уравнения (при -одном и том же числе узлов) -дают значительную -погреш­ ность, особенно ощутимую inp-и небольшом числе узлов сетки.

Уточненные -конечно-разностные уравнения обладают еще од­ ним преимуществом. При их использовании предоставляется возможность удовлетворять граничным условиям не только то­ чечно (в узлах -сетки), как это делается обычно, по. и точно (вдоль всей линии) или сразу в нескольких точках контура, рас­ положенных между основными узла-ми сетки вдоль какой-либо произвольной линии, проведенной в пределах рассматриваемой сеточной области, взятой у да-нно-го узла. Это позволяет при ми­ нимальном числе узлов обеспечивать высокую степень точности, а следовательно, и решать задачи со сложными граничными условиями.

Уточненные конечно-разностные уравнения -могут быть ис­ пользованы также -при расчете пластин переменной жесткости, при решении нелинейных -задач (физическая -и геометрическая нелинейность), при расчете плит по уточненной теории. В част­ ности, последнему вопросу в работе уделено достаточно внима­

ния [44].

В -настоящее время находит широкое -применение и метод ко­ нечных элементов. Сущность этого метода заключается в том,

4


что сплошная среда заменяется совокупностью той или иной формы элементов, которые, действуя во взаимосвязи, отражают работу всей рассматриваемой конструкции [31, 48].

Этот метод позволяет более полно осуществить, дискретиза­ цию континуальной среды. Он оказался весьма эффективным и

удобным при использовании электромоделирующих устройств и ЭЦВМ [21, 36, 38].

Составление исходных уравнений метода конечных элементов может базироваться на том или ином подходе (энергетический принцип, принцип возможных перемещений и другие). Этому ме­ тоду посвящена достаточно обширная литература [8, 21].

В отличие от известных решений нами применяются такие аппроксимирующие работу отдельного элемента функции (обыч­ но взятые в виде полинома), которые прежде всего удовлетворя­ ют исходному дифференциальному уравнению с учетом сложной распределенной нагрузки, а объединение элементов производится путем сравнения деформаций в центрах примыкающих друг к другу элементов с деформациями объединяющего центрального элемента, поведение которого описывается той же функцией, что и у объединяемых элементов.

Полученные таким образом расчетные формулы обеспечива­ ют неразрывное склеивание элементов и удовлетворение усло­ виям равновесия.

Кроме того, объединение элементов осуществляется на базе стержневой схемы, мысленно выделенной из заданной сплошной среды с учетом воздействия на нее примыкающих элементов [7]. Сами конечные элементы могут иметь различную форму (прямо­ угольную, криволинейную, параллелограммную, трапецеидаль­ ную, треугольную и т. д.) и применяются в условиях изгиба и плоского напряженного состояния.

Уточненные конечно-разностные операторы и конечные эле­ менты оказались весьма удобными, несмотря на некоторую их громоздкость, для реализация на ЭЦВМ. При этом используется матричный аппарат. Особенно эффективны матрицы преобразо­ ваний, с помощью которых составлены программы расчетов ко­ соугольных анизотропных пластин с различными краевыми условиями при действии на них сложных распределённых нагру­ зок. Этому вопросу посвящена выполненная под руководством автора диссертации аспиранта В. А. Колесника, при участии ко­ торого написана пятая глава книги. Автор выражает благодар­ ность аспирантам Г. В. Василькову, В. И. Парфенову, В. Г. Ми­ насяну, П. П. Скибицкому за помощь в вычислительной работе при оформлении рукописи.


Г л а в а I.

УТОЧНЕННЫЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН

§ I. Расчет стержней

При решении задач строительной 'механики методом конеч­ ных разностей производные, входящие в дифференциальноеуравнение изгиба и в уравнения, описывающие граничные усло­ вия, заменяются конечными разностями, что приводит к системеалгебраических уравнений. Сами дифференциальные уравнения при этом удовлетворяются дискретно.

Различные краевые условия, содержащие производные от искомой функции, также выражаются в конечных разностях, од­ нако характер загружения в окрестности контура не,отражается в этих уравнениях. Иначе говоря, выбираемая (об&чно в виде полинома) аппроксимирующая функция не удовлетворяет основ­ ному дифференциальному уравнению. , ■

Если устранить это противоречие, то значительно снизится погрешность. При этом в ряде случаев можно получить точные решения с минимальным числом узлов, как это, например, на­ блюдается при использовании уравнений трех моментов в строи­

тельной механике стержневых систем.

 

составления конеч­

Рассмотрим сначала простейшие случаи

 

но-разностных

уравнений

 

для стержней. Часть фор­

 

мул, полученных при этом,

 

будут попользованы в даль­

 

нейшем при расчете пла­

 

стинчато-стержневых систем.

 

 

Пусть имеется

участок

 

балки

постоянной

жестко­

 

сти длиной 4h, где h — дли­

 

на интервалов, на которые

 

разбита балка (рис. 1).

 

 

Запишем

дифференци­

 

альное уравнение изгиба:

т я

EI

d4 w

q(x).

( . )

 

dx4

1 1

Рис.

I

 

 

 

 

 

 

 

6


Будем искать решение этого уравнения в виде полинома

i=8

w — ^ а,х.‘

(1.2)

i=0

Здесь а,- — параметры, значения которых найдем, удовлетво­ рив уравнению (1.1) в сечениях 1, 2, 3, 4.

Запишем теперь условие (1Л) для центрального узла 0:

EI

d4 w

х=0 = q0-

(1.3)

dx4

Подставив вместо четвертой производной ее значение, най­ денное из (1.2), после простых преобразований получим

6w0 - 4(Wl + w8) -f w2 + w4 = —1— [474 q0 +

721) с I

 

+ 124 (q, + q8) — q2 — q4] h4.

(1.4)

Здесь q! — ординаты, эпюры, нагрузки в выбранных сечениях. Отметим, что сана нагрузка изменяется по закону кривой чет­ вертого порядка.

В частном случае,' при q = const, уравнение (1.4) совпадает с обычным уравнением метода конечных разностей, которое имеет вид:

6w0 — 4 (Wj -f- w3) + w2 + w4 —

.

(1.5)

El

При выводе граничных условий рассмотрим участок 3—0—

— 1—2 стержня (см. рис. 1) длиной 3h, а функцию прогибов за­ дадим в виде полинома

1=7

 

w — ^ ai

( 1-6)

i=0, *'

 

Параметры полинома, входящие в (1.6), найдем, удовлетво­ рив дифференциальному уравнению (1.1) и выразив их через дискретные значения прогибов в сечениях 0, 1, 2, 3.

7

Рассмотрим несколько частных случаев граничных условий: I. Жесткое защемление.

Из условия равенства нулю угла поворота и прогиба в сече­ нии 0, имея в виду (1.6), найдем значение законтурной ординаты линии прогибов:

 

W3 =

3Wl _ J _ W 2+ (12 8q o+ e9 q,-3 q 3-_4l8 ) hJ

(1.7>

 

3

1

2

 

 

 

840 El

 

 

При q =

const

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

1

г

qh4

 

( 1.8>

 

 

 

w3 = 3W!------ w 2+

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4Ei

 

 

2.

Шарнирное опирание.

 

 

 

 

 

 

 

 

w0 = 0;

d* w

I

0.

 

(1.9>

 

 

 

dxs

lx==o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После выполнения условий (1.9)

с учетом (1.6) находим

 

 

w3 =

— wt +

— -т -(28 q0 +

ер +

Чз)1т4.

(1-Ю)

 

 

 

 

 

obU ы

 

 

 

 

При q = const имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ws =

щ

+

qh*

 

 

( 1. 11)

 

 

 

12 El

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Свободный конец балки

(сечение 0).

 

 

 

 

 

dl w

 

П*

 

d3 w

=

0.

( 1.12)

 

 

 

dxa

x=0

— U,

 

dx3

 

 

 

 

 

х=0

 

 

Подставив в (1.12)

вместо производных их значения,

найден­

ные из (1.6), получим

 

 

 

 

 

 

.

w0 =

2wt — w2 -}- loU Ы

-f 47 qt — 3q2 — 4q3)h4;

(1.13)

w3 =

3wj —

2w2

+

 

( 96q0+

63qj — 5q3 — 4q2)h4.

(1.14)

 

 

 

120 Ы

 

 

 

 

 

 

8