Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 52
Скачиваний: 0
РОСТОВСКИЙ-НА-ДОНУ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ
Ю. Н. Музыченко
РАСЧЕТ ПЛАСТИНЧАТО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Издательство Ростовского университета
1974
У Д К 624.071+624.073
Печатается mo постановлению Ученого совета Роетовского-на-Дону инженерно-строительного института
Ответственный редактор проф., д-р техн. наук К. К. К е р о п я н
Рецензенты: проф., д-р техн. наук, заслуженный деятель нау ки и техники Узбек. ССР Ш. М. Г о ф м а «; доц., канд. техн. наук И. Г. П авл о в .
j |
‘ЭКЗЕМПЛЯР |
I |
ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА |
Ю. Н. М узы чен ко . Расчет пластинчато-стержневых систем. Издательство Ростовского университета, 1974. .
204стр.
Вкниге излагается расчет анизотропных, ортотропных и изотропных пластин и пластинчато-стержневых систем методом сеток и методом ко нечных элементов повышенной точности, позволяющий рассчитывать плас тины на сложные распределенные напрузки. Приводятся алгоритмы расче тов прямоугольных и круглых в плане пластин с учетом деформаций сдвига.
Днига адресована инженерно-техническим работникам, аспирантам и студентам строительных специальностей.
0311—079
ММ 175(03)—74
©ИЗДАТЕЛЬСТВО РОСТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, 1974-1
В В Е Д Е Н И Е
Книга посвящена некоторым численным методам расчета пла стин и пластинчато-стержневых систем.
Вопросам усовершенствования и реализации численных мето дов расчета конструкций в связи с быстрым развитием вычисли тельной техники уделяется в настоящее время большое внима ние как в нашей стране, так и за рубежом [21, 23, 24, 28, 47, 49, 50, 51].
Наибольшую популярность приобретают весьма удобные для составления алгоритмов расчета на ЭЦВМ методы конечных
разностей и конечных элементов [1, 2, 3, |
5, 10, 42, 13, 14, 15, |
||
19, |
31, |
48]. |
|
|
Существует несколько способов вывода расчетных уравнений |
||
метода |
конечных разностей. |
замену производных, |
|
|
Первый предусматривает формальную |
входящих в той или иной комбинации в исходные дифференци альные уравнения, их аналогами, выраженными через дискрет ные значения функции в узлах сетки ['16, 19].
При втором способе используется вариационный метод выво да сеточных уравнений как более общий и обладающий возмож ностью учитывать сложные краевые условия. Однако и он огра ничен пределами точности аппроксимации производных обычны ми конечными разностями [1, 3, 13, 27].
Этот шособ расширил возможности метода сеток, сделав осуществимым решение многоконтактных задач и расчет многосвязных областей [13, 27].
Вместе с тем конечно-разностные уравнения,можно вывести и третьим способом. При этом выбирается та или иная функция (обычно в виде алгебраического или тригонометрического поли нома), которая точно или приближенно удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению не только в самом узле, но и в окрестности узла сетки или, во всяком случае, позволяет судить о поведении функции за пределами данного узла.
Полученные последним способом конечно-разностные опера торы будут иметь свои специфические особенности, хотя в неко торых случаях они могут совпадать с теми, которые получены обычным путем (формальной заменой производных). Чтобы
3
убедиться в этом достаточно сравнить конечно-разностные опе раторы, -составленные для -случая изгиба пластины в декарто вых и п-олярных координатах [20].
Действительно, о-бычн-ое сеточное уравнение изгиба пластин, полученное для прямоугольной сетки, -соответствует -равномерно- распределенной нагрузке по всей -зоне, примыкающей к данно му узлу, чегс нельзя сказать о -конечно-разностном аналоге, составленном для дифференциального уравнения изгиба, запи санного -в полярных координатах. Чтобы получить равноценное уравнение, необходимо учесть -соответствующий равномерно-рас пределенной нагрузке тригонометрический полином.
По мере усложнения внешней распределенной нагрузки не обходимо выбирать и подходящие аппроксимирующие функции. При это-м имеем различные по структуре и точности конечно-
разностные операторы [20, 35, 37, 39, 40, 42, 53].
Сущность этих уточненных конечно-разностных операторов иллюстрируется сначала на -стержневых системах, а затем на пластинах.
На примере расчета стержней показывается, что для опреде ленного вида сложных распределенных нагрузок можно полу чить по уточненным конечно-разностным уравнениям точные ре шения, -в то время как обычные конечно-разностные уравнения (при -одном и том же числе узлов) -дают значительную -погреш ность, особенно ощутимую inp-и небольшом числе узлов сетки.
Уточненные -конечно-разностные уравнения обладают еще од ним преимуществом. При их использовании предоставляется возможность удовлетворять граничным условиям не только то чечно (в узлах -сетки), как это делается обычно, по. и точно (вдоль всей линии) или сразу в нескольких точках контура, рас положенных между основными узла-ми сетки вдоль какой-либо произвольной линии, проведенной в пределах рассматриваемой сеточной области, взятой у да-нно-го узла. Это позволяет при ми нимальном числе узлов обеспечивать высокую степень точности, а следовательно, и решать задачи со сложными граничными условиями.
Уточненные конечно-разностные уравнения -могут быть ис пользованы также -при расчете пластин переменной жесткости, при решении нелинейных -задач (физическая -и геометрическая нелинейность), при расчете плит по уточненной теории. В част ности, последнему вопросу в работе уделено достаточно внима
ния [44].
В -настоящее время находит широкое -применение и метод ко нечных элементов. Сущность этого метода заключается в том,
4
что сплошная среда заменяется совокупностью той или иной формы элементов, которые, действуя во взаимосвязи, отражают работу всей рассматриваемой конструкции [31, 48].
Этот метод позволяет более полно осуществить, дискретиза цию континуальной среды. Он оказался весьма эффективным и
удобным при использовании электромоделирующих устройств и ЭЦВМ [21, 36, 38].
Составление исходных уравнений метода конечных элементов может базироваться на том или ином подходе (энергетический принцип, принцип возможных перемещений и другие). Этому ме тоду посвящена достаточно обширная литература [8, 21].
В отличие от известных решений нами применяются такие аппроксимирующие работу отдельного элемента функции (обыч но взятые в виде полинома), которые прежде всего удовлетворя ют исходному дифференциальному уравнению с учетом сложной распределенной нагрузки, а объединение элементов производится путем сравнения деформаций в центрах примыкающих друг к другу элементов с деформациями объединяющего центрального элемента, поведение которого описывается той же функцией, что и у объединяемых элементов.
Полученные таким образом расчетные формулы обеспечива ют неразрывное склеивание элементов и удовлетворение усло виям равновесия.
Кроме того, объединение элементов осуществляется на базе стержневой схемы, мысленно выделенной из заданной сплошной среды с учетом воздействия на нее примыкающих элементов [7]. Сами конечные элементы могут иметь различную форму (прямо угольную, криволинейную, параллелограммную, трапецеидаль ную, треугольную и т. д.) и применяются в условиях изгиба и плоского напряженного состояния.
Уточненные конечно-разностные операторы и конечные эле менты оказались весьма удобными, несмотря на некоторую их громоздкость, для реализация на ЭЦВМ. При этом используется матричный аппарат. Особенно эффективны матрицы преобразо ваний, с помощью которых составлены программы расчетов ко соугольных анизотропных пластин с различными краевыми условиями при действии на них сложных распределённых нагру зок. Этому вопросу посвящена выполненная под руководством автора диссертации аспиранта В. А. Колесника, при участии ко торого написана пятая глава книги. Автор выражает благодар ность аспирантам Г. В. Василькову, В. И. Парфенову, В. Г. Ми насяну, П. П. Скибицкому за помощь в вычислительной работе при оформлении рукописи.
Г л а в а I.
УТОЧНЕННЫЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН
§ I. Расчет стержней
При решении задач строительной 'механики методом конеч ных разностей производные, входящие в дифференциальноеуравнение изгиба и в уравнения, описывающие граничные усло вия, заменяются конечными разностями, что приводит к системеалгебраических уравнений. Сами дифференциальные уравнения при этом удовлетворяются дискретно.
Различные краевые условия, содержащие производные от искомой функции, также выражаются в конечных разностях, од нако характер загружения в окрестности контура не,отражается в этих уравнениях. Иначе говоря, выбираемая (об&чно в виде полинома) аппроксимирующая функция не удовлетворяет основ ному дифференциальному уравнению. , ■
Если устранить это противоречие, то значительно снизится погрешность. При этом в ряде случаев можно получить точные решения с минимальным числом узлов, как это, например, на блюдается при использовании уравнений трех моментов в строи
тельной механике стержневых систем. |
|
составления конеч |
|||
Рассмотрим сначала простейшие случаи |
|||||
|
но-разностных |
уравнений |
|||
|
для стержней. Часть фор |
||||
|
мул, полученных при этом, |
||||
|
будут попользованы в даль |
||||
|
нейшем при расчете пла |
||||
|
стинчато-стержневых систем. |
||||
|
|
Пусть имеется |
участок |
||
|
балки |
постоянной |
жестко |
||
|
сти длиной 4h, где h — дли |
||||
|
на интервалов, на которые |
||||
|
разбита балка (рис. 1). |
||||
|
|
Запишем |
дифференци |
||
|
альное уравнение изгиба: |
||||
т я |
EI |
d4 w |
q(x). |
( . ) |
|
|
dx4 |
1 1 |
|||
Рис. |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Будем искать решение этого уравнения в виде полинома
i=8
w — ^ а,х.‘ |
(1.2) |
i=0
Здесь а,- — параметры, значения которых найдем, удовлетво рив уравнению (1.1) в сечениях 1, 2, 3, 4.
Запишем теперь условие (1Л) для центрального узла 0:
EI |
d4 w |
х=0 = q0- |
(1.3) |
dx4 |
Подставив вместо четвертой производной ее значение, най денное из (1.2), после простых преобразований получим
6w0 - 4(Wl + w8) -f w2 + w4 = —1— [474 q0 +
721) с I |
|
+ 124 (q, + q8) — q2 — q4] h4. |
(1.4) |
Здесь q! — ординаты, эпюры, нагрузки в выбранных сечениях. Отметим, что сана нагрузка изменяется по закону кривой чет вертого порядка.
В частном случае,' при q = const, уравнение (1.4) совпадает с обычным уравнением метода конечных разностей, которое имеет вид:
6w0 — 4 (Wj -f- w3) + w2 + w4 — |
. |
(1.5) |
El
При выводе граничных условий рассмотрим участок 3—0—
— 1—2 стержня (см. рис. 1) длиной 3h, а функцию прогибов за дадим в виде полинома
1=7 |
|
w — ^ ai |
( 1-6) |
i=0, *' |
|
Параметры полинома, входящие в (1.6), найдем, удовлетво рив дифференциальному уравнению (1.1) и выразив их через дискретные значения прогибов в сечениях 0, 1, 2, 3.
7
Рассмотрим несколько частных случаев граничных условий: I. Жесткое защемление.
Из условия равенства нулю угла поворота и прогиба в сече нии 0, имея в виду (1.6), найдем значение законтурной ординаты линии прогибов:
|
W3 = |
3Wl _ J _ W 2+ (12 8q o+ e9 q,-3 q 3-_4l8 ) hJ |
(1.7> |
|||||||
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
840 El |
|
|
|
При q = |
const |
получаем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
о |
|
1 |
г |
qh4 |
|
( 1.8> |
|
|
|
w3 = 3W!------ w 2+ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
4Ei |
|
|
|
2. |
Шарнирное опирание. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
w0 = 0; |
d* w |
I |
0. |
|
(1.9> |
||
|
|
|
dxs |
lx==o |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
После выполнения условий (1.9) |
с учетом (1.6) находим |
|||||||||
|
|
w3 = |
— wt + |
— -т -(28 q0 + |
ер + |
Чз)1т4. |
(1-Ю) |
|||
|
|
|
|
|
obU ы |
|
|
|
|
|
При q = const имеем |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ws = |
— щ |
+ |
qh* |
|
|
( 1. 11) |
|
|
|
|
12 El |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Свободный конец балки |
(сечение 0). |
|
|
||||||
|
|
|
dl w |
|
П* |
|
d3 w |
= |
0. |
( 1.12) |
|
|
|
dxa |
x=0 |
— U, |
|
dx3 |
|||
|
|
|
|
|
х=0 |
|
|
|||
Подставив в (1.12) |
вместо производных их значения, |
найден |
||||||||
ные из (1.6), получим |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
w0 = |
2wt — w2 -}- loU Ы |
-f 47 qt — 3q2 — 4q3)h4; |
(1.13) |
|||||||
w3 = |
3wj — |
2w2 |
+ |
|
( 96q0+ |
63qj — 5q3 — 4q2)h4. |
(1.14) |
|||
|
|
|
120 Ы |
|
|
|
|
|
|
8