Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
Запишем матрицы Wi (5.107) и w2 (5.128) в обозначениях рис. 24 б:
W i — [аоо Эю W]7 а 2о W] W 2 W<i W js W3 аз( Wig 840 W4 W2o Wg
w 2! W5 w 22 w c w 23 w 6 a50 \v24 ago W7 азо w 25 aso Ws];
w 2 — [aoo Wg a0l |
W17 3o2 W10 W11 Wig W eW i2 Зоз W]8 3o4 W26 |
W13 |
W23W f W25 Wi4 |
W24 W 15 W i W5 Эо5 W2j Эоб Wi6 Эо7 W2o Эов]. |
|
185
Учитывая разложение функции деформаций -граней, можно записать:
|
|
7 |
|
|
7 |
|
w d = aj0; |
wc = |
aoj; |
we = ajj„; w t = |
]£ jaio. |
(5.147) |
|
|
|
]=0 |
|
|
i=0 |
|
Очевидно, матрицы Wj, W2 и W3 удовлетворяют условиям по |
||||||
ложения 1. |
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
_ |
_____ |
|
(5.148) |
|
|
|
wi = |
n iyw3; |
|
||
|
|
w2— П2у\у3. |
|
(5.149) |
||
Подставляя (5.148) |
в (5.118), а (5.149) в (5.134), найдем: |
|||||
|
Вз X w3 = |
Сз -f- F3 X Q2* |
|
(5.150) |
||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
В3 = [Bi X |
ffiy -ВаХП^у]; |
|
|
||
|
|
С3 =1 |
С[С2— |
|
|
|
|
|
hз |
= |
1 1*11*2 —l, |
|
|
матрица Q для каждой сетки имеет вид (5.73) и записана для
точек e n d (см. рис. 24 б ).
Если же нагрузка представлена в форме (5.75), то для Q2hF3
находим следующие значения: |
|
Q2 — [Че ЯкЧп QfQi Ч24<j Qie Чз ЧюЧ12Чь4* Чз QeЧ11 Q12 Q>]> |
(5.151) |
F3 = (Ft X H qi F2 X n Q2l, |
(5.152) |
где pTqi и n Q2 |
— матрицы, преобразующие (5.151) в матрицы |
|
вида (5.75). |
|
|
По положению 2 йредставим матрицу деформации: |
|
|
w3 = |
n fiy X wfk + П|у X w3 -f- П6ку X w3i |
(5.153) |
(86
здесь |
wl k = [w4w2 ........ |
wi6]; |
|
w3 |
— [зоо3i0 Ззц ■.. • 870 a?o |
3q2 . •.. З07]; |
(5.154)' |
W3 — [Wj7 W18 . . . ■ \\^2б] •
Подставляя (5.153) в (5.150) и рззрешая систему относи тельно W3к, получим:
w33 = (в, X п 6у) X (С3 -f- F3X Q2 |
В3X П5у X wf — |
- B 3x n 6ky x w k). |
(5.155) |
Для определения ззконтурных точек можно использовать по лученные здесь формулы, если принять матрицу преобразова ний следующей:
■Пь,: (9X29)0 : 1; 2:3; 3:5; 4:11; 5:13;
6:23; 7:25; 8:27; 9:29]; |
(5.156) |
а матрицу Q (5.75) записать так:
Q = [qi q2 qs q4 qa q7 qe qg qs qio qi3 qi2 qn]- |
(5.157) |
Определим выражение для законтурных точек при условиях на контуре, отличных от жесткого защемления. В общем случае будем считать, что грань защемлена в упругой балке. Рассмот рим грань, параллельную оси | (рис. 24 а).
Изогнутую ось балки, расположенной по оси £, аппроксими руем полиномом:
7 |
|
w(5)= a k - f - V a i06‘. |
(5.158)] |
i=l
Коэффициенты полинома будем рассматривать как неизвест ные, подлежащие определению вместе с законтурными точками. Считая условия на контуре неоднородными, примем, что функ ции заданных контурных усилий допускают разложение в ряд Тейлора на отрезке +1 и удовлетворительно аппроскимируются следующими выражениями:
18?
|
|
7 |
|
|
a3h3 sin3 9 X |
Pt = Pi |
+ E |
Pio S'; |
(5.159) |
|
|
1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
a*h* sin* tpx |
mt — m‘ |
+ ^ |
mi0 V. |
(5.160) |
|
|
l |
|
|
Для удовлетворения кинематическим и статическим условиям на контуре участка примем сетку (см. рис. 24 а).
Ввиду совпадения (5.158) и (5.105) исходные матрицы для определения коэффициентов (5.68) можно принять в виде (5.110; 5.111). Определим граничные условия для рассматриваемой гра ни [43]:
S, |
^ + s , ^ + s , |
д3 w I g й3 w + S5й3 w » |
||||
0:‘ |
' |
|
di2 йу + b*di йу2 |
йу3 |
||
|
|
|
= — Р* a3h3 sin3 ср;. |
(5.161) |
||
|
|
|
Bt |
|
|
|
|
й3w . й3 w . |
д2 w |
+ e5 |
d 2 w |
||
ei |
-------- b e ,------ he«------ |
й$ йт| |
||||
di2йу |
|
Й;3 |
di2 |
|
||
|
|
|
— mt a* h2 sin2 <p; |
(5.162) |
||
здесь |
|
|
|
|
|
|
=: — sin2 cp; |
Sj = — 4-(2a3 R 16 + |
aS Ri*cos <p); |
||||
|
h |
|
|
Bt |
|
|
S3 = —-(a2 Rlt -+• 4a2 Re6 + 2a' R26 СОЗ cp); |
|
|||||
|
Bt |
|
|
|
|
(5.163) |
S4 = ----—(4aR.,6 + aR,2 cos?); |
|
|||||
= — — R22; |
||||||
|
Bt |
|
|
|
Bt |
|
et — — Ct — sin <p; |
eo = Ct — sin <? cos ?; e3 = |
— a2 R12; |
||||
|
h |
|
|
h |
|
|
|
e4 = |
— R22; |
e5 = — 2aRj6. |
|
||
188
Подставляя полином (5.68) в уравнение (5.161) и (5.162), получим в (5.161) равенство двух полиномов пятой степени, а в (5.162) — шестой степени. Приравнивая коэффициенты при оди
наковых степенях |
находим систему 13 уравнений: |
|
|||||||||
St X t5 X |
а6£+ S,X t6 X an + SaXl, X a8£ + S4X t8 X a9£ + |
||||||||||
|
|
|
|
+ |
6S5 aio£ = -j-Pt; |
(5.164) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bt |
|
|
еД 6 a7£-f e3tj am + |
etl 7 a8£ -f 2e4am + |
e5t10 ai3 = mt; |
(5.165) |
||||||||
|
|
|
|
|
2e4 aG2= |
mG0; |
|
|
|||
здесь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 6 = i |
24 1 2 0 |
360 840 0 0 _ j; |
Г6 = |
Г б |
24 60 1 2 0 2 Ю 0 _ j; ' |
|
|||||
T7 = I |
2 |
6 1220300_j; |
Лв = |
1 |
2 |
46 8 |
1 0 1 2 _j; |
|
|||
F9 |
= ^ |
26 12203042 X; |
^ |
0 = |
Г 1 |
2 3 4 5 6 ^ ; |
|
||||
a6£ = [a40 a30a60a7oOO]; |
an — [a30a40a5oa6Qa70 0]; |
|
|||||||||
a8£ = |
[ац a31 a41 a51 a610]; |
a9£ = |
[a7? a22 a34 a42 a52 aG,J; |
|
|||||||
aio« — |
[а0з a43 a23 a33 a43 a53]; am = |
[a2o a3o a40 a50 aGGa70]; |
|
||||||||
am = |
[a02 ai2 a2J a32 a42 a57]; |
ai3== |
[an an a31 a47 a51 aG1]; |
|
|||||||
P t= [po Pio P20 РзоP4QP50]» |
mt = [m ‘ m10m20ms,m 40m50]. |
|
|||||||||
Элементы матриц pt |
и mt, а также элемент m70 берутся из |
||||||||||
(5.159) и (5.160). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Принимая матрицу деформаций участка в соответствии с |
|||||||||||
(5.107), по положению 1 можем записать: |
|
||||||||||
|
абЕ = |
П(5;Х w7; ап = |
ЦпХ w,; am = П8?Х w4. |
(5.167) |
|||||||
189
В силу того же положения 1 имеем:
38$ = П^з X аз = Паз X П51 X (К Т2) X [wi Q];
(5.168);
Г9£ = ГЦ X а3 = n d4 х D71(К т 2) X [ Щ Q];
am = n d7 |
X а3 = n d7 X D7 1 X (К Тг) Х [wxQ]; |
Вид матриц |
АюЕИ аш несколько сложнее. |
Представим |
первую из них так: |
ajo? |
— [аоз 0 0 0 0 0] + (О ai3 а2з азз 343 аи], |
тогда .по положению 2
аюе = П3ь X а2+ n d5 X а3.
Подставляя значения матриц а2 (5.85) и а3 (5.101), найдемг
аюе = (Пзь Х Ь Х П Ц + n d5 X D7 1 X К) X w, + n d5 X D7 1X
х т "2 х Q; |
(5.169), |
аналогично получаем:
ai2S —[ног 0 0 0 0 0] + (0 aj2 а22 аз2 342 as2] —
= П2Ь X а2 + n d6 X а3 = (n d6 X D31 X К + П2Ьл+ b X
X Пц) х Wi+ n d9 х П2- 1 х т х Q. |
(5.170> |
Подставляя найденные значения в (5.164; 5.165) и присоеди няя к ним оператор (5.111), в котором матрица D-1 заменяете®
на DiT1, получим систему 14 уравнений для определения выраже ний для законтурных точек и коэффициентов полинома (5.158).
В общем виде система имеет вид
В |
4 |
4 |
X Q, |
(5.171)» |
|
X wi = Mi + F |
|
190
где
В4=
s, х Т 5xTif* + s, x“ ex TTU + s3x T 7x nfd3x
X Dr1 x к +~S4 x С x ffd4 X D21 x К + 6 S5 x x (nd5x Бг" 1 Х К + ПзьХЬХ Пц);
e2 ts X n 7e + |
e ,t0 Па; + |
e, X.t, X Паз XD7 1 X К + |
+ 2e4 (ndgX D2 1 X К + |
П2о X Ь X Пщ) + e5 t10X |
|
|
X nd2 х |
Da X К; |
2e4 x n d8 X б,"1 X K; |
||
24RxX «1 X |
[fTb4 X fTlEi П ы Х Ь Х Пи ] -f Rg X |
|
|
X «g X l2 X”n di XDr^K; . |
|
(5.172)
(Sj x |
x nd3 + S418x nd4+ 6s5x n d5) x |
|
|
X D2-1 X T2; |
|
(e, X t7 X n d3 + 2e4X n d5 + e5 X й 0 X |
|
|
|
X n d7)XD21 X T 2; |
|
|
2et X n d8 X D2- ! X T2; |
|
R2 X ~2 X n dl X D21 x T2- n Q; |
(5.173) |
|
|
|
|
|
M1= fpt mt9 ]. |
(5.174) |
Составим из элементов матрицы Wi (5.107) следующие под |
||
матрицы: |
|
|
w34k t= |
[а5ооа0...........a70w gw 6w9 wi3 w25 w29]; |
(5.175) |
191