Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
При q — const формулы упрощаются: |
|
|
w0 = 2w, — w2 + 7qh* |
’ |
(1.15) |
12 El |
|
|
w3 — 3wj 2ws + |
• < |
(1-16) |
Заметим, что от условий, записываемых в конечных разно стях, уравнения (1.7; 1.10; 1.13; 1.14) отличаются последним чле
ном, учитывающим характер загружения стержня в зоне опирания.
Пример. Рассмотрим балку постоянного сечения, шарнирноопертую по концам и загруженную распределенной нагрузкой, изменяющейся по закону квадратной параболы (рис. 2).
w 3
Определим прогиб в середине балки, решив задачу в уточ ненных и обычных конечных разностях.
Разобьем ось балки на четыре участка. Для сечений 0 и 1 получаем
6w0 — 8w4 |
11 Pi4 |
•’ |
(1.17) |
|
12 El |
’ |
|
9
|
. |
. |
- |
, |
2 ph4 |
. |
(1.18) |
|
- 4w0 + |
7 wx + w3 = |
у |
||||
Из условия |
шарнирного |
опирания |
(1.10) |
находим ■значение |
|||
законтурной ординаты эпюры прогибов: |
|
|
|||||
|
w3 = |
|
ph4 |
|
(1.19) |
||
|
|
1 Г |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Подставив |
(1.19) |
в уравнение (1.18) и решив |
систему урав |
||||
нений, находим значение прогиба в середине балки: |
|||||||
|
|
w0= |
61 р о |
|
|
( 1.20) |
|
|
|
» |
|
5760 ЕГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный результат совпадает с точным значением. Решим теперь ту же задачу, используя обычные конечно-раз
ностные уравнения. Для узлов 0 и 0 |
они записываются так: |
|||
6w0 — 8wj |
ph4 _ |
|||
ЁГ ’ |
||||
|
|
|||
|
|
|
( 1.21) |
|
— 4Wo + 7wt + Wg |
|
3ph4 |
||
|
4EI |
|||
|
|
|
||
Исключив законтурную |
ординату |
w3 из зависимости w3 = |
||
= —Wi и решив систему (1.21), получаем |
||||
• |
3Рli |
|
(1.22) |
|
0 |
256 ЕГ |
|
|
|
Погрешность составляет |
10,6%. |
|
|
|
Этот пример наглядно иллюстрирует эффективность примене ния уточненных конечных разностей. В дальнейшем этот метод будет использован при расчете пластин.
§ 2. Расчет стержней на упругом основании с учетом деформаций сдвига
Если при расчете 'следует учитывать деформации сдвига, а также влияние упругого основания с переменным, (коэффициен том постели к,-, то используя изложенную в предыдущем пара графе методику, получаем следующие расчетные уравнения.
10
Уравнения равновесия:
79
|
[ |
6 + |
.180 El |
+ |
2GFЫ )к*|,,К |
|
\180 EI |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( — |
|
|
-- |
2 - |
ка h4 lwr |
/ 31 |
_ |
|
2 |
w 2+ |
|||
|
\ 180 EI |
3G Fj ha k2h4 |
|||||||||
|
3G F, hs / 1 J |
1 |
|
||||||||
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
[ * |
- |
720 EI + |
12G kF i,)k*h‘]w,+ |
720 EI + |
||||||
|
|
||||||||||
7b |
1 |
|
k< h4 w . |
|
720EI I474 4o + |
124(q, |
+ q2) — q3— q4] + |
||||
12G F,h* |
|
||||||||||
|
|
|
|
+ lio F , ^18q° ~ |
8^i + |
q2) - |
q3 — q*J- |
(i.23) |
|||
|
Значения законтурных ординат: |
|
|
|
|
||||||
|
1. Жесткое защемление |
|
|
|
|
|
|||||
w 2=
k2 h4
280 EI
3k2 haN—1 17 |
_ 89K, h4 |
_ |
k,h2 \ |
20GF,J LI |
840 EI |
|
20GF,jWl |
( 2 |
|
210EI |
lOGF.h3^ |
840 EI^28q° + |
89 4l ~ 3q2 ~ |
4qs) + |
|||||
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
(4q0 |
+ qi |
- |
3q2 - |
2q,). |
|
(1.24) |
|
2 . |
Шарнирное онирание |
|
|
|
|
|
|
||||
W o— |
k2 h4 ___ k? h3 N—1[7 k, h2 |
k, h4 |
|Wj + |
||||||||
360 EI |
12GF,/ |
Lll2GF, |
360 EI |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
j f280qp 4~ 4i |
42^h4 . |
(2q0 — q, — q2) h2 |
|
(1.25) |
|||||
|
|
|
360 EI |
4 |
|
12 GF^ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Свободный |
конец стержня |
|
|
/ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^0 = , (^2 S3 -) |
S rS ,) - 1^ |
|
+ |
2S3 - |
(189S, + 94S3)k, h4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
360EI |
|
|
|
11
|
(3St + 2S3) kt h2 w4 — |
2Sj |
|
|
(2S!+S3)kih< |
|
|
||||||
|
|
12QFi |
|
|
|
|
|
|
|
60 El |
|
|
|
|
(2St -f- S3) k3 h2 |
|
h4 |
[(288SJ + |
130 S3)q0 + |
(189 S4 4- |
|||||||
|
' |
4GF4 |
360 El |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ 94S3)q4 - |
(15 S, + 8S3)q2 - |
(12 Si |
+ 6 S 3) q8] + |
|||||||||
|
h2 |
[(12 S, |
+ 5S3) q0 + |
(3S, + 2S 3)q1 - |
(9St |
f 3S3)q2 |
|||||||
|
12GFt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ( 6S, + 4S3)q 3]}; |
|
|
|
(1.26) |
||||||
w2 = |
(St S4 + S2S8) - ‘ 113S2 - |
2S4 4- -(94S< |
|
|
4- |
||||||||
|
|
(254 — 3S2) ki h2j |
__ |
Г 2 S |
— |
S4 |
+ |
(S4 - |
2S2) k3 h4 |
||||
|
|
12GFi |
J |
|
L |
|
|
|
|
60 El |
|
|
|
+ |
(S4- |
2Э2) k3 h2 |
w3 |
|
f(288S2 — 130 S4)q0 + |
(189 S2 — |
|||||||
|
|
4 GF, |
360 El |
L |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
94S4)qt - |
(15 S2 |
- |
8S4)q2 - |
(12 S2 - |
6S4) q8] + |
||||||
+ |
J ? - [(12S2 — 5S4) q0 + |
|
(3S2 - |
2S4) q4 - |
(9S2 - |
3S4)q2- |
|||||||
|
12 О ri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(3S2 — 2S4)q3] }. |
|
|
|
(1.27) |
|||||
Здесь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
s r = |
k2h4 . |
кзЬ2 ; |
S2 |
- |
1 |
+ |
13k0 h4 |
5k0 h2 |
|
|
||
|
12GFji |
|
|
||||||||||
|
|
45 EI |
3 GFj |
|
|
|
|
36 EI |
|
(1-28) |
|||
|
|
к» h4 |
3kg h4 |
^ |
|
4 |
k0 h4 |
|
|
|
|||
s 8 = l |
|
• + |
k° h2" |
|
|
||||||||
24 EI |
3 GFj |
’ |
|
|
5 |
|
EI |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
GFj |
|
|
|||||
k i— коэффициент постели;
F i— приведенная площадь сдвига, выражающаяся следую щей зависимостью:
12
Fi = |
I2 |
(1.29) |
F
§ 3. Уравнения метода перемещений для стержней, загруженных распределенной нагрузкой, выражаемой степенной функцией
Выведем уравнения для (концевых силовых факторов и де формаций в центре стержня, загруженного распределенной на грузкой, выражаемой степенной функцией.
1. Изгиб стержня.
Рассмотрим стержень (рис. 3), загруженный некоторой рас
пределенной нагрузкой q(x), изменяющейся по степенному за кону
q(x) —А0 -(- Aix -f- А2Х2 А3х3 -(- А 4х4. |
(1.30) |
13
Коэффициенты принятого полинома А , можно выразить че рез значения интенсивности нагрузки, взятые в середине стерж ня, четвертях пролета и по концам.
Они имеют следующий вид:
А0 = |
q0; |
|
|
|
|
|
|
A i / = |
i [ 8 (qi - |
q2) + qa - |
qbI; |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
A3l 2 |
= |
[— 60 q0 + 32 (qj |
q2) — 2 (qa + |
Qb): |
(1.31) |
||
A3l 3 |
= |
4 -[3 2 (q 2 - |
q0 + 16 (qb - |
q,)]; |
|
|
|
Ail* |
— 7^- [192q0 — 128(q! + |
q2) + |
32 (qa + |
qb). |
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Решение дифференциального уравнения изгиба (1.1) можно искать в виде (1.2). Коэффициенты полинома выразим теперь через прогибы и углы поворота на концах стержня и ординаты нагрузочной функции. После этого нетрудно найти значения мо ментов и поперечных сил на концах стержня:
Mab = 2- f |
(2сра + <рь |
— 3 ZlLZli.'} - |
- J — (36 q0 + |
16 qt + |
|||||||
|
|
|
+ |
48 q2 |
+ |
5qa) l2; |
|
|
(1.32) |
||
M ba = |
2<pb + |
|
w b ■ |
|
|
|
(36q0 |
||||
cpa — 3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1260 |
|
|
|
|
48qi + |
I6q2 + |
5qb) l2; |
(1.33) |
|||||
Qab |
6Е1/ .. |
, „ |
о wb - |
■ |
w a |
|
(84q0 + |
||||
— |
^ |
+ |
?ь - |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1260 |
|
|
-f- 80qt -f- 368q2 |
|
103qa |
|
5qb)/; |
(1.34) |
|||||
Qba |
|
6EI |
?ь + |
Фа ' |
- |
wb — wa |
j |
— T^(84q0 + |
|||
|
p ( |
|
|
i |
1260 |
|
|||||
|
+ |
368qt -f- 80q2 — 5qa + 103qb)/. |
(1.35) |
||||||||
14