Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

О ч е в и д н о ,

^ и п 5 ) = ]■■%(-) л т .

Поэтому, если Л4г [Х_/Н„] — условное математическое ожидание по мере Р,, то для любого .А£НЛ

Сравнивая полученное выражение с равенством (1.5.1) для множеств вида. Л П 5 и обозначая через 714 [ / х /Н„] условное математическое ожидание по мере Р, получаем

Ы Т '& м , [ц!Нп\ = м [ / Х-1Нп].

Пусть Нт определяется элементами еь ..., ет при т<.п. Нетрудно заметить, что Нт сН „. Далее А4(|/|]<оо. Следова­ тельно, 'выполнены все условия теоремы Дуба (стр. 297 [101) ■ На основании этой теоремы почти всюду относительно меры Р

Нт является о-алгеброй, порожденной цилиндрическими множествами с борелевскими основаниями над элементами фик­ сированной полной в Н системы (£*]“_,. Нетрудно показать,

что Нет не зависит от фиксированной системы и совпадает с Н„ Так как функция / ( z ) y - ( z ) Н-измернма,

Дуба (стр. 297 [10]) и к последовательности условных мате­ матических ожиданий 7W, [Х_,'Н„]. На основании этой теоремы

тельно меры Р на S, то с учетом обозначения (1.5.3) отсюда следуют первые два равенства теоремы 1.5.1.

18

Рассмотрим теперь сходимость последовательности функций ^n(Tnz) относительно меры Р\ на 5.

Наряду с равенством (1.5.1) можно написать также равен­

отрицательна и суммируема относительно меры Pi. На мно­

Р\ — мера множества 5 положительна, поэтому справа в ра­ венстве (1.5.9) оказывается положительное число, что невоз­

можно.

Повторив теперь предыдущие рассуждения для функции [i(z), найдем, что почти при каждом в на Н относительно ме­ ры Pi

(Т z) /i(~)

п-*-СО V n \JnZ)

ИЛИ

Ига ( Tnz) = y j -t . 11—>ОЭ J1(Z)

Так как на множестве 5 функция fi(z)=0 почти всюду отно­ сительно меры Pi, то, принимая во внимание обозначение (1.5.3), получаем последнее равенство в теореме 1.5.1.

Для обоснования еще одного метода вычисления отноше­ ний правдоподобия необходимо рассмотреть несколько вспомо­ гательных вопросов.

показано в следующей главе, для широкого семейства вероят­ ностных мер при невыполнении этих условий меры Р и Р\ ока­ зываются ортогональными и необходимость в вычислении от­ ношения правдоподобия отпадает, так как в этом случае на основании теоремы 1.3.1 оно равно нулю почти всюду на Я относительно меры Р и равно бесконечности почти всюду на

было бы отождествить. В общем случае этого сделать нельзя, поскольку элементы пространства L2(A) не обязаны быть из­ меримыми по мере Р, а элементы пространства L2(B) не обя­ заны быть измеримыми по мере Л , хотя между элементами этих пространств и существует некоторое соответствие.

Поскольку для любых v' и v" из Я, в силу формул (1.4.3), (1.6.1) и (1.6.4),

М [AVAVj =(х)', v")Bt

20

множество элементов пространства Н линейно и всюду плотно в Нв, а множество функций {А„(;г)} линейно и всюду плотно в L2(B), отображение

тв"° = Х * (z )

продолжается до изометрического отображения пространства Нв на Lo(B). Это обосновывает

то оно может быть продолжено до изометрического отображе­ ния H(G\) на H(G2) (стр. 235 [4]).

Аналогичным образом, при помощи теоремы 1.6.1, с учетом равенств (1.4.3), (1.6.2), (1.6.5) и совпадения множеств эле­ ментов Н 4 и Нв соответствие

TAv = X v (z)

поодолжается до изометрического отображения пространства Нв на L2(A). Следовательно, и между пространствами Ь2(В)

•и 7-2(А) существует изометрическое соответствие Т.

Каждый элемент v £ Нв является пределом последователь­

подпоследовательность функций X v (z), элементу v ^ H Bможно сопоставить предел такой подпоследовательности. Функции X Vn

определены всюду на Н и Н-измеримы. Множество сходимо­ сти 5 этой подпоследовательности также Н-измеримо. Предель­ ная функция определена на S и тоже Н-измерима. Подпосле­ довательность V„ может быть выбрана так, что подпоследо­

вательность X Vn (z ) будет сходиться почти всюду относительно

мер Я и Ру (п. в. Я, Я,). Если — множество сходимости этой подпоследовательности относительно меры Яь то это мно­

21