Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 92
Скачиваний: 0
личения процессов в данном случае можно было бы восполь зоваться результатами гл. 5. Поскольку этот оператор не фиксирован, желательно найти процедуру обнаружения, кото рой при фиксированной вероятности ошибки первого рода со ответствует максимальная из минимальных вероятностей оши бок второго рода для семейства P/v*.0.
§ 6.2. Минимаксная процедура обнаружения. Наиболее трудно обнаруживаемые сигналы
Для фиксированной пары мер Р\ и Р из семейства P/v?,0 оптимальная по критерию Неймана — Пирсона процедура раз личения процессов заключается в сравнении с критическим уровнем Ло отношения правдоподобия
/ |
|
|
U ( г) |
(6.2. 1) |
|
Т и лд ] |
ехР \ 2 ' |
v{z) |
|||
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
U ( z ) = S ] ^ ^ < z , |
vk>\ |
|
(6.2.2) |
||
п |
|
|
|
|
|
V (z) == lim — |
<z, |
v,y2 |
|
(6.2.3) |
|
h |
1 |
|
|
|
|
(§ 5.2), п принятии решения в -пользу |
первой |
гипотезы, если |
|||
Л (г) $5-Ло, и в пользу нулевой гипотезы, если Л(г)<Ло. Схо
димость |
в формулах (6.2.2) и (6.2.3) имеет место как |
(п. в. |
Р\, Р), |
так и в среднем квадратическом относительно |
обеих |
мер. |
|
|
Введем процедуру принятия решения, заключающуюся в |
||
сравнении с критическим уровнем с функции |
|
|
|
V (2) |
(6.2.4) |
|
W(z) = |
|
|
f\ V {z )\ |
|
Функция f(x) является борелевской. По этой причине функция
|
(6.2.5) |
и множества |
|
Д] = {д:^(л')> с), Е2 — {х:6 (к0х) < с] |
(6.2.6) |
также будут 'борелевскими, в силу чего можно воспользовать ся леммами 3.5.1, 3.5.2 и 3.7.2, согласно которым вероятности
ПО
ошибок ро и р1 первого и второго рода для процедуры с функ цией W(z) определяются следующими равенствами:
p0 = P { z £ H : W ( z ) ^ c ] = P { z e H : t y [ V(z)]>c) = |
|
= P { z e f f : V ( z ) £ E l\ = $ f ( x ) d x l |
(6.2.7) |
F, |
|
P i= P i \ z £ H : W ( z ) < c } = P l {гЕ Я :6[1/(:)] < c \ = |
|
=--P{z£ H: ф [).0l/ (2)] < с } = Я [z£H\ V{z) £ E 2\ = \f{ x )d x . |
(6.2.8) |
Для каждого A £ B?.„ при фиксированной вероятности ошибки первого рода вероятность р[{А) ошибки второго рода, соот
ветствующая процедуре с функцией Д(г), будет не больше, чем не зависящая от А вероятность р х этой ошибки для проце дуры с функцией W (г).
Обозначим через Р/7*0 подсемейство пар мер Я7 и Р семей ства Р/.,х„, имеющих операторы А х с собственными числами
аа= л0 при всех |
и через В*0 соответствующее подсемей |
||||||
ство операторов А из В>.0. |
|
|
|
|
U — О |
||
Пусть Я, G Р/,?.0. Тогда Л(йВ>.0 и |
по |
формуле |
(6.2.2) |
||||
(п. в. Я,, Я), а по формуле (6.2.3), |
леммам 3.5.1, |
3.5.2 |
и 3.7.2 |
||||
V (г)Ф 0 (п. |
в. |
Я,, Я). Поэтому, согласно (6.2.1) |
и (6.2.4), |
||||
Т" |
W(z) = A(z) |
(п. в. Я,, |
Я) |
и pi = p i {А). |
|
||
Л0 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
Pi = sup/?j (Л), Я, е Р/Тх0, |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
т. е. процедура |
принятия |
решения с |
функцией |
W (г) |
явля |
||
ется минимаксной. |
что процессы для которых |
корре |
|||||
Попутно |
мы |
выяснили, |
|||||
ляционный оператор А принадлежит В>0, наиболее трудно различимы, поскольку для них оптимальная по критерию Ней мана-Пирсона -процедура совпадает с минимаксной. Найдем необходимые п достаточные условия принадлежности процесса
из семейства Р/7х0 к подсемейству Р/7?.0 наиболее трудно раз личимых процессов.
Если Л£Вх0сВ х 0, то
со |
со |
А'=1 к=1
для любого и £ Н , так как при этом и £ Н в , а система собст венных элементов оператора Ах полна в Нв . Далее, согласно определению пространства Нв и оператора Л ,, для любых элементов и и в из Н справедливы равенства
{Apt, v)B = (Au, а), (и, v)в =-{Ви, v).
ill
Следовательно, для любых и и v из'Н (А,«, v )B — (Ь0и, v)B = = {Вк0и, v) — Q.0Bi, v) = (Au, v), откуда вытекает равенство
А = Х0В.
Обратно. Если имеет место последнее равенство, то оператор Ах.существует н равен произведению единичного оператора, действующего в пространстве Ив , на Х0, т. е. ограничен, имеет
все собственные числа равными 0 < Х0 < оо п полную в Нв си
стему собственных элементов, в качестве которой может быть взят произвольный ортонормированный базис в пространстве Ив<
СО |
, |
|
причем 2 | |
I — 0. Поэтому А £ В*0. |
|
й-Г |
выделенное выше подсемейство |
наибо |
• Таким образом, |
лее трудно различимых процессов характеризуется тем, что корреляционные операторы (функции корреляции) наблюдае мого процесса при обеих гипотезах различаются только посто янным числовым множителем. Этот вывод хорошо согласуется с интуитивными представлениями.-Однако с точки зрения тео рии различения чисто гауссовских процессов такие процессы являются идеально различимыми.
Как следует из формул (6:2.4) — (6.2.8), минимаксная про цедура различении случайных, процессов при неизвестной функ ции корреляции для одного из них полностью определяется плотностью вероятностен f(x), числом ко и функцией V(z). Замкнутое выражение для функции V(z) определяется в §5.5.
§ 6.3. Частные случаи задачи раличения пары случайных процессов с неизвестной функцией корреляции для одного из них
Рассмотрим теперь некоторые особенности процедуры ми нимаксного различения, возникающие при различных функ
циях / ( а-). |
Предположим, что |
функция /(л*) соответствует |
|
равномерному распределению |
вероятностей в |
промежутке |
|
[а, £] ( 0 |
^ а < й ) . В этом |
случае процедура |
различения |
с функцией W[z) будет сингулярной при любых Х0тМ , при
чем для |
и |
-Ь- процедура будет чисто сингулярной, |
|||
и возможно |
различение с обеими вероятностями ошибок рав |
||||
ными нулю (при с > |
0). Пусть 1 <^ч> < • |
Применяя форму |
|||
лы (6.2.5) —(6.3.8), находим |
|
|
|
||
|
|
0 |
при |
с > |
1, |
|
я0= ' |
hb~ f ~ |
при |
0 < с < 1 , |
|
|
|
1 |
при-. |
с < 0, |
|
112
|
b |
|
|
|
P t = |
т~— a |
при ' c > |
1, |
|
b — a |
||||
при c < |
1. |
|||
|
0 |
Если -j-< X o< 1, то совершенно аналогично найдем, что
О |
при |
С > 1, |
|
lb"kQ — |
ц |
0 < с < 1 |
, |
Рь = b — а |
при |
||
1 |
при |
с < 1 , |
|
при с > 1,
Опри с < 1.
При Х0—1 из (6.2.4) W(z) = 1 (п. в. Pi, Р) и различение воз можно только с вероятностями ошибок ро= 0, pi = l или с ве роятностями ошибок ро= 1, р1= 0.
Для целого ряда законов распределения вероятностей (пуас соновского, релеевского н экспоненциального) 'функция ф(*), определяемая, равенством (6.2.5), является монотонно возрас тающей. Поэтому вместо использования процедуры различе ния с функцией W(z), с равным успехом можно использовать процедуру, заключающуюся в сравнении с критическим уровиом функции V(z). Применяя леммы 3.5.1, 3.5.2 и 3.7.2, нетруд но показать, что вероятности ошибок в данном случае будут определяться равенствами
p ^ P \ z £ H : |
V(2)>c} = |
j f(x )d x , |
Pi = P i \ z £ H : |
V(z) < cj = |
J f(x) dx, |
вполне пригодными для практического использования.
§6.4. Семейство пар распределений вероятностей Рд0
Воставшейся части главы рассмотрим более общую задачу различения пары гипотез при условии, что распределения ве
роятностей, соответствующие этим гипотезам, заданы только с точностью до некоторого семейства. Поскольку вероятност ную меру можно переносить в гильбертово пространство с про
странства всех |
числовых последовательностей |
(§ 1.4), |
то для |
упрощения выкладок ограничимся рассмотрением мер |
только |
||
на этом пространстве. |
|
|
|
Итак, пусть |
й — пространство числовых* последовательно |
||
стей {zu z2, ...}, |
А — о-алгебра, порожденная |
цилиндрическими |
|
множествами в Й. И пусть на измеримом пространстве |
(й, А) |
||
8 З а к . 389 |
|
|
ИЗ |
заданы две вероятностные меры Р и Р\, соответствующие ну левой и 'первой гипотезам.
Оптимальная по байесовскому критерию процедура разли чения этих гипотез определяется отношением правдоподобия, которое, в принципе, можно найти, если обе меры известны полностью. Если же одна или обе меры заданы лишь с точно стью до некоторого семейства, то целесообразно иметь проце дуру, которой соответствовал бы максимальный из минималь ных рисков, или процедуру, для которой средний риск не зави сел бы от конкретной пары мер из рассматриваемого семей ства. Прежде чем искать такие процедуры, определим семей ство пар распределений вероятностей.
Назовем совокупность пар вероятностных мер Р и Pi, за данных на измеримом пространстве (Й, А) при помощи фор мул
СО |
|
Я(А) = j f(x)P{A,'x\ dx, |
(6.4.1) |
О |
|
Л (А) = j f(x ) Р, [AJx] dx, |
(6.4.2) |
О |
|
семейством Р/>,0, если выполнены следующие условия:
1)Р[А/х) и Р1 [А/х] — однопараметрические семейства ве роятностных мер на (2, А);
2)f ( x ) является фиксированной для Р/>,0 кусочно-непрерыв ной плотностью вероятностей на положительной полуоси с ко нечным математическим ожиданием тх,
3)при каждом х > 0 случайные величины zk имеют отно сительно мер Р [А х\ и Я, {А 'х} равные нулю математические
ожидания и дисперсии -А— для меры Р \ А ’х\ и |
для меры |
P-l IA/x }, причем lim — >.0 > 0, а ).0 фиксировано для Р
f t —*■ СО
4)совместные распределения вероятностей любых конечных наборов случайных величин zk, k = l, ... , п для мер Р и Pt задаются плотностями;
5)при любом целом положительном п функции распреде ления вероятностей Fnx(v) и FllIX(v) случайной величины
|
|
П |
4 |
(6.4.3) |
|
|
|
|
|||
соответственно относительно |
мер |
Р{А/х) |
и Р\\А1х] удовлет |
||
воряют условиям |
|
|
|
|
|
lim Fnx(v )= |[ 1 |
при |
X < V , |
|||
п-+СО |
10 |
при |
X > v , |
||
lim Finx(v) = |
-[1 |
при |
l0X < V, |
||
при |
\ х |
> v; |
|||
П -* - СО |
10 |
||||
|
|
|
|
||
114