Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 90

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

со

15.7.11)

Р'о =

J f { x ) d x ,

„т х Х*

Лд-~1

 

Рх — j f{x )d x .

(5.7.12)

— СО

 

Анализируя полученные формулы, приходим к выводу, что если функция ф (v) эквивалентна единице по мере Лебега, то вероятности ошибок для процедуры сравнения с критическим

уровнем величины W определяются формулами

(5.7.5)

и (5.7.6)

и не зависят от функции f(x). Если при этом

Л,о = 1,

вероятно­

сти ошибок принятия решений оказываются равными вероят­ ностям ошибок, соответствующих оптимальной процедуре для случая гауссовских распределений вероятностей. Для гауссов­ ских мер при ХоФ 1 распределения оказываются ортогональны­ ми (стр. 119 [111). В этом случае процедура сравнения с кри­ тическим уровнем величины V оказывается идеальной, т. е. ■имеет обе вероятности ошибок равными нулю. Если же меры Pi и Р принадлежат семейству P/va0, j o , как видно из “формул (5.7.11) и (5.7.12), процедуре сравнения с критическим уров­ нем величины V могут соответствовать отличные от нуля ве­ роятности ошибок.

§ 5.8. Пример

■Пусть пространством Я будет Ь2[О, Т], оператор А опреде­ ляется равенством

 

 

г

 

 

 

 

 

Аи =

j D ^ e - ^ t - t ' i u i n d t '

(0 < / < Р),

(5.8.1)

 

 

о

 

 

 

 

оператор

В — равенством

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

Ви =

^ D e - V 't - ^ u i t 'j d t '

( 0 < < < 7 ’),

(5.'812)

 

 

о

Dx > О, D >

 

 

 

причем а > 0, р Д> 0,

0.

 

А на

Легко

показать,

что область

Ra значений оператора

Т-2[0, 71 состоит из всех абсолютно непрерывных функций f(t) пространства Ь2[0, Т\, имеющих абсолютно непрерывную пер­ вую и квадратично-интегрируемую вторую производные и удо­ влетворяющих граничным условиям

а /(0 )= /'(0 ),

(5.8.3)

 

Область RB значений оператора В на Ь2[0, Т] состоит из таких же функций, но удовлетворяющих граничным условиям не

(5.8.3), а

106

Р/(0) = /'(0),

(5.8.4)

Как и в § 4.8, доказываем, что операторы А и В являются ■положительными и ядерными. Путем дифференцирования ра­

венств

(5.8.1)

и (5.8.2) найдем операторы А~1 и В-1:

 

 

A ~ lf

=

1

d * f ( t )

 

 

t <

T),

 

 

Ю-р

 

cW

■»V(0 (0 <

 

 

B~lf =

1

rf2/K)

 

(0 < t <

T),

 

 

2D$

 

dt2

■ ffit)

 

п р и чем 'оператор

A

1 о п р е д е л е н

на

R a, а

оп ер атор В

1 —

на Rb . Д ля

ф унк ц ий

u,{t)

и

v(t)

из Ra строим ск ал яр н ое

п р о ­

и зв е д е н и е

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч г 1= Щ 7 j

 

+ а?и(О] « (0 ^

 

 

 

 

 

 

 

о

Rb — ск ал я р н ое

 

 

 

я для

таких

ж е

ф ункций

из

п р о и зв ед ен и е

 

 

,

 

.

 

1

Г* Г

d4-u {

 

 

 

 

 

(U>'Ч - 1 -

2Dp J [

 

(О

■PS«W

 

dt.

 

 

Л2

 

 

Интегрируя эти выражения по частям и применяя соответст­ вующие граничные условия, сможем записать их в симметрич­ ном виде

 

 

г

 

 

(и,

®)д_1 = -^ а (0 )г» (0 )+

j К W + ««(*)] [V {t) + 0.v{t)\ dt,

 

 

0

 

 

 

 

т

 

 

{и,

'o)B- l ^ ± u ( 0 ) v ( 0 ) + - ^ ^ [ u '( t ) - \ - $ u ( t ) }

К {t) +

$v{t)]dt.

 

 

о

 

 

По тем же причинам, что и пространство / /

_ 1 в §

4.8, про­

странства Н ~1 и Нв- \ состоят из всех абсолютно непрерыв­

ных функций с квадратично суммируемой производной. Функции

К a (t) =

А.е-а|т1

 

соответствует преобразование Фурье

—

Gx Н ■ т. (<о- + а2) ’

 

а ф ункции

 

 

/f_(x) =

D e-? и

 

— преобразование Фурье

D f

О(ш): :(и)2 -)- р")

107

Если взять

 

 

D^a

 

 

^0

~W ’

 

то

Ос М _ л

—д2

Ф (со)

G(со)

W

юз от­

 

будет удовлетворять условиям теоремы 2.7.1, вследствие чегоХ0 будет искомой точкой сгущения собственных чисел опера­ тора A t. Пространства Н и И _i совпадают.

АВ

Для любого u ^ H ^ i

([/-Х 0А2 '] и,

и)в- 1 =

I и И*_ j — Х01| и I* _ 1=

 

1

р -

а

 

2Dp

2 (Р — а) I и' (t) и (t):dt -f-

 

D

р

11' (0) +

 

 

J

 

 

В—а

 

 

 

 

+ (Р2~«2) f«2(t)dt

 

<2( 0 ) + у , г > ( Г ) - Т “2(0)

-ь

+ (Р2- «2) | «2 (0 dt =

 

[“2 ( Т) +

“ 2 (0)] + (P*-“s) 1112^

dt-

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (г) = тпх

[г2 (Т) +

г 2 (0)] +

,пх (£Р -

Д) f г 2 (0 dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

Функция

V(z), как

и

в

§

4.8,

является

пределом в

сред­

нем квадратическом относительно обеих мер последователь­ ности функций ..

V [z (tk) — z{tk-\- Afe)]2, 2D-T 7^

/?=1

но уже при условии, если wmaxAft->0 для п-+ °о. 1<к<п

Расчет завершается вычислением вероятностей ошибок по

•формулам (5.7.3) и (5.7.4).

Г л а в a G

ОБНАРУЖЕНИЕ И РАЗЛИЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ НЕПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§6.1. Обнаружение случайного сигнала с неизвестной функцией корреляции

Вдвух предыдущих главах считалось, что соответствующие бинарным гипотезам вероятностные меры определены полно­ стью. Однако встречаются практические задачи, в которых

одна или обе вероятностные меры заданы лишь с точностью до некоторого семейства, более общего, чем семейство, опреде­ ляемое конечным числом параметров. Примером может слу­ жить рассматриваемая в трех первых параграфах этой главы задача различения случайных процессов, в которой функция корреляции наблюдаемого процесса известна только для одной из двух конкурирующих гипотез, а для другой — указан лишь некоторый широкий класс функций, к которому принадлежит функция корреляции.

Если наблюдаемые случайные процессы при каждой из ги­ потез являются гауссовскими, имеют общую для обеих гипотез случайную интенсивность и равные нулю математические ожи­ дания, естественно считать пару мер Р\ и Р, определяющих эти процессы при первой и нулевой гипотезах, принадлежащей к семейству P/V?a, (§ 3.5). Если при этом функция корреляции наблюдаемого процесса для нулевой 1гипотезы фиксирована, это эквивалентно тому, что фиксирован корреляционный опе­

ратор В,

соответствующий

мере

Р,

а тем

самым фиксирована

и мера

Р.

Для задания меры Р i£

P/v?„ необходимо и доста­

точно задать' корреляционный оператор А.

 

 

 

Обозначим через Вх„ класс корреляционных операторов,-

соответствующих мерам

из Р/р0.

 

 

 

следую­

Операторы из класса 8х„ можно

охарактеризовать

щим .образом. Каждый оператор А £ В>.0

однозначно

опреде­

ляет оператор А и который равенством

 

 

 

 

 

 

(An,

V) = (Л,и, v)B,

 

 

 

справедливым для любых элементов и

и v

из //, однозначно

определяет

оператор А £В х0.-

Но

для

мер

из Р/р„

оператор

At имеет полную в пространстве

Нв

 

систему собственных

элементов

и систему строго

положительных

собствен­

ных чисел

с единственной фиксированной точкой сгу­

щения 0 < Х0 < оо и абсолютно сходящимся рядом 2

)i=i

Если бы оператор А был фиксирован, для нахождения оп­ тимальной но критерию Неймана — Пирсона процедуры раз-

109

Смотрите также файлы