Файл: Боренштейн, Ю. П. Исполнительные механизмы со сложным движением рабочих органов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 0
Исследование уравнения (4) показывает, что траектория точки К есть эллипс, оси которого повернуты относительно осей
координат на некоторый угол у. |
Найдем |
этот угол |
и оси |
эллипса] |
||||||||||||
|
Известно, что для такого случая расположения эллипса на |
|||||||||||||||
плоскости угол |
7 определяется из уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
tg27 = |
— * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
где |
і |
= Ь (с + |
о); |
п = |
с2 + b2; |
т — Ь2 + |
|
а3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После подстановки найденных ранее значений а, с и b в урав |
|||||||||||||||
нение |
(5) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
, |
„ |
|
2 Р sin |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t g |
2 у = |
7 1 |
\ — Т і |
|
|
|
|
Г ' |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
( ~2~ + |
Pzosa \ — ( — |
Р cos а J |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 = 4 - ( а ± л 0 - |
|
|
(6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
определения |
|
полу |
||||||
|
|
|
|
|
|
осей |
эллипса |
|
найдем |
|
его . |
|||||
|
|
|
|
|
|
каноническое |
|
уравнение. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
С этой |
|
целью |
составим |
ма- ~ |
||||||
|
|
|
|
|
|
трицу |
по уравнению |
(4) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(c2jrb% |
|
-Ь(с |
|
+ |
а) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
-Ь(с |
+ |
а), |
|
-(Ь2 |
|
+ |
а2) |
||
|
|
|
|
|
|
так |
как |
det |
(М |
— |
XF) |
= |
О, |
|||
|
|
|
|
|
|
то |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. |
30. Инверсия |
|
|
|
С 2 |
+ |
ь2 |
— Г, |
—Ь |
(с |
+ |
а); |
||||
механизма с посту- |
|
|
ї |
м |
|
" |
_і_ |
" |
|
|||||||
|
пательной движущей |
кулисой |
|
—-О. (С + |
О), |
и~ |
- р |
й~. |
|
|||||||
Здесь к' — корень следующего характеристического уравнения:
С 2 + Ьі _ х ( 6 2 + а ъ _ ц _ ь2 (с + а) = 0.
После подстановки значений а, & и с и соответствующих пре образований получим:
Тогда каноническое уравнение эллипса будет иметь вид
20
где |
F |
= (b2 — aaf = ( і 3 2 — |
~ y . |
|
|
Если d и q полуоси |
эллипса, |
то: |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Анализируя |
полученные |
результаты, |
можно |
сделать вывод, |
|
что точки К механизма, лежащие на окружности |
одного и того ж е |
||||
радиуса, равного отрезку Р, будут описывать одинаковые эллипсы,
оси которых наклонены к оси Ох под углом 7. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если из |
точки |
С (рис. 30) провести |
окружность |
радиуса Р |
= |
||||||||||||||
= -£-, то согласно |
(8) одна полуось |
обратится |
в |
нуль |
и эллипс |
||||||||||||||
выродится' в прямую, поэтому точки К, |
лежащие |
на |
окружности |
||||||||||||||||
радиуса - у , |
будут перемещаться |
по прямым линиям, |
проходящим |
||||||||||||||||
через начало координат. |
Если ж е |
менять |
величину |
отрезка |
Р, |
||||||||||||||
сохраняя при этом угол а, то точки К будут описывать |
|
различной |
|||||||||||||||||
величины эллипсы, оси |
которых |
наклонены |
к |
оси |
Ох |
под одним |
|||||||||||||
и тем ж е углом |
.у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. МЕХАНИЗМ |
С ДВУМЯ |
ВРАЩАЮЩИМИСЯ |
|
|
|
||||||||||||||
КУЛИСАМИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проведем инверсию механизма эллипсографа, закрепив звено 3 |
|||||||||||||||||||
и связав с ним систему |
координат Охх3у3 |
(рис. 30). Очевидно, чтст |
|||||||||||||||||
в этом случае имеем поворот осей координат на угол ф. |
|
|
|||||||||||||||||
Отметим |
на |
звене |
2 |
точку |
К', |
при |
этом |
0 2 |
С |
= |
ОхС |
= |
и |
||||||
С К' |
= СК. |
Установим, |
какова |
траектория |
точки |
К' |
звена |
2 |
|||||||||||
при |
неподвижном |
звене |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По формулам поворота |
осей |
будем |
иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
хк. |
= |
I sin2 |
Р -| |
cos p.— Pcos (P + |
a); |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
[(/cosp — 4") |
sinp + |
Psin(P + a) |
|
|
|
(9) |
|||||||||
|
Ук. |
= — |
|
|
|
|
|||||||||||||
Уравнения (9) представляют собой, как известно, выражения |
|||||||||||||||||||
для |
координат |
точек |
улитки |
П а с к а л я . |
Если в |
этих |
|
уравнениях |
|||||||||||
принять а = |
180° |
и |
Р = |
|
то |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
% ' |
= |
/(sin2 p + cosP); |
I |
|
|
|
|
|
( |
1 0 ) |
||||
ук> = /sinр(1 — cosp). J
Уравнение (10) есть известное уравнение кардиоиды в пара метрической форме.
6. МЕХАНИЗМ С ВРАЩАЮЩЕЙСЯ КУЛИСОЙ
Следует отметить, что закрепив звено 4 (рис. 30), являющееся так же , ка к и звено 2, ползуном, будем иметь механизм с теми ж е свойствами, что и при закреплении звена 2 (механизм эллипсо графа). Шатунные кривые с новыми свойствами получатся при
закреплении в механизме с поступательно |
движущейся |
кулисой |
||||||
звена |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
Полученный |
в |
этом |
случае |
механизм |
является |
механизмом |
||
с вращающейся |
кулисой. Пр и этом: |
|
|
|
||||
|
|
хк |
= ~ |
cos2p + |
Pcos(P + |
a);- |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
( И ) |
|
|
^ = 4 - s i n 2 p + Psin(P + a). |
|
|
||||
Эти уравнения определяют координаты точек улитки |
П а с к а л я . |
|||||||
П р и а |
= \80°! и Р |
= у |
уравнения (11) преобразуются |
в урав |
||||
нение |
кардиоиды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% - - g - (cos2p'+cosP) ; |
|
|
|||
|
|
|
y K = 4 ( s i n 2 P + s i n Р)- |
|
|
|
||
Считаем нужным отметить, что если в исследуемых |
механизмах |
|||||||
изменять угол а, оставляя величину Р постоянной, то при этом
условии шатунные кривые меняться |
не будут, |
но будут поворачи |
ваться относительно оси Оу на угол |
у = ~f~: |
П Р И изменении ж е |
размера Р точка С будет описывать различные по величине ша
тунные |
кривые, имеющие общую ось симметрии. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Установим зависимость |
между |
координатами точек |
шатунных |
|||||||||
кривых |
механизмов, |
полученных |
инверсией, и координатами те х |
||||||||||
ж е |
точек |
исходного |
механизма. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
С этой целью расположим на плоскости четыре |
исследованных |
|||||||||||
механизма |
таким образом, |
чтобы |
координаты точки |
К при {3 = |
0 |
||||||||
у всех механизмов были бы одинаковыми (рис. 31). |
|
|
|
|
|||||||||
|
Введем следующие обозначения: Ах = |
xt — х 0 ; Дг/ = |
yi |
— |
у0, |
||||||||
где |
х0, у0 |
— координаты |
точки К. в системе координат |
х, |
О, |
у |
|||||||
(основной |
механизм); |
xit |
yt |
— координаты точки |
К |
в |
системах |
||||||
координат |
соответствующих |
механизмов, |
полученных |
инверсией. |
|||||||||
• |
Обозначим приращение |
к траектории |
точки К основного ме |
||||||||||
ханизма |
As. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда: • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
As - |
|
V(bxf |
+ (Ay)2 ; |
|
|
|
|
|
|
где г|з — угол между осью Ох и отрезком As.
22
Д л я |
рассмотренных |
шатунных кривых были |
подсчитаны |
As, |
|||
•ф и результаты |
сведены |
в табл. Г. |
|
2, |
|||
Из |
табл. |
1 |
следует, |
что |
шатунные кривые |
механизмов |
|
3 и 4 |
могут |
быть получены |
из траектории точки К основного |
||||
V
J J
осу
тз
If I |
к |
Рис. 31. Начальное положение механизмов, полу ченных инверсией
механизма 1 путем добавления к радиусу-вектору отрезков As, наклоненных под углом i|> к оси Ох. Таким методом приращения отрезков были построены шатунные крлвые 1, 2, 3, 4 для четырех механизмов (рис. 32). Как следует из этого рисунка, точки К исследуемых шатунных кривых в начальном положении меха низма (Р = 0) находятся в одной точке 0, а затем с изменением
угла |
р к а ж д а я точка К перемещается по своей траектории. При |
этом |
для соответствующих механизмов траектории точек, л е ж а щ и х |
на окружности радиуса Р, будут повернуты относительно осей
координат на один и тот ж е угол у. При а |
= |
0 все кривые |
займут |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
положение, |
|
при |
котором |
ось |
|||||||||
|
|
|
|
|
Ох |
является |
их |
осью |
симмет |
|||||||||
|
|
|
|
|
рии |
(рис. |
32). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Покажем, |
что |
траектории |
||||||||||
|
|
|
|
|
точек |
рассмотренных |
механиз |
|||||||||||
|
|
|
|
|
мов |
могут |
быть |
получены |
из |
|||||||||
|
|
|
|
|
траектории |
точки |
любого |
из |
||||||||||
|
|
|
|
|
четырех |
|
механизмов. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
На |
|
|
рис. |
33 |
|
изображена |
||||||
|
|
|
|
|
прямая |
|
АВ |
= |
/, |
воспроизво |
||||||||
|
|
|
|
|
д я щ а я |
|
|
эллипс |
|
с |
полуосями |
|||||||
|
|
|
|
|
АС |
= |
т |
и |
ВС |
= |
I — |
т. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Как |
|
следует |
из |
рис. |
33, |
|||||||
|
|
|
|
|
0D |
= |
АС |
и |
DC |
= |
(l — m) х |
|||||||
|
|
|
|
|
X sin |
р + |
т sin |
р |
или |
DC |
— |
|||||||
Рис. |
32. |
Шатунные |
кривые |
механиз |
— I sin |
p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Таким |
образом, |
точки |
эл |
||||||||||||||
мов, |
получаемых |
инверсией меха |
липса можно получить из соот |
|||||||||||||||
низма |
с |
поступательно движущейся |
||||||||||||||||
ветствующих |
точек |
окружности |
||||||||||||||||
|
|
кулисой |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
путем |
добавления |
к |
радиусам |
||||||||||
|
|
|
|
|
окружности |
в |
|
направлении |
||||||||||
|
|
|
|
|
оси |
Оу отрезков |
/ sin р. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Так как у траекторий точек |
||||||||||||
|
|
|
|
|
механизма |
эллипсографа |
и |
ме |
||||||||||
|
|
|
|
|
ханизма |
|
с |
двумя |
вращающи |
|||||||||
|
|
|
|
|
мися кулисами отрезки As оди |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
наковы, |
|
а |
разница |
в |
углах |
||||||||
|
|
|
|
|
= |
Р (см. табл . 1), то |
очевидно, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
что для |
получения |
из |
эллипса |
||||||||||
|
|
|
|
|
кардиоиды |
достаточно |
повора |
|||||||||||
|
|
|
|
|
чивать радиусы / sin |
р на угол Р |
||||||||||||
|
|
|
|
|
вокруг |
точки |
D. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Такое |
построение |
дано |
на |
|||||||||
|
|
|
|
|
рис. 33, из которого |
|
следует |
|||||||||||
|
|
|
|
|
что |
точка Е |
принадлежит |
кар |
||||||||||
|
|
|
|
|
диоиде. |
|
Отрезок |
/ sin а |
вычис |
|||||||||
|
|
|
|
|
лять |
не |
приходится, |
так |
как |
|||||||||
|
|
|
|
|
он |
численно |
равен |
расстоянию |
||||||||||
|
|
|
|
|
от |
точки |
окружности |
радиуса |
||||||||||
|
|
|
|
|
малой і |
|
полуоси |
эллиггса |
до |
|||||||||
|
|
|
|
|
кривой |
эллипса |
|
(I sin |
р = |
CD). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Следует |
отметить, что пред- |
|||||||||||
Рис. |
33. |
Воспроизводящая |
прямая и ложенный. |
способ |
построения |
|||||||||||||
|
|
эллипс |
|
шатунных |
кривых |
исключает |
||||||||||||
|
|
|
|
К о о р д и н а т ы |
точки К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ |
|
М е х а н и з м |
|
|
|
|
|
|
Х а р а к т е р |
|
|
As |
|
1|> |
|
|
п. п. |
|
|
|
|
|
|
|
т р а е к т о р и и |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ХК |
|
|
"к- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
С |
поступательно движу |
- ^ - c o s p — Р cos (6 + а ) |
|
sin |
р — Р sin (Р + |
а) |
Окружность |
|
|
0 |
|
0 |
|
||
|
щейся кулисой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
— |
|
sin р + |
Р sin X |
|
|
|
|
|
я |
|
||
2 |
Эллипсограф |
-^-> cos р — Р cos (Р -{- а) |
|
|
|
|
|
Эллипс |
|
± |
/ sin р |
|
|
|||
|
|
Х ( Р + |
а ) ] |
|
|
|
~2~ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
С |
одной |
вращающейся |
4 cos 2Р — Pcos(P + a) — |
sin 2 p - P s i n ( P + |
a) |
Улитка |
± |
/ sin \ |
4 |
(я |
Р) |
||||
|
кулисой |
|
Паскаля |
|||||||||||||
4 |
С |
двумя |
вращающимися |
/ sin3 р -f- - | - c o s p — |
- |
( |
ZcosB |
X |
Кардиоида |
|
± |
I sin р |
- f |
+ |
P |
|
|
кулисами |
|
— Р cos (Р -!- а) |
X |
sin р + Р sin (Р + |
а) |
ч |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||