Файл: Бобров, Ф. В. Сейсмические нагрузки на оболочки и висячие покрытия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 90

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

смотрим определение коэффициентов динамичности |3* и формы колебаний гц для некоторых висячих покрытий, часто применяемых в строительстве.

Висячая цилиндрическая оболочка, опертая вдоль

прямолинейных образующих.

Ввиду

того что поверхность

висячей

оболочки пологая,

ее геометрию отождествляем

с геометрией цилиндрической круговой оболочки.

Дифференциальные уравнения

равновесия

оболочки

под действием компонентов внешних сил X, Y

я Z имеют

вид [10]:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V8ф * +

1—va

д' Фх _

Ri

X-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с2

 

да4

“

D

’

 

 

 

 

 

 

 

 

У8фу +

1—V2

д4 Фу _

 

R4

Y-,

(124)

 

 

с2

да4

 

D

 

 

 

У8фг +

1—V2 д*Ф2 _ R4 Z,

 

 

 

 

 

с2

 

да4

 

D

 

 

 

 

где с2 =

Л2

 

D =

 

E h 3

 

 

 

 

12R2

 

12(1—v2)

 

Ф — функция;

 

 

 

 

 

 

 

R — радиус оболочки;

 

 

 

 

 

 

Е — модуль упругости материала;

 

 

 

1г ■— толщина оболочки;

 

 

 

 

 

v — коэффициент Пуассона;

 

 

 

 

Д8:

д2

д8

 

 

д8

 

д3

да8

да8 <ЭР2

 

да4 ар4

да2 арв +

 

 

 

 

 

д8

 

 

 

(125)

 

 

 

 

 

ар®

 

 

 

V — оператор Лапласа.

 

 

 

 

 

 

 

уравнения. При динами­

Уравнения (124) — статические

ческом равновесии оболочки X, Y

и Z представляют собой

силы инерции, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yh

d2 u

 

 

 

 

 

 

 

S

dt2

 

 

 

 

 

 

 

yh

a 2 o

 

 

( 126)

 

 

 

 

g

dt2

 

 

 

 

 

 

 

yh

a 2 w

 

 

 

где

 

 

 

g

dt2

’

 

 

у — вес единицы объема материала;

 

u, v, w — перемещения;

 

 

 

 

 

 

t

— время.

 

 

 

 

 

 

 

107

Жесткость оболочки в направлении срединной поверх­ ности намного больше, чем жесткость в направлении нор­ мали к поверхности оболочки. Исходя из этих соображений можно принять:

Х = У = 0;

da w

 

а/2 ‘

 

 

 

Если выразим w через функции Ф в виде

 

оу =

у 4Ф>

(127)

то третье уравнение системы (126) будет:

 

Z = - J * - v 4

(128)

g

v а<2

v '

Подставляя

(128) в третье

уравнениесистемы

(124)

и производя некоторые преобразования, получаем

 

2

«НЧ I

д4 Ф . y R 2

, а4 Ф Л

/ЮП\

“

? ф +

^ г + ^

Г

у ~

= 0'

(129)

В уравнении (129) для краткости записи индекс г опу­ щен.

Рассмотрим свободные гармонические колебания оболоч­ ки. Функцию Ф представим в виде произведения двух

функций, полагая первую зависящей только от координат упругой поверхности облочкн а и р, а вторую — только от t, т. е. [56].

Ф (а, р, t) — F (а, Р) sin <о^,

(130)

где со — круговая частота свободных колебаний оболочки. Подставляя (130) в (129), получаем

aav 8f

+ —

---- ^ ^ - V ^ = 0.

(131)

v

а « 4

E g

v

v

’

Решим уравнение (131) применительно к рассматривае­ мой оболочке (рис. 33), представляя функцию F (а, Р) в виде

F (а, Р) = ср (a) sin Хр,

(132)

108

где

(133)

п — любое целое число; ср(а) — искомая функция, зависящая только от а.

Уравнению (132) удовлетворяют граничные условия в сечениях |3 = О, Р = |30:

М 2 = u = v = w = 0.

(134)

о

Рис. 33. Висячая цилиндриче­ ская оболочка, опертая вдоль прямолинейных образующих Г, и Т2 — нормальные усилия; МI и М2— изгибающие мо­ менты

 

 

I

Решение уравнения (131) при условии (132) представля­

ется в

виде:

 

для

обратно симметричной формы колебаний

Ф (а) =

сх sin /i/qа + с3sin кк3а + с5sin к5а -f с, sin /с7а; (135)

для симметричной формы колебаний

Ф (а) =

с2coshtc2а + с4соsh

а + с„ cos /с0а + с8cos /с8а, (136)

где кг,

к2, ..., кй — корни

характеристического уравне-

ния;

clt с2, ..., с8 — произвольные постоянные, определя­

емые из граничных условий (134). Приравнивая нулю определитель системы уравнений,

полученных на основе четырех граничных условий (134), получаем трансцендентное уравнение, из которого опреде­ ляются последовательно значения частот comn.

Следует отметить, что при определении значений частот, изложенных выше точным методом, встречаются значитель­ ные трудности. Поэтому считаем возможным для практиче­ ских целей эту задачу решить приближенным способом, при­ нимая следующие предположения:

109

1) пренебрегаем усилиями и перемещениями вдоль пря­

молинейных образующих, поскольку оболочка обжата толь­ ко в плоскости провисания и работает в основном в этой плоскости;

2) касательными перемещениями точек срединной по­

верхности оболочки пренебрегаем в связи с их малостью

воболочках большой пологости;

3)ввиду того что поверхность висячих покрытий поло­ гая, ее геометрию отождествляем с геометрией цилиндри­ ческой круговой оболочки, а нагрузки и перемещения при­ нимаем нормальными к срединной поверхности оболочки.

На основе указанных допущений задача о колебании ци­ линдрической оболочки, опертой вдоль прямолинейных образующих, приводится к задаче о колебании висячей арки. При этом функцию упругой поверхности оболочки при колебаниях можно представить так:

F (Р, t) = F0 (Р) sin со/.

(137)

Поскольку мы пренебрегаем тангенциальными переме­ щениями, уравнение упругой поверхности оболочки при ко­ лебаниях, выраженное в перемещении, примет вид

ш (Р, () = w0 (Р) sin at,

(138)

где максимальное значение амплитуды колебаний w0 (Р)

представляется в виде ряда

“»о(Р)= S ajwjtfl).

(139)

/= >

 

О. Д. Ониашвили [561 показал, что условия краевых закреплений незначительно влияют на величины частот тонкостенных оболочек. Поэтому рассматриваем шарнир­ ное опирание оболочки. При этом краевые условия следу­ ющие:

при р =

О,

р =

р0 М = w = 0.

 

(140)

Эти условия будут удовлетворены,

если принять

 

 

 

 

BU0(p) = a1sin

,

(141)

 

 

 

Ро

 

где i =

(1,

2, 3,

...) — число полуволн.

 

Частоты свободных колебаний рассматриваемой оболоч­ ки в пределах указанных предположений могут определять­ ся [671:

ПО

а) при радиальных колебаниях по формуле

сог =

E F

я “ E J .

(142)

 

 

m R 2

б) при чисто изгибных колебаниях

E J

i’ я’

 

(143)

Подставляя (142) и (143) в (122), определяем коэффици­ ент динамичности:

а) при радиальных колебаниях

1 ,5

 

f

E F

t4 п* E J

2 я

у

 

m R 2

(144)

 

m PJ R l ’

б) при чисто изгибных колебаниях

6

1.5

I f

E J I

Р1 2£jxPo

• (145)

Рг

2 я

V m R i р 0* { 2

2

 

В качестве формы колебания принимаем функцию (141) и, подставляя ее в формулу (102), определяем коэффициент

формы:

 

 

P o/i

Л

 

 

 

 

 

(‘

('

. ‘« Р i

 

 

 

J

 

s in — — — d $ d a

 

 

 

о

 

Ро

 

‘r\izn — a i s i n

tnpK о

 

 

 

Ро

р0/г L

Sin'1

 

 

 

 

о

о

Ро d fid a

 

= —

sin

tJlPn

1,27 sin

trcpK

(146)

я

 

Ро

 

 

Ро

 

Висячая цилиндрическая оболочка, опертая по контуру. Для шарнирно неподвижно опертой оболочки (рис. 34) граничные условия следующие:

при

при

а — 0,

О II .со

О СО. н II .со 8

M 1 — u = v —w = 0;

(147)

M 2 = u = v — w = 0.

Частные интегралы уравнения (131) при граничных ус­ ловиях можно определить в такой форме [10]:

Fmn = А тп sin К “ sin pm|3 sin соt,

(148)

111

Смотрите также файлы