Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Hâ fö, что в примере І члены последовательности приближа­ ются к своему пределу 1 слева; члены последовательности

ижаются к 1 справа, а члены последовательнос-

телю проверить это и изобразить члены всех трех последова­ тельностей на числовой оси.

Пример 2. Доказать равенство limy'"п — 1.

Докажем сначала вспомогательное неравенство

(В)

для чего обозначим пУ п — 1— ап. Тогда "]/п =1 + ап и п — (1+ ап)п. Раскрывая скобки по формуле бинома Нью­ тона, получим

Отбрасывая в правой части последнего равенства слагаемые: второе, четвертое и все последующие, получим неравенство

Так как а п—пѴ п —1, то неравенство (В) доказано.

Зададимся теперь, произвольным е>0 и попытаемся най­ ти N так, чтобы неравенство n> N влекло за собой справед­ ливость неравенства

(здесь \пѴ п —1|= пУ п —1, так как пу п >1 при любом п). С этой целью мы должны были бы решить неравенство

(Г) относительно п.

Однако это затруднительно и вместо него мы решим от­ носительно п неравенство

130

/—- О , а следовательно, в силу (В), справедливость

не равносильны. Из справедливости 1-го вытекает спра­ ведливость 2-го, но не наоборот. Оно найдено, так ска­

зать, с некоторым запасом. При еД>]/2 N положено рав-

Доказательство. Зададимся произвольным е>0 и попы­ таемся найти N так, чтобы из справедливости неравенства n>N следовала справедливость неравенства

С этой целью будем решать неравенство (Е) отиосительно п:

Последнее неравенство (Ж) будет, в частности, справедливо, если будет верно неравенство

из справедливости неравенства (3) следует справедливость неравенства (Ж), так как в неравенстве (Ж) числитель меньше, а знаменатель больше, чем в неравенстве (3), но н,е наоборот: из (Ж) не следует (3). Неравенство (3) равно-

2п* + пг+3

.1

равен — .

Среди последовательностей, не имеющих предела, особо выделяют так называемые бесконечно большие последова­ тельности. Последовательность {ап} называется бесконечно большой, если для любого Л4>0 найдется такой номер N, что для всех n> N будет справедливо неравенство \ап \~>М.

В этом случае пишут 1ігпал = °о. Заметим, что так же как

/J—>со

у функций, у последовательностей различают положитель­ ные, отрицательные и просто бесконечно большие последова­ тельности. Так, например, последовательность {п2} положи­ тельная бесконечно большая; последовательность { —п2} — отрицательная бесконечно большая; последовательность {(—1 ) п-п2} нельзя назвать ни положительной, ни отрица­ тельной бесконечно большой.

Пример 4. Доказать, что последовательность

является бесконечно большой.

Доказательство. Зададимся произвольным М >0 и попы­ таемся для него отыскать такой номер N, чтобы неравенст­ во n> N влекло за собой справедливость неравенства

Неравенство (К) будет справедливо, если будет справедливо неравенство

132

Б е р м а н №№ 176—182, 18.4, 185, 187, 196, 197, 211, 212. Д е м и д о в и ч №№ 41—45.

16. Приемы вычисления пределов последоватёльностей

затруднительно, хотя она и существует). Возникает вопрос,

не существует ли связи между пределами lim/(л) и 1іт/(х)?

. Л-*-« ЛГ->со

Ведь при равенстве этих пределов можно было бы для вы­

венство |/(л )—А I < Б.

133

Итак, для любого е>0 найдется номер E{N) такой, что для всех n>E(N) будет справедливо неравенство | f(ti) —

—А |<е. Это означает, что 1іга/(л)=Л. Теорема доказана.

Черт. 40

Справедливость приведенного равенства немедленно вы­

З а м е ч а н и е . Обратная теорема, вообще говоря, не имеет места. То есть, если существует limf(n)=A, то lim/(x)

П X —

может и не существовать. Сказанное иллюстрирует черт. 40, на котором ординаты в целых точках изображают члены последовательности, а кривая изображает график функции

нести на последовательности. В частности, из нее следует справедливость формул

134