Файл: Приц, А. К. Принцип стационарных состояний открытых систем и динамика популяций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 44
Скачиваний: 0
= - { y ( l - e -“<m-"‘o)2)+ 'p x+ 6} |
(3—4—2) |
|
V |
Для нахождения решения (3—4—2) потребуем, чтобы выпол нялось условие
Xv(x) |
dTv(t) , |
dXv(x) |
~ d T ~ + l v [ t } ~ d . — - |
||
= - {у ( 1 -e-a(m-,n0)2) -jjpx+fi) j(v (x) Tv(t). (3—4—3)
Это не приведет к потере общности, т. к. значения Xv(x) оказы ваются линейно независимыми. Разделив обе части уравнения '(3—4—3) на Xv(x)Tv(i) получили уравнение:
—1---- _|_Y ( 1 _ е-а(т-т^ _ |
|
||
= ~ ~ Ь ~ЧГ ~ (Р* + б ) = |
( 3 - 4 - 4 ) |
||
или |
|
|
|
1 АТ |
+ у (1 - е - “(т - ”*о)2) - - — bv, |
(3— 4— 5) |
|
~ ------ — |
|||
— |
—— Н р я + б )— К- |
(3—4—6) |
|
Уравнение (3—4—6) имеет решение |
|
|
|
Xv( x ) = A ve 2 |
ух |
(3—4—7) |
|
v , |
|||
где А — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. Начальные условия задаются из распределения плот ности по возрастам:
2 * у( * ) 7 Ч 0 )= W(x, 0) = Ф(х) |
( 3 - 4 - 8 ) |
и определяются экспериментально.
Воспользуемся тем, что W (х, t) зависит от времени через массу корма. Массу корма т представим в виде разложения:
т = |
Dvmv, |
( 3 - 4 - 9 ) |
|
V |
|
105
где mv — базисные функции.
Подставляя (3—4—8) в (3—3— 14) найдем:
/г2 Dvmv— |
|
= J 2 TVXvHo(1 - е ~ ° х) dx, |
( 3 - 4 - 1 0 ) |
ОV
Учитывая независимость Tv(t) от возраста, правую часть урав нения (3—4— 10) можно переписать в виде:
оо |
со |
|
|
M1 - е ~ ах) d x = 2 T'vcpv, |
|
J ^ |
t T v |
X |
v |
( 3 - 4 — 11) |
|
|
cpv —1 |
| |
A v|.io ( 1 —e~ax) d . v = |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
7 |
- |
|
2 |
), |
(3—4— 12) |
= J Ave |
|
v (.Ю(1 —e~ax) dx. |
|||
•o |
|
|
|
|
|
Учитывая (3—4— 11), выражение (3—4— 10) перепишем в виде:
2 ^ v_~jT -----k 2 Dyinv— — 2 Tvwv. (3—4— 13)
Как и для уравнения (3—4—2), потребуем для (3—4— 13) вы полнения условия:
Dy—^ --\ -k D vmy— —Tytpv. |
(3—4— 14) |
Аналогично первому случаю, это можно сделать для линей но независимых базисных функций mv. Выражая значение 7\, из
(3—4— 14), найдем:
7 \ ,= - — |
( - ^ - k m ) ■ |
( 3 - 4 - 1 5 ) |
||
cpv |
' |
at |
' |
|
Подставляя это значение Tv и ее производной
dTv |
IK_( |
d2mv |
dmv \ |
dt |
tpv ' |
|
(3 — 4 — 16) |
------k — i |
|||
106
в уравнение (3—4—5), получаем систему уравнений для некото рого набора Av, определяемого начальными условиями попол нения.
- ^ Г ~ k ~ ^ Г ~ + ( 1-e ~ a(m- ,n°)2+ M |
} X |
Х ( ч Г ~ к>Щ) = °- |
( 3 - 4 - 1 7 ) |
Система уравнений для многих значений Av является доста точно сложной. Однако, такая система допускает простой метод последовательных приближений. Полагая т = т 0 в качестве ну
левого приближения, получим из (3—4—9) |
|
|
тй— Ойтй. |
|
|
Отсюда следует, что |
|
(3—4— 18) |
£>о=1. |
|
|
Поэтому для линейного приближения получаем: |
|
|
т —п10— / |
,.Ду/Пу. |
(3—4— 19) |
- 2 |
|
|
чфО |
|
|
Подставляя значение т —т0 в уравнение (3—4— 17), предвари
тельно разлагая
-а( S v g 2
е
в ряд, получаем уравнение малых значений (т—т0):
2 Dvmv v^=0
dzmv |
d/nv |
|
dt2 |
d£ |
|
= — {y a ( 2 Dv>nv ) |
+AV} ( |
- —km ^ |
\ф0 |
|
|
(3—4—20)
В первом приближении, считая ya&2<CAv, или
уа ( 2 |
) <Av |
v=?=0 |
|
уравнение (3—4—20) можно переписать в виде
d2mv |
, |
,. dmv |
, |
(3 — 4— 21) |
dtz |
•(Av—k) |
= X vkmv. |
||
|
|
|
|
|
107
Общее решение этого уравнения имеет вид:
т у = Cive'!'+ C 2v e -y . |
(з _ 4 _ 2 2 ), |
Действительно, характеристическое уравнение для (3—4—21)' имеет вид:
K2(Xv—k ) x —kvk = 0.
Корни которого равны:
Х\— ft, Xj—’
Первый член в (3—4—22) характеризует рост корма, второй — его убыль. Потребуем конечности mv при неограниченном увели чении времени. Это условие конечности дает Clv=0.
Из начальных условий имеем: |
|
C2v= m v(0). |
(3—4—23) |
Учитывая (3—4—23), уравнение (3—4—22) можно переписать
|
|
-х t |
(3—4—24) |
|
mv(t) — mv(0)е v - |
||
Подставляя значение mv(t) в |
(3—4— 16), найдем, что |
||
п |
Г |
~К1 |
~х 1Л |
Tv= --------- j |
—mv(0)Xye —kmy{0)e |
v f = |
|
фу |
|
|
J |
|
D'm' m |
< M -4)e' V . |
(3—4—25) |
|
фу |
|
|
Рассмотрим случай для двух точек спектра значений Xv: %0— 0 гг Я.у>0.
Для a *= 0 , учитывая (3—4—25) и (3—4— 18), имеем:
Т0= |
1щк |
(3—4—26) |
|
|
Фо |
Окончательное решение системы (3—3— 12) — (3—3— 15) в со ответствии с вышеизложенным можно записать в виде:
W(x,t) = 2 jT-Xv=A°e 2 |
+ |
|
|
_ frc2 в* x (re—О |
(3—4—27) |
где |
-\-Ave |
|
|
|
|
~ |
£ ) V |
(3 — 4 — 2 8 ) |
AV= A \ ----- гПу(О) •(^.у-|-&). |
||
Cpv
108