Файл: Применение ЦВМ и средств вычислительной техники в геологии и геофизике [сборник]..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 61

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

д ан ы значения годограф ов

■Чі= ті(-*і) і=(к, Ä +l, . . • , s)

*2j=*z(xj) j= {q , <7+1, ■■■, m) il^ k , S, <7, m <C/г

соответствующие им значения лучевых параметров

Р ц — Р \ ( Хі)>

Pi j= P -l{ Xj)

и скорости

 

V ^ V ^ i z ) -

V2= V 2l(z)

Требуется вычислить координаты точек границы Rt ния (обмена), т. е. решить систему

r = p j

f

P & ) V u {z)dz

 

„ \ , y ^ ~ P x 4 ) V \ i { z )

 

zl-1(«)

^i — xi(£) +

J

dz

ѵ й Ш Т = т Ш ^Ж )

*z—i(S)

■*='4 —

J

- Д+))Ѵ+(г)<^

2г_і(ч)

 

z

__________dz_________

*2= ^ ( t\)—

J

vn(z)Vi-p-mv2i-(z)

 

 

t\ —t г = 0

отраже-

(30)

( 3 1 )

(32)

относительно неизвестных x, z,

t\,

t2, g в функции параметра

т), принимающего значения х j

(/

= <7, <7+ 1, .................., т).

Для некоторого значения j параметра r\=Xj задача ре­ шается следующим образом. Задается фиктивная граница

-г = zmax = const» ze(x),

(33)

значительно более глубокая, чем предполагаемая наибольшая глубина искомой границы R{.

Дается некоторое значение x t параметру g, тем самым на границе R t~1 выбирается точка А и Параметру т] = Xj соот­ ветствует точка Аг границы R ,_ і.

93

По первым

равенствам (30), (31) и заданному

z = 2 * > z l- l (x)

вычисляются абсциссы Х\* и Х*2 концов Bi,

В2 лучей Lj, L2, выходящих из точек А и А 2.

По разности

 

8 = /х2 — x j — j x * — X-*!

 

можно

ориентировочно

судить, сходятся

или расходятся

с ростом глубины лучи L\ и Ь2.

точку А х пере­

Если

б < 0, то лучи

расходятся, и нужно

местить ближе к точке А2. Это делается соответствующим изменением значения параметра

Процесс сближения продолжается до тех пор, пока дости­

гается б>0 или совмещение

точек А\

и А2.

В последнем

случае

точка

А\ помещается

с другой

стороны

точки А 2

достаточно

близко от

нее.

Благодаря

непрерывности

лучевого

параметра Р(х)

лучи Ьх и Ь2 пересекутся,

так как

они пересекаются в точке А 2 в случае совмещения с ней точки

А\.

параллельно,

и в этом случае

Если 6> 0, то лучи идут

нужно точку А\ совместить

с точкой А 2 и

снова проверить

разность б. При достаточно малом 6 можно считать, что %— т)

и находить 2 из уравнения ,(32), а х по

2

из

(30)

или

(31).

Эта процедура имеет следующий вид.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задается

2і > 2г_і (|),

z x берется в качестве первого при­

ближения

к

аппликате z

искомой

точки

границы.

z x

под­

ставляется в левую часть временного уравнения

(32)

(обозна­

чим ее А)

и

вычисляется Д(Мі) =

Aj. Затем

выполняются

следующие действия.

 

 

 

z t

(і — 2,

3, . . . .

)

1. Вычисляется последовательность

по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г,- =

zi- 1+ hg, Aj <

0

 

 

 

 

 

(34)

 

 

2,

= ^ . ! - ^ ,

At> 0

 

 

 

 

 

(35)

2. Вычисляются А ;= Д (л :(-, z t)

до

тех пор,

пока А,-

не

сменит знак

на противоположный.

Пусть

это

происходит

на

/г-м шаге.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Проверяется неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j z k — Z k - \ l < е

 

 

 

 

 

 

 

 

Если оно выполняется,

аппликата zK- \ —искомая.

Если

 

не­

равенство не выполняется, то формулы

(34), (35)

заменяются

соответственно формулами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

94

 

-у

_

 

h-Z

 

 

 

(3 4 '>

 

z

— Zi-1

 

2

 

 

 

 

z =

z ,_ i-b ^ ,

 

 

 

 

(35')

после чего продолжаются вычисления по п. 1—3.

точки

границы

4.

Ненайденному г,

аппликате

искомой

и первому уравнению (30)

вычисляется

х

— абсцисса

точки

границы.

б > 0, то лучи сходятся

и

можно

попытаться

найти

Если

их точку пересечения при условии,

что z < z max. Точка

пере­

сечения лучей М i(xi, Zi)

ищется

методом деления интервала

пополам следующим образом.

и по первым

равенствам

1. Задается z = zn > z /_1 (|)

(30)и (31) вычисляются

Х= ХП{1), X = Хц ( т ) )

иразность

А і=хи (г])-—*п'(І).

Так как возможны два случая расположения лучей ( ц > |,

£> г]), то вычисляется А = ц — %.

2.Вычисляется последовательность

z = Zu = Z u - 1 + hsgti Д sgn Д,

(36)

(h> 0 — шаг по оси ОХ), хХі (g),

 

 

ХиЫ, Аі ^

ііСп)—*«(£).

(* = 2,3, .

. . )

До тех пор, пока разность Аг сменит знак на

противополож­

ный. Пусть это произойдет для z =

z K. Следовательно, иско­

мое значение z t £ [ziie-i , Z\K).

 

 

3. Берется hx =h /2,

формула (36) меняется на следующую

z = zu = Z u - 1 + h xsgn bksgn Д

i = k +

1, . . .

и повторяются действия п. 2—3 до тех пор, пока будет до­ стигнута нужная точность в определении координат х х, z ь то есть на некотором шаге N выполнится неравенство

 

j Z i N — Z \ N - l / < £

 

Если же

выполнение этого неравенства не

достигнуто,

а ^ > z max, то нужно сблизить точки Л1, Л2.

 

Точка M i

(хи Zi) рассматривается как первое

приближе­

ние к искомой точке границы М (х,

z), координаты которой

Должны удовлетворять временному

уравнению (32).

95

Обозначим левую часть этого уравнения А, а А(М і)=Ді. Для исхождения последующих приближений М, (хІУ zt) (i= =2,3,...) выполняются следующие действия:

1)вычисляется Ді

2)если Ді<0, то вычисляем

 

Е, =

5і-і - liSgn Д,

(37)

если

і = 2 ,3 ,. . . ?! = 5

 

Ах > 0, то

 

 

 

 

 

 

— ^sgnAi,

(38)

где /і> 0 — шаг по оси ох.

По

{^}

вычисляется соответствую­

щая

последовательность

М,

(xh

z t) и последовательность

Дг=Д(МД до тех пор, пока Аѵ не сменит знак

на противопо­

ложный. Пусть это произошло на к-м шаге.

 

3)

проверяется неравенство

 

 

 

jzk — Zk-\ j < е

(39)

в — заданная точность вычисления точек границы. Если нера­ венство (39) выполняется, вычисления прекращаются, точка М к- і(лгк_ь zK- 1 ) дает с нужной точностью точку границы. Ес­ ли (39) не выполняется, повторяются действия п. 2, где форму-

лы (37), (38) заменены

формулами

 

Ei =

Ei-i - Jsg -п Aft

(37')

Ei =

Ei_x-^sg/iAft

(38')

§ 8. Особый случай

Случай вычисления координат точек первой границы отра­ жения в методе отраженных волн является особым, так как обобщенный годограф падающей волны вырождается в точку:

xt(x*) = 0

z(x*) = z *

X * , z * — координаты пункта

взрыва.

В общем случае для вычисления границы Ri нужно, чтобы на предшествующей ей границе были заданы годографы тДх)» Т21(х) падающей и отраженной волн и соответствующие иМ параметры Рі(х) и Ргх).

96

Для приведения особого случая к общему введем некото рую дополнительную границу R:

 

z = с — const > г*,

расположенную между границей

Ro

 

z = z0(x) х£

[а, Ь]

и

искомой границей Ri

 

 

2 = zi (X) х£

[а, Ь],

то

есть

 

 

z0(x) <c<Zi(x).

Ri,

Граница R должна быть расположена как можно ближе к

так как наибольшая кривизна годографа растет с прибли­

жением к пункту взрыва, следовательно, растет и погрешность аппроксимации годографа.

Годографы Х2 і(х), Т2 2{х), ..... соответствующие границам отражения Rb R2....... пересчитываются с границы R0 на грани­ чу R согласно § 6.

Вырожденный годограф %\{х) падающей

волны пересчи­

тывается на границу R следующим образом.

Для нахождения точек пересечения (хп, с)

лучей L„c гра­

ницей R нужно вычислить х п по формулам:

 

X п

Г _Р}пУ_\^г_

(40)

р / Т = л Ж 2

п = 0, ± 1, ± 2 ,

Значения Р1плучевого параметра, участвующие в опреде­ лении хп, неизвестны. Найдем их приближенные значения Р\п При условии, что

х п = X* + п h x, п = 0, ± 1, ± 2, . . . .

Тогда

Г

P \nV idz _

(41)

I r

1-Pm'V? = n h x-

2*

 

 

По теореме о среднем значении существует

[г*,с]такое, что

гРinVjdz __ (с-г*)Р1яУ,(£я)

V I -Л « гѴС-„)

(42)

z*

 

7. Заказ 1928

9 7

Смотрите также файлы