Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 66

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

6)

Lx

строго монотонна по у (a),

a L2 — по у(Ь)

или

 

Lx

строго монотонна по у(Ь),

а L2 — по

у (а)

 

и выполняются условия Р2, РЗ, РІО и по крайней

 

мере одно из условий Р6 или Р7.

 

 

 

Тогда

краевая

задача

(4.1) — (4.2)

не может

иметь

более одного решения.

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что

краевая

задача

(4.1)

— (4.2) имеет два

решения:

(хДО,

(х2(0>

y2{t))- Пусть сті2 = сгн—0

(случаи сг2і = < 72з = 0, ам = О2і= 0,

<712= 023 = 0 разбираются

аналогичным

образом)

и

вы­

полняется условие 3 (доказательство для остальных воз­ можных случаев проходит аналогично). Для доказатель­ ства теоремы рассмотрим следующие соотношения:

1)

Х х ( а ) > х 2(а ) ,

у х ( а ) = у 2( а ) ;

2)

хх(а)>х2(а), ух{а)<у2(а)\

3) Х х ( а ) > х 2( а ) ,

у х ( а ) > у 2( а ) ;

4)хх(а)=х2(а), ух(а)<у2(а);

5)Х](а) —х2(а), ух(а) =у2(а).

Соотношения 1, 2 невозможны в силу свойств функции Lx. Используя свойства функции L2 и учитывая Q3 или Q4, Q10 или Q13, заключаем, что соотношения 3, 4 также невозможны. Теперь осталось рассмотреть соотношение 5

скаждым из следующих соотношений:

6)x x ( b ) > x 2(b ), у х ( Ь ) = у 2(Ь)\

7)xi{b)>x2(b), ух (b) < y 2(b);

8)

X x ( b ) > x 2(b),

у х ( Ь ) > у 2( Ь ) ;

9)

X x ( b ) =х2(Ь), У х { Ь ) < у 2 { Ь ) \

10)

Хх(Ь) = х 2(Ь ),

ух(Ь) = у 2{Ь ) .

Комбинации 5 и 6, 5 и 8 невозможны в силу свойств функции L2. В силу Q9 или Q12 5 и 7 невозможны. На основании теоремы 2.1 комбинации 5 и 9, 5 и 10 дают

Хх { t ) = x 2{t), ух (t) = y 2(t). H

Т е о р е м а 4 . 3 . Пусть выполняется по крайней мере одно из условий 3—6 теоремы 4.2 и

1 ) L i « = M ( l , 1 , - 1 , 1 ) , L 2 e M ( 1 , - 1 , - 1 , - 1 ) ;

2) СГіз = Ом= 0,

или

021 = 022= 0, или

014= 021=0,

или

СГіз = 0 2 2 = О

Тогда краевая

задача (4.1) — (4.2) не может иметь

более одного решения.

Доказательство этой теоремы аналогично доказатель­ ству теоремы 4.2, поэтому мы его опускаем.

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В этой главе рассматривается краевая задача

 

x "=f ( t , X, х')\

( 1 )

х ( а ) —Ах'(а)+с, х(Ь) = — Bx'(b) +d,

( 2)

где f ^ C a r n( I X R2n); А, В — вещественные матрицы по­ рядка п, с, d ^ R n.

В § 1 приводится теорема, устанавливающая необхо­ димые и достаточные условия разрешимости краевой

задачи (1) — (2), когда А = В — Ь

и f непрерывна на

I X R 2n. Метод доказательства этой

теоремы

аналогичен

методу доказательства теоремы 1.1

из главы

I.

В § 2 приводятся достаточные условия существова­ ния решения краевой задачи (1) — (2). Теоремы сущест­ вования доказываются методом априорных оценок. В § 3 доказывается единственность решения краевой задачи (1) — (2).

Результаты § 2 и 3 усиливают соответствующие ре­ зультаты из работы Ф. Хартмана [1].

§ 1. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ

В этом параграфе для краевой задачи

 

х " X , х'), х(а) =с, x{b)=d,

( 1. 1)

где fŒCn ( l X R 2n)\ с, d ^ R n,

приводятся необходимые и достаточные условия разре­ шимости. Пусть х = ( х и ..., хп) для x ^ R n.

 

Функции

 

ф, ф;

I X R n-+Rn,

функцию

ô, определенную-

на

подмножестве

из R3n

и

принимающую

значения

в Rn, множества

ti>tc:lXR,

где Î œ { 1, .... п),

iaczlXRn,

определим следующим образом:

 

 

 

 

 

 

ф(t, x) = (q>l (t,

Xi)........ фn (t,

хп));

 

 

 

 

ф (^, х) —(фі (/,

Хі) , ...,

фп {I, х„) ) ,

 

где фі {і, Х{ ),

фi(t,

Хі) \ Î X R ^ R ,

г'<={1, ..., n}; ô(x, y, z) =

=

(ô(xb y u

Z \),

 

 

ô(x n,

y n, z n) ) ;

cù i = { ( t ,

X i ) : t Πl ,

a i ( t )

sSXjS£;ßi(^)}, причем au ßi — компоненты функций

а,

ß

 

 

со= {{ t,

х) Hœ /,

а (/) ^ x s S ß ( / ) } .

 

 

Теорема 1.1. Условия

 

 

 

 

 

 

 

1)

до, ре=С2п(/),

Эф. фе=Сіп(/Х # ),

HYb V2S{-1, 1};

 

2) a (0 s £ ß (0

y f e / ;

 

 

 

 

 

 

 

3)

a(a) s^csS^ ß(a),

a(b )^d s^ . ß(6) ;

 

 

 

4)

q>(t, х)*5ф (^х)

y(t,x)<= со;

 

 

 

 

5)

y(t, a { t ) ) ^ a ' { t ) ^ t y ( t ,

a(t))

y t ^ I ,

 

 

 

Ф (*, ß (t) ) «£ ß' (О

 

ß(t))

V f e /;

 

 

6)

«"{(/) S2=fi(f, X], ...,

Oi(0,

xn, x'i, ...

 

 

 

• • • >П

i (^) , . .. ,

X n) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

ß iit) ®Sfi (^, X\,

 

ßi(^),

•••,

xn, X i, ...

 

 

 

ßi'CO, .... x'n)

Ѵ ^ Л

Ѵг'^ 0 >

«}.

 

 

Ѵ ^е{1,

г-1 , г+1, ..., n),

y x hŒ[ak{t), ß*(f)],

 

 

V X

 

[фй{t>Xk) , фй (t, Xft) ] J

 

 

 

 

7)

(fi(*, X, х'ь ... ,

 

Xi), ... , x'n) -

 

 

 

 

Di<Pi(t, Xi)

 

Т)2фг(^, Xi) ф{(^, Xj))yi^O,

 

 

 

(fi(f,

 

* 'b ...,

фі(*, x{), ..., x '„ ) -

 

 

 

-Dityiit, Xi) - D z^i{t, Xi)tyi(t, Xi))у25гО

 

 

 

y(t, x)Œw,

 

yiŒ{\, ...,

n),

yke={\, ..., î-1-,

 

 

i+l,

... , n},

 

yx'k<=[qk(t, Xk), tyk(t, xk)\;

 

 

8)

(1+Yi)a(û) + (1 -Yi) ß(ö) = (1 + Yi)c+ (1 - \ i ) d ,

 

 

(1 —Y2> ß (a) + (1+Y2)a(b) = (1 -уг)с + (1 +Y2)d

эквивалентны разрешимости краевой задачи (1.1), при­ чем из их выполнимости следует существование решения X, такого, что на I выполняются соотношения

a ( t ) ^ x ( t ) ^ ß ( t ) ,

 

Ф(*, *(0)<*'(0.= £Ф (Л * (0)-

(1.2)

Доказательство. Пусть х — решение краевой задачи (1.1). Тогда для a = ß = x , <р = г|)=х', уь у2^ { —1, 1} вы­ полняются все условия теоремы.

Пусть выполняются условия 1—8. Покажем, что суще­ ствует решение х краевой задачи (1.1), для которого справедлива оценка (1.2).

Определим покомпонентно функции Ф, F : Ix R 2n-+Rn следующим образом: для любого іе{1, ..., п}

Fi(t, X,

х ' )=Ф i(t,

à(a(t), X, ß(t)), х') —

-ô (0 ,

Qî(t)

Xi,

1) +ö(0, X i-ßi(f),

i);

Фг(^, X, x')=fi(t,

X,

ö(<p(/, x), x \ y(t,

x))) +

+ YiM6(0, фi(t, Xi)- х / ,

1)+угЛ16(0, x 'i- ^ i{ t, Х;).Д)>

где

Af = l+max{max|£>2«jpi(^, *<)|. ш ах|/)2ф;(/, Xj)|}.

*».3

fflj

0]j

Отсюда видно, что

 

 

SUpll/7 (^, X ,

х') |ІЯ< ° 0 -

 

JX R 2n

 

Следовательно, существует решение х краевой задачи (см., например, теорему 1.1 главы IV)

x " —F(t, x, x'), х(а)=с, x{b)—d.

Покажем, что для х справедлива оценка

(1.2). Тогда,

в силу определения функций F и Ф, х будет искомым

решением краевой задачи (1.1).

 

Докажем сначала оценку

 

a(t) s ^x (t) ,^ ß (0 Vte=I.

(1.3)

Пусть существует /е{1, ..., п}, такое, что

at(t0) -Xi(to) = тах(щ Д ) -Xi(t)) = ег>0.

I

Тогда

 

t0^ ( a ,

b),

a'i(to) —x'i(to),

a"j Д0)

До)-

 

 

Далее,

из определения функций

F и Ф и из условий 5

и 6 имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x"(t0)=Fi(to,

x(to),

x'(t0)) =

 

 

 

 

Fi(t0,

1 (

 

Щ'До)

Bf» *

xn(to) ,

 

 

 

*'іДо)>

a'i(^o),

.... x'n(t0) =

 

 

 

= ФгДо, ô(ai(^o),

ATI (^o),

Pi(fo)),

•••> di(to), •

 

 

. . . ,

Ô(dn(to),

Xn(to) , ßn До) ) > ^

1(to).......... O t До) > •

•

•

 

 

 

, X'n(to) )

Ô(0,

S i,

1)<

 

 

 

 

<fi(to, 0(сііДо),

x,(to), ßi(to)),

...,

cii(to), ...

 

 

..., ô(ùn(t0), xn(to), ßn(fo)), МфіДо, Xx(to)),

 

 

 

X 1(to), фі (to, Xi (to) ) ) , ...,

a i (to) >•••

 

 

 

• • • ) Ô(фп До, Xn (to) ),

X n(to) ,

l|)n (to,

Xn(to) ) ) )

Ct

i(to) ■

Но это

противоречит

неравенству a"i(t0) ^ x " i(t0).

Сле­

довательно, оценка (1.3) доказана.

 

 

 

 

 

Докажем теперь оценку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф(t,

x ( t ) ) ^ x ' ( t ) ^ ( t ,

x(t))

ytezl.

 

 

(1.4)

Пусть

YI = 1>

тогда

a ( a ) —x(a)

и

x'(a) ^ a ' ( a ) ^

^ ф (а ,

x(a)).

Предположим,

что существует

f e { l , ...

... , n), для которого не выполняется неравенство фіД,

Xi(t)) ^ x ' i ( t )

V tŒl.

Тогда

в

силу непрерывности

функций x'i(t)

и фi(t,

Xi(t))

и неравенства х ' і ( а ) ^

^ Ф і(а, Х{(а))

найдется to<=(a,

b],

такое, что

0<Фі До, Xi(to))-x'i(to) ==Sl;

^ (ф .Д , xt ( t ) ) - x ' i ( t ) ) \ t=t0^O.

7 -3 8 3

Таким образом,

 

 

 

OSsx"i(t0)-Dicpi(t0, Xi (t0) ) —D2q>i(to,

Xi(t0))x'i(t0) =

= Oi(t0, x(t0),

x ' ( t o ) ) - D l<pi(t0, Xi(t0) ) ~

^2фг (^0,

Xi (to)) X i (to)

/г (^0, X (to) ,

б (фі (^0* ^l(^o))î

x'l(to),

г|3-1 (^0 , Xi (to)))........ фг (^0 , Xi (to)), ...

... , б(фп(^0 >Xn(to)),

X n(to) , Фп(^0) Xn(to))))

—D](fi(to, Xi (to) )

^ 2фг(^0, Xi (to) ) фг (to, *i(M ) +

Ч-0гфг (to, Xi (to) ) (фг(^0, Xi(to))

X i(to)) ~b

+Mô(0, фі^о, Xi(t0)) ~x'i(to), 1 ) ^

^ ( D 2q>i(t0, Xi(t0)) +M) (q>i(ta, Xi(t0))-x'i(to)) >0.

Полученное противоречие доказывает оценку (1.4). Таким образом, оценка (1.2) доказана, следовательно,

X — решение краевой задачи (1.1). И

§2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ

Вэтом параграфе приводятся достаточные условия разрешимости краевой задачй

* " - /(/, X, а-');

(2 п

х(а) —Ах'(а) +с, х(Ь) = —Вх'(Ь) + d,

где fŒCarn( I x R 2n) ’, А, В — вещественные, квадратные, симметричные матрицы порядка п, с, d ^ R n.

Будем считать, что все встречающиеся в этом пара­ графе матрицы вещественные, квадратные порядка п с нормой

M ||=sup{||/lx||fl:xŒ ^n, Ы л= 1}.

П

Пусть X, y<^Rn, положим (х, у) = £ ХіУі.

•г-1

Если Н — симметричная, положительно определенная матрица и Âj — ее собственные значения, то положим

Смотрите также файлы