Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 69
Скачиваний: 0
A,H = niinÀfc, |
Лн = тахХ/г. При |
этом, как |
известно, |
|
к |
к |
|
соотношение |
|
Кн>О, Л д=||Я || и справедливо |
|
|||
|
М *ІІя12^ (Я х , |
х ).^ЛнЦхЦн2. |
(2-2) |
|
Доопределим |
функцию |
ô |
следующим |
образом: |
Ô(0, Z, оо)=2 |
yZŒ(0, °о). |
|
|
|
Приведем схему доказательства основной теоремы настоящего параграфа — теоремы 2.1. На некотором ограниченном множестве І ХР, где PczR2n, аппроксими руем функцию f функциями /ѵ, удовлетворяющими обоб щенному локальному условию Липшица по л: и у. Затем по непрерывности распространим функции fv на все
множество I x R 2n |
так, чтобы все fv были ограничены |
одной суммируемой |
функцией g на всем l X R 2n. Далее, |
докажем существование решения краевой задачи с функ цией fv» установим априорную ограниченность решения и производной для всех ѵ и, наконец, в силу компакт ности множества решений, сходимости fv к f и выбора множества Р заключаем о существовании решения ис
ходной краевой задачи. |
|
|
|
|||
Теорема 2.1. Пусть /?œ {1, 2, ...} |
и |
|
||||
I ) найдутся симметричная положительно определен |
||||||
ная матрица Я и /I œ (0, оо), |
такие, что для любых |
|||||
X, yŒRn |
из |
\\x\\R^ h |
и |
(Нх, у) = 0 |
следует |
|
(Hf(t, |
X, у), х) + (Ну, у ) ^ 0 |
pyt(=l\ |
|
|||
2) для |
любого |
УИе(0, |
оо) |
найдутся |
функции |
|
а0, а\, Ьи ..., |
bp<=L(I), &о^С([0, оо)) |
и числа |
||||
ѵі, ..., VPœ (0, 1 ), такие, что |
|
|
||||
a0(î) ^=0, ai(t) |
$г0, bh(t) ТэО |
ру/<ш/, |
|
|||
у £ е{1 , ..., |
р), |
bQ{s) ^ Î O y sefO , оо), |
|
|||
lim bo(s)s~2 =0, |
» |
|
|
|
||
S->OO |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
M s)ds-^0 |
при |
равномерно по |
||
ту— ггvu / |
||||||
HO- 1\ |
t |
|
|
|
|
|
to^I для всех Æe {1, ....
Ilf(t, X, у) |Іл^Оо(0 +ßi (t) ||г/|1к+ 6о(||г/||д) +
+ Z Ы 0 М н +ѵ* Р Ѵ ^ Л Ѵ *е[-Л 1, M jn, y y ^ R n\ k=\
3)выполняется одно из условий:
( а ) матрицы А и В, положительно определенные, перестановочные с матрицей Н;
(ß)матрицы А и В, неотрицательно определенные, перестановочные с матрицей Н и c= d — 0;
(у)А = В = 0.
Тогда краевая задача (2.1) имеет решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть k ^ [ h , оо). Определим множе ство Рас;/?2" следующим образом:
Ph={(x, y) : IWIR=^£, ||г/11н<£}.
Тогда в силу условия Каратеодори существует функция gh^.L{I), такая, что
SUpllf {t, X, y)ÏÏRï^gk(t) pyte=I. pk
Ma множестве IxPk аппроксимируем функцию f функ циями fkm^Carn{IxPh) так, чтобы fhm{t, X, y) удов летворяли обобщенному условию Липшица по х, у; при
т->оо fkm(t, X, y )^ f(t, X, у) равномерно по х, yŒPy при фиксированном tŒ.1 и для любого и ё {1, 2, ...}
supllfkm(t, X, y)ÏÏR^gh(t) pyte=L pk
Тогда для любого фиксированного tŒl
6km (t)=sup\\fkm(t, X, y) —f(t, X, Î/)UR->0 pk
при m-*-оо. Определим функции fh, f*hm, Fkm^ C arn (/X
X R n) следующим образом: |
|
fh(t, X, y)=f{t, 6{x, à2y); |
(2.3) |
X, y ) = f hm(t, ôix, ô2y), |
(2.4) |
где
X, 9) =/% „((, X, Й +
Отсюда следует, что на множестве ІХРь
h(t, X, у) =f(t, X, у), |
X, у) =fkm(t, X, у). |
Далее, так как в формулах (2.3) и (2.4) аргументы функций f И fhm удовлетворяют условию IIÖJXIIR^Ä , іі02*/іія=^А Для всех х, yŒRn, то справедливы соотноше ния:
supllf h (t, X, у ) |
ІІя = sup||f(t, X, y ) Ï Ï R ^ g h ( t ) \ |
R2n |
Ph |
SUp||Fkm |
/ftIIД ^ Slip \\f*km~~ ffellR 4~ |
R 2 n |
R2n |
4“ Bftm |
AH |
(1+ A) llxlh |
|
AH |
A(1 + | | X | | R ) |
||
iif |
fii л . |
|
(1+A)IUHB |
=sup||fftm |
fIIR4" Eftm |
-h(1 + |W|B)- |
|
|
+Лн^н_1 ( 1 + A-1) ) ; |
||
supII Fftm ||R^ |
sup ||Fft,n —fhitR + S U p | | f f e | | R ^ |
||
R 2 n |
R 2 n |
|
R 2 n |
Skm( 1 + АнАн_1 (1 + A _1) ) |
|||
Очевидно, что существует |
функция GP.œ L(I), |
||
что
(2.5)
такая,
eftm(0(l+AH?iH -1(l+ A -1)) + gfc( 0 ^ G ;i(0 |
(2.6) |
|
почти для всех tŒ.1 и любых mŒ{ 1, 2, ...}. |
|
|
Пусть X, y ^ R n такие, что |
||х||я5*А, (Нх, у) = 0. Тогда, |
|
(Hfh(t, X, у), х) + (Ну, у) |
= (Hf(t, öiX, ô2у), х) + |
|
+ (Ну, y ) = b r l (Hf(t, ôi*. Ь3у), Ьіх)+Ьх- 1(НЬ2у, |
Ô2у ) - |
|
- Ь с 1(НЬгУ, Ô2у) + (Ну, у)Д?(Ну, у) (1 Ô22Ô1“ 1) ^=0.
Действительно, чтобы убедиться в справедливости приведенного неравенства, достаточно показать, что llôix\\R^sh и 6I 5Ï Ô22.
Заметим, что
IlôiXll |
|
ІІАГІІл |
при |
IMIH=SS£; |
|
k |
при |
\\x\\R>k; |
|
|
|
|||
|
ôi1/2 |
при |
|
--àCi* |
Ô2 = |
k |
при |
|
|
|
|
|
||
|
M l |
M R |
||
|
|
|||
откуда ІІбі-кІІн5г/г, ô2sSôi1/2, что и требовалось доказать. Далее,
|
|
(HFkm(t, X, y), x) + (Hy, y) = |
||||||
= |
|
X, y ) + e hm(t) |
Ан |
( 1 + h) X |
x)+ (Hy, y) |
|||
|
|
|
|
Ян |
h (1+ IlJCII H) |
|
||
|
|
(H (f*km(t, X, tj) |
X, |
I))), |
X) + |
|||
|
|
+ 1Hehm ( t ) ~ - |
|
' {l+h)x |
, * J> |
|||
|
|
|
Ян |
|
h ( 1+ ІМІя) |
|
|
|
|
|
- A / i I I x, |
y) - fh(t, X, y) І!н!|х||н + Яне;іт (0 X |
|||||
X |
Лн |
(1 +h)\\x\\R2. |
"A H£hm(t) ІДІІЯ+ Лнб/ігДО ІМІЯ = 0. |
|||||
Ян |
h (1+ IlxIIд) |
|||||||
На основании теоремы 1.1 главы IV и соотношения (2.6) следует существование решения Хііт краевой за дачи:
x" = Fhm(t, x, х'), х(а) =Ах'(а) +с, х(Ь) = |
|
= - B x ' ( b ) + d . |
(2.7) |
Если будут доказаны априорные оценки |
|
ll-'-ftm llc ^ A l, И л Д то ІІс ^ Aft, |
(2 .8) |
то доказательство может быть завершено следующим образом. Учитывая соотношение (2.5), относительную компактность множества {xhm} и тот факт, что eAln(t)->0
при /л->оо, заключаем о существовании решения Хи краевой задачи
x" — fk(t, X, х'), х(а) =Ах'(а) +с, х(Ь) = —Вх'(b) +d,
такого, что IU JCSCM, IIVJcsSA^.
Далее, так как функции |
fk для любого kŒ[h, сю) удов |
|
летворяют условию |
2, то |
по теореме 2.1 главы IV из |
следует |
существование числа N œ (0, сю), |
|
такого, что |
y k ^ ( 0 , °°)- |
|
Полагая, наконец, |
A= max{À, М, N}, получим |
|
а так как fh= f на ІХРь, то Хи является решением крае вой задачи (2.1).
Таким образом, нам остается доказать лишь априор ные оценки (2.8). Для удобства опускаем индексы как у функции Fkm, так и у решения Xhm краевой задачи
(2.7). |
такое, что |
|
Покажем, что существует Q œ (0, сю), |
||
r(t) = (Hx(t), x { t ) ) ^ Qv f e / , |
(2.9) |
|
для любого решения х краевой задачи (2.7). |
|
|
Пусть r(t0) =шах r(t) . Рассмотрим |
сначала |
случай, |
1 |
|
|
когда г (to) >m ax{r(a), г (b)}.
Предположим, что r(to)>h2AH- Тогда существует і\<=
ç= (to, b), такое, что |
|
F(ti)<.0, f ( t ) ^ h 2An, ytŒ[to, |
. |
Отсюда и из (2.2) |
|
\\x(t)\\n^h y t Π[ t 0,ti]. |
|
Следовательно, полагая |
|
получим (Hx(t), y(t)) =0. Далее имеем
r'(t) = 2 (Hx'(t), x(t))-
r"(t)=2(Hx"(t), x(t))+2(Hx'(t), x'(t)).