Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf

кратных углов

и

&sk) fc- У

.В связи

с этим,

каждый

член ряда с номером

/с.

обращается 2 К-

раз в

ноль

в

интервале от 0 до 2 ТГ.

Таким образом,

с добавлением очередного члена участок

изме­

нения порождающей ряд функции дробится на все

большее и большее

ных сферических функций, попеременно меняют знак

в некоторых зо­

нах сферической поверхности

(см . р и с.З ,

с т р .3 2 ),

число которых

неограниченно увеличивается

с ростом

П-

(см .

следствие I из

теоремы 2 .5 .2 , с т р .3 2 ). Напомним, что этот

факт позволил нам на­

звать полиномы Лежандра зональными сферическими функциями.

Нечто подобное происходит и с остальными 2 п,

основными сфе-

-

4? -

рижскими функциями, общее выражение которых

с учетом (2.4.(£>)

и ( 3 .1 .2 )

можно

записать

так:

5

= М -^ К&- ^

о р с .к = £

( 3 .5 .1 )

'Sue ~

iff'

--- h/n.

if> rt ,

К=-6-И~.

Действительно, пусть

К =

tb

• Тогда,

конечно,

cL* P r j)

----- ■■*>• -~-

а Р

есть константа,и поведение таких основных сферических функций

определяется произведения!®

^с^рсо'Ьи.Л

и

"в-

.

Здесь

первый сомножитель

-и.^" &

обращается в ноль лишь

при 8

= 0

и й = ТГ, т .е .

на полюсах сферы, а

вторые

-

на

2 а

мери­

дианах. В ограниченных этими меридиана!.® секторах (см . рис. 5)

основные сферические функции с К = (г

попеременно принимают

положительные и отрицательные значения.

Такие функции, поэтому,

называют секториальными сферическими функциями. Ясно, что их

должно

быть д ве,

а именно: Р^'(иу>в)^я>^Л

и

PjK>(

•

.

и. Я.

Рис. 5

соответствует какой-нибудь одной из

них при

\Ъ = 3 .

Рассмотрим теперь

поведение

основных сферических функций,

у которых 0 ^ К <

ю .

. Стоящие

в (3 .5 .1 ) производные

К-r o

по­

рядка

sLJ

е сть , КО-

at Р

И -

нечно,

многочлены степени

- К (ведь

Р и

( 0

)

есть

много­

член степени

Ю.

) ,

а потому

они имеют

П, -

К действитель-

ных корней

(см.

теорему

2 .5 .2 ) . Этими корнями определяются

П. -К

- 48 -

значений угла &

,

соответствующие

параллели которых делят

всю сферическую поверхность на

ГЬ -К

+ I

поясов.

Второй сомножитель

- К й_ к Я

(или

Соз

д ) обраща­

ется в ноль для 2 К значений долготы

Л

,

т .е .

на 2К мери­

дианах, отстоящих друг

от; друга

на

. Упоминавшиеся парал­

ческие треугольники). На р и с.6

показа­

но деление сферы, соответствую­

щее

( с-о-з 9

) -Оол, С Л .

В каждых двух прилежа­

щих четырехугольниках основные

сферические функции Р ^

( c&S9 >

■

к- Л и Р ^ (

Се-Ъ & ) -

■ -Pt^vv к. Я , У которых 0

< К п. ,

Рис. 6

попеременно меняют

свои

знаки.

тессеральяыми (от греческого "тессер а"

-

четыре). На

р и с.7

показаны нули функции P g ^ ( c o - i О )

•

3 Л

на разверну­

теоремы.

Теорема 3 .5 .1 . В системе

2 гг

+ 1

основных сферических функ­

ций имеется одна зональная, 2

п

- 2

тессеральных и две сектори-

альных.

словлена значением К = О, I ,

2 , . . . ,

П-

. В

разложении ( 2 .3 .4 )

всякой сферической функции

U-n ( в

, j l

)

р -ой степени