Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf

Таким образом,

надо подыскать неизвестные коэффициенты А ПС

и В пк в количестве

( ио. + 1)^ та к , чтобы величина

«■» “ \[f'C*.x)-Zlufoy'fciQ

( 3 ,в .3 )

Л

Будем называть

б~^,

квадратичной погрешностью аппроксима­

ции ( 3 .6 .2 )

с

помощью

сферических функций.

Как и следовало ожидать, коэффициенты А

и В „ _ ,

найденные

методом наименыап квадратов под условней

( 3 . 0 . 3 ) ,

оказываются

коэффициенте® типа ( 1 .2 .3 ) .

Теорема 3 ,6 .1 . Коэффициенты А пК и В

в

представлении

( 3 . 6 . 2 ) , определенные

методом наименьших квадратов

под условием

минимума квадратичной

погрешности

г,

( 3 . 6 . 3 ) ,

определяются

6 ^

форлулаш:

А •а*

2

+J

(и -j,

j J £: ь. Я)' /* (

У&)■

к- Я‘ oL

;

2 п ■С*

' (

(3 t e f4)

II

8 » .

т

?

v^—7-:. —( /(о.

'/ W v )•

Л ■d Q

>

J r

<r1 f . -oy '

J

.<1

. . . » m. ;

где

о .

= О, I ,

2 , ?

К = С, I ,

2, . . . ,

А-ъ

;

SK

~ I

при К > О к лишь при К =

0

6»

- 2.

Для доказательства заметим, что если в выражении ( 3 .6 .3 )

раскрыть кэадратш е скоби?

и произвести почленное интегрирование,

то ш

будем иметь члены следующих четырех типов:

Z_

П ( 9'

л -cL Q •+-

*

(3 .6 .5 )

+ Z z k . ! f ^ ' ( ^ е ) ^ л ] гс1 Я *

■oLQj = Ш я ~ гЙ. Z ^

X.-cl.Q +Z Z

a - / - С otn .

J

f“-

Si

*>'- **»

A

Для нахождения минимума

6"JL

, дифферендаруем

(3 .^ .5 ) по

£ U fc , т . е . ,

по существу,

по каждому из коэффициентов,и при­

■\ ъ„е{е,л)с1я -

Л)о1 .0 = О (3,6,6)

Si

-я

Под этой

записью понимается, конечно,

не одно уравнение, а

( т + I)" уравш ш й ,

которые получатся* если ш

будем придавать

индексам

П

и

L

псе кх возможные значения:

п . = О, I , 2 ..

. . , m .

;

t

= О, I , 2 , . . . , 2 1Ъ

J

K e - f a

( 3 .6 .7 )

SL

вращаясь через ( 3 .1 .3 ) , ( 3 .1 .2 ) и (3 .1 .4 )

к обычным обозначениям

■и учитывая теорему 3 .1 .2 ,

получаем из

(3 .6 .7 )

формулы

( 3 .6 .4 ) ,

что от нас и требовалось.

Таким образом, теорема ( 3 .6 .1 ) доказана.

Следствие. Пусть выполнена аппроксимация(3.6.2) с

помощью

сферических функций степеней

0 ,1 ,

2 ,

. . . ,

т.

, т .е .

вычислены

необходимые для этого (

т . +

О

коэффициентов по формулам (3 .6 .4 )

1 )“

обходимость дополнительно привлечь сферические функции степени

•

более

высокой

чем

т , то

ранее полученные коэффициенты А „

и

В „ _

остаются

без

изменения,

и дополнительная работа сводится

яснилась

необходимость привлечь

еще и сферическую функцию 5-ой

степени,

то

дополнительные вычисления потребуются лишь для полу­

чения 2

• 5

+ I = I I

коэффициентов сферической функции 5-ой сте­

пени. Понятно, что это

качество

аппроксимации (3 .6 .2 ) очень важ­

но для практики, т .к .

позволяет,

последовательно наращивая сте­

точности без потери вычислительного труда. А то ,

что на этом пу­

ти можно достичь любу» наперед заданную точность,

гарантирует

следу пцал теорема.

Теорема 3 ,6 ,2 . При аппроксимации

( 3 .6 .2 ) можно достичь любую

наперед заданную погрешность

. Для этого надо лишь взять

число

достаточно большим.

Доказательство. Подставляя выраженные из ( 3 .6

.6 ) свободные

члены нормальных уравнений в ( 3 .6 .5 )

и производя необходимые со­

кращения,

получим:

2-тг-

(*+ у-) ! г г.

(3.6. 8)

2И »•/

Эта формула, во-первых, позволяет практически вычислить квад-

ратичную погрешность

б Д.

при любом

^

, а ,

во-вторых.

показывает, что с увеличением

но.

величина

о £

может

только уменьшаться. В пределе

при

^

- »

аппроксимация

(3 .6 .2 ) переходит в

бесконечный ряд Лапласа,

о котором нам уже

известно, что он сходится к функции

ф (

9

,

Я

) абсолютно

и равномерно. Но если ряд сходится равномерно,

то

он сходится и

в смысле среднеквадратичном,

т .е .

при

- -

« г

обязательно

_ г

Фактически в пределе

(3 .6 .8 ) принимает вид

Z

.2 п ■

! ,■

Z

Z Н + I (И - О /

о

(3.6.9)