Файл: Мирзаев, Г. Г. Проектирование и строительство инженерных сооружений конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 47
Скачиваний: 0
69
Рвс.33 |
|
де к сечению со стороны начала координат |
|
= 1'Хг ~ 7П . |
|
Ничто не изменится, если этот момент записать влекущим |
|
образом: |
о |
Мг =Ул хг - т ( х г -а) ,
|
70 |
|
т .е . ввести множитель |
(хг ~а)° , равный единице |
(здесь а - |
д и н а балки от начала координат до сечения, где |
приложен сос |
|
редоточенный момент |
т ) . Третий прием заключается в умноже |
|
ния сосредоточенного момента на скобку ( х - а ) ° |
, равную еди |
|
нице. |
|
|
При выводе обобщенного уравнения упругой линии показано, что при соблюдении приведенных выше приемов произвольных пос тоянных интегрирования независимо от числа участков балки бу дет не больше двух.
Вхвод обобщенного уравнения упругой линии
Пусть балка под действием положительных нагрузок, кото
рые дают положительные изгибающие моменты (рис. 33,г ) , |
нахо |
|||
дится в равновесии. Начало координат возьмем в точке 0, |
ось |
|||
•х направим по оси балки вправо,, ось у |
- вертикально |
|||
вверх. |
|
|
|
|
Рассмотрим пять участков балки. |
|
|
||
На первом участке |
0А нагрузки нет, |
следовательно, |
урав |
|
нения, определяющие упругую линию , будут |
|
|
||
Е1£ г = ° |
E I dSL = l |
|
|
|
d x |
L |
|
|
|
Рассмотрим участок АВ. Применим третий прием, тогда
Е 1 ж - = т (з:- а) 0 •
Это уравнение проинтегрируем, применяя первый прием
Е17%~=” (*-а) + Сг •
Е1 у = т ^ + С гх +1>г .
Для участка ВС
Е1^рЛ- = т (х-а)°+Р(х-Ь),
E ly - 711 |
+ Р |
С,х + |
|
|
|
|
71 |
Для участка |
CD |
|
т (х-а)°+Р(х-Ь) + д 1 (х-с) |
|
|
* У |
=_ |
||
Е I ^ г_ « |
|
|
(х-в)~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ) |
” Т |
., |
|
, |
п |
Е1у = тп~ |
--------- + Р |
в |
||
Рассмотрим участок DL . Распределенная нагрузка на него |
||||
не распространяется. |
Поэтому для получения равенства постоян |
|||
ных интегрирования согласно второму приему добавляем положи -
тельную нагрузку, а для сохранения условий работы балки такую |
|||||||
ке отрицательную нагрузку (добавленные нагрузки на рис. |
33,г |
||||||
показаны пунктиром). |
|
|
|
|
|||
Тогда для участка DL |
получим |
|
|
|
|||
E l |
|
|
= m ( x - a f + Р (х-Ь ) +с/ |
q |
’ |
|
|
Г . Г |
d |
y |
________ / _________, . „ ( х - i ) Z. _ (x -cf |
(x -d) |
, „ |
|
|
F I |
d |
t |
m 'x ~a) + P ~ ~ T ~ 1 ~ e ------- 6— |
+Cs |
|
||
E I = |
771 |
|
(x - c )4 |
|
|
||
|
24 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'4 |
( x - d ) 4 + C x +Д. |
|
|
|
||
|
|
T t |
|
|
|
|
|
Равенство постоянных |
[с=Сг= ...=C и |
Dt=D2= ... = D |
) |
||||
следует из сравнения уравнений, в которые подставляются зна
чения |
х |
, |
соответствующие границе двух смежных участков. |
|||||
Так, нацример, чтобы доказать равенство |
С3 = |
, подстав |
||||||
ляем в уравнения углов наклона касательных участков Ши 17 |
||||||||
х = с |
. |
Получаем |
,.г |
|
|
|
||
|
771 (с-а) + Р -^ 2 ----- н С3 = 777(с-а ) |
+ Р — 2— |
|
|||||
Откуда следует, |
что С3=С^ |
. Доказав равенство всех |
||||||
постоянных |
С, |
таким же образом легко доказать равенство |
||||||
всех постоянных |
D . |
|
|
|
||||
Физический смысл постоянных С |
и д |
выясняется из рас- |
||||||
72
смотрения упругой линии участка I .
Если обозначить тангенс угла наклона касательной к упру гой д и п в начале координат осд , а прогиб в том хе сечении -
fg , то из уравнений участка I для углов наклона касательной
и прогибов при , г = 0 получим
Е1 л 0=С,
'E l f 0 =J>.
Следовательно, |
постоянная |
С |
представляет собой тангенс |
|||||
угла наклона касательной в начале координат, умноженный на |
||||||||
жесткость балки |
E I |
, а |
постоянная В |
~ црогнб в начале |
||||
координат, умноженный на ту же величину жесткости E I |
||||||||
Подставим значения постоянных |
С |
и D |
в уравнение уг |
|||||
лов наклона касательных и в уравнение прогибов участка У„ |
||||||||
(как в наиболее обеде уравнения, |
содержащие все изгибапцие фак |
|||||||
торе: вару сил, сосредоточенную и распределенную нагрузки;. |
||||||||
Тогда уравнение углов наклона касательной будет |
||||||||
уравнение прогибов |
|
|
г |
|
(х-Ъ) |
+ |
||
E ly = E l f B+ EIccBx +m - ^ - |
+ Р |
|||||||
6 |
|
|||||||
. , ( x - c f |
|
( x - d f |
|
|
|
|
||
+ 4 |
24----- Ч |
24 |
|
|
|
|
||
Эти уравнения при многократном повторении нагрузок, действуведх на балку, могут бить написаны в более общем веде
Е 1 1 ^ ~ = Е 1 ло+ 2 т (* -а )+ 2 Р (-Щр~ + 2 q {^ ~
Z
EIy = EIfB +EIaLBx + Z m * ^ +
Уравнения называются обобщенными (для рассмотренных ти - вон нагрузхж) нлх универсальными уравнениями уцругой линии.
73
Следует обратить внимание, что на рис. 33,г показаны по ложительные направления нагрузок. Если нагрузка направлена в другую сторону, то она вносится в уравнения со знаком минус.
Направление прогиба определяется его знаком: при положи тельном знаке прогиб направлен в сторону положительной оси у ,
т .е . |
вверх; при |
отрицательном - в сторону отрицательной оси У , |
т .е . |
вниз. |
защемлена, то неизвестные осо и f0 обращаются |
|
Если балка |
в нули (место защемления совпадает с началом координат), так
как угол наклона касательной относительно оси х |
и прогиб в |
защемлении равны нулю. |
|
Если балка свободно лежит на двух опорах без |
консоли или |
с одной консолью, то требуется определить только одно неизвест
ное ос0 , |
так как прогиб на левой опоре, |
совпадающей с началом |
координат, |
равен нулю. Неизвестное ссо |
в этом случае находит |
ся из условия равенства нулю прогиба над правой опорой. |
||
Если балка, свободно лежащая на двух опорах, имеет начало координат, которое не находится над опорой, приходится опреде
лять две неизвестные: |
осо и |
fQ . |
Они находятся из условий |
|
равенства |
нулю прогибов над опорами. Этот вариант удобен цри |
|||
обращении |
в'нуль либо |
а о |
, либо |
fo |
§9. Кручение
Впроцессе работы многие детали машин и конструкций под вергаются деформации кручения (валы, балки, пружины и д р .).
Рассмотрим деформацию круглого стержня радиусом г ,один конец которого закреплен в неподвижной плоскости (рис. 34,а ). К свободному концу стержня приложена пара сил, действующая в плоскости, перпендикулярной оси стержня. Стержень под действи ем этой пары сил испытывает деформацию кручения. При этом ось стержня 00, остается прямой. Эта ось называется осью кру чения.
В результате действия крутящего момента поперечное сече ние стержня поворачивается на некоторый угол, причем, чем дальше от закрепленного конца расположено рассматриваемое се-