Файл: Мирзаев, Г. Г. Проектирование и строительство инженерных сооружений конспект лекций.pdf

54

Наибольшего значения напряжения достигают у верхнего (сжатие) и нижнего (растяжение) краев сечения (при г = zmax ).

Полученное уравнение позволяет определить только характер распределения напряжений по высоте сечения.Пользоваться им для определения величины нормальных напряжений нельзя, так как

Рассмотрим равновесие левой части балки (рис. 28,6). Для определения положения нейтральной оси и радиуса кривизны балки ввделим из площади поперечного сечения на расстоянии z от нейтральной оси элементарную площадку dF .

Тогда равнодействующая элементарных нормальных сил, дейст­ вующих по элементарным площадкам, по всей площади будет равна

N =\-jrzdF.

Исходя из того, что выделенная часть балки под действием внешних (момент М ) и внутренних сил находится в равновесии, составляем два уравнения статики: сумма проекций всех элемен­ тарных сил на ось х равна нулю; сумма моментов всех внеш­ них и элементарных внутренних сил, действующих в сечении от - носительно оси у , равна нулю.

Первое уравнение имеет вид

Следовательно равно нулю второе слагаемое, которое представ - ляет собой статический момент площади поперечного сечения бал­ ки относительно нейтральной линии (горизонтальной оси у ). Если статический момент инерции равен нулю, то ось, относи - тельно которой он взят, должна проходить через центр тяжести сечения. Из этого следует, что нейтральная ось всегда прохо - дат через центр тяжести поперечного сечения.

55

Элементарный момент от действия внутренней элементарной силы d N относительно нейтральной оси будет равен

dM = d N z = - ^ ~ z d F z = - j - z *dF .

Тогда сумма всех элементарных моментов внутренних сил из второго уравнения равновесия будет равна внешнему моменту

= M ~ $ d M = М - l d N z = M - $ 4T~ Zz ZdF =0 ,

оси балки) характеризует величину деформации при изгибе. Из выведенной формулы видно, что деформации при изгибе прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональ­ на модулю упругости и моменту инерции относительно нейтраль­ ной оси у _ м

наоборот. Здесь модуль упругости является физической характе­ ристикой материала, а момент инерции - геометрической харак­ теристикой поперечного сечения балки.

Подставляя з уравнение, выражающее закон Гука,значение

р, получаем формулу для определения нормальных напряжений

влюбой точке сечения

Из анализа этой формулы видно, что наибольшие нормальные напряжения возникают в точках (волокнах), наиболее удаленных от нейтральной оси: по одну сторону от нейтральной оси - мак­ симальные растягивающие напряжения, по другую - максимальные

56

При Z = 0, т .е . на нейтральной оси, нормальные напряже­ ние равны нулю. Белы центр тяжести сечения балки совпадает с оерединой высоты, то растягивающие ж сжимающие напряжения по абсолютной величине равнн и могут определяться по формуле

Тогда формула для определения напряжений в наиболее уда­ ленных от нейтральной оси волокнах цри симметричном сечении примет вид

б = ±

Проверка прочности цри изгибе по нормальным напряжениям

Прочность балок при изгибе проверяется в опасных сечени­ ях, в которых действует максимальный изгибающий момент. Распо­ ложение опасных сечений по длине балки определяется по эпюре изгибающих моментов.

Зняр ддя данного материала допускаемые напряжения на рас­

Для еншетричвого сечения максимальные растягивающие и сжимающие напряжения по абсолютной величине будут одинаковы­ ми

G,=- ^ = ^ 4 М р ,

го,

57

^Мmax Г ^*1

Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжа­ тию ( [6] =[б]=[>;] ), как например, мягкая сталь, то рас - четная формула при изгибе примет вид

кг/см2 .

Пользуясь расчетными уравнениями прочности при изгибе, можно решить три типа задач.

1. Определить возникающие напряжения, если известен из­ гибающий момент и момент сопротивления сечения (момент инер­

2.Определить допускаемый изгибающий момент, действующий

впролете балки или на опорах, если известны допускаемое нап­ ряжение и момент сопротивления

3. Определить момент сопротивления, а по нему и необходи­ мые размеры поперечного сечения, если известны изгибающий мо­ мент и допускаемое напряжение.

Пример. Балка на двух опорах, загруженная двумя силами (рис. 29) [б] = 1600 кг/см2. Определить размер двутаврового сечения балки.

Решение. Из эпюры моментов видно, что опасным сечением в данном примере будет сечение в месте действия силы Р2

По сортаменту выбираем балку I А 22а, момент сопротив­ ления которой равен 232 см3 .

58

Рациональные формы поперечного сечения балок

Црж изгибе балок материал около нейтральной оси принима­ ет на себя незначительные нормальные напряжениями поэтому не могут быть использованы полностью его прочностные свойства.

На практике из симметричных сечений чаще всего встречаются: для дерева - прямоугольник и круг, для металлов - двутавровое и тавровое. Круглое и прямоугольное сечения считаются самыми неэкономичными. Целесообразно переделать прямоугольное сече - ние так, чтобы удалить материал от нейтральной оси и перенес­ ти его в верхнюю и нижнюю зоны балки, где он будет загружен более полно. Так из прямоугольного сечения получается профиль двутавра, обладающий той же прочностью и меньшим весом.

Применение двутавра целесообразно, если материал одинако­

59

во сопротивляется растяжению и сжатию (например, мягкая сталь). Сечения в виде тавра применяются в основном для тех материалов, в которых сопротивление растяжению и сжатию неодинаково (чугун). При проектировании следует стремиться к тому, чтобы при одной и той же площади получить наибольший момент сопротивления и мо­

мент инерции. Это достигается размещением большей части материа­ ла как можно дальше от нейтральной оси.

Касательные напряжения при поперечном изгибе

В общем случае изгиба в любом поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила. Изгибающий мо­ мент вызывает появление нормальных напряжений, а перерезываю­ щая сила стремится сдвинуть одну часть балки относительно дру - гой в направлении, перпендикулярным к оси, и вызывает в плос - кости поперечного сечения балки касательные напряжения (см. рис. 26). Одновременно в балке появляются касательные напряже­ ния, действующие параллельно нейтральной плоскости, которые стремятся сдвинуть горизонтальные слои относительно друг дру­ га. Так, например, если взять балку, составленную из двух н'ескрепленных брусьев,и нагрузить, то каждый брус будет вести себя как самостоятельная балка, т.е. верхние волокна брусьев будут сжиматься, нижние растягиваться (рис. 30,а). Концы такой балки принимают при изгибе ступенчатое расположение, что сви­ детельствует о наличии сдвига верхней балки относительно ниж­ ней в продольном направлении. В целой неразрезанной балке сту­ пенчатости концов не получается, значит в этом случае упругие силы, возникающие в продольных слоях балки, препятствуют про - дольному сдвигу (рис. 30,6).

Таким образом,при изгибе наблюдается закон парности каса­ тельных напряжений: касательные напряжения по двум взаимно пер­ пендикулярным плоскостям равны между собой по абсолютной вели­ чине и противоположны по знаку (направлению). Для определения величины и направления касательных напряжений возьмем балку прямоугольного поперечного сечения, загруженную силами ^ к ^

(рис. 31,а).