Файл: Мирзаев, Г. Г. Проектирование и строительство инженерных сооружений конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 45

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

60

Для упрощения решения задачи примем следующие допущения:

1) направления касательных

напряжений г

в поперечном

сечении параллельны направлению

перерезывающей силы Q ;

2) величины касательных напряжений по ширине сечения бал­ ки в разных точках, расположенных на одном расстоянии от нейт­ ральной оси, равны между собой.

Опыт показывает, что при сосредоточенной нагрузке для ба­ лок, у которых отношение высоты к ширине равно 3 и более, ошиб­ ка составляет всего 0,6$. Для балок, у которых это отношение равно 1 и 0,5 , ошибка составляет, соответственно. 3 и 33,7$.

Проведем на левом участке балки два поперечных сечения 1-1 и 2-2, отстоящие друг от друга на расстоянии dx , и про­

дольное

сечение

а b

, параллельное нейтральному слою, на рас -

стоянии

ZQ от

него.

Этими тремя сечениями в балке вырезает­

ся бесконечно малый элемент формы параллелепипеда с размерами

d x t ( Л -- 2 0) ,

Ъ . Изгибающий момент в сечении 1-1 равен М ,

в сечении 2-2

M+dM .

Мысленно

выделим из балки элемент, ограниченный проведен-

61

янми сечениями, ж рассмотрим систему с и , которые обеспечивают его равновесие (рис. 31,6).

Заменим действие на каждый элемент отброшенных частей балки внутренними усилиями. В каждой точке боковых граней эле­ мента действуют нормальные и касательные напряжения, причем, на правой грани 2- Ъ нормальные напряжения больше, чем на левой грани I - а , так как действующие в этих сечениях момен­ ты неодинаковы. ( М ^М '). В общем случае касательные напряжения по граням элемента такие могут быть неодинаковыми и зависят от значения действующих по втим сечениям перерезывающих c u Q

и Q+dQ . Обозначим равнодействующие нормальных усилий Nf и Nz,

а касательных Т ' и Т " .

 

В нашем примере Т'= Т".

Вследствие того, что нормальное усилие Nz >Ц элемент дол­

жен передвинуться влево.

Однако этому передвижению препятству­

ют касательные усилия,

действующие по плоскости аЪ ( равно­

действующая э т и усилий

Т ) .

Чтобы элемент находися в рав­

новесии,

неооходиио равенство

нулю суммы проекций всех с и

на ось х

, т .е .

 

 

 

 

2 ol= N - N

+Т= SodF-ffc+de) +xdxb=

 

= lordF -

l& d f ~ L cI<5 dF + x b d x = 0 .

Известно, что ^

M

Тогда

is d o ^ z . .

= —L _

bdx

—

■I z d F

 

idx

£ed

 

FcB

-

d M

/

C c3

 

 

 

Jlx

b iу

r

 

 

Интеграл

=

J ztdr

представляет собой статический

момент площади поперечного сечения боковой грани выделенного

элемента 2 , Ь. 3',

г'

относительно нейтральной оси.

Величина

равна поперечной c u e

Q. . Это легко

доказать,

если взять

сушу моментов всех с и

по одну сторону

от сечения

г - г (рис. 31,а ) , расположенного от левой опоры

балки на расстояни

x * d x

, ж определить приращение мо­

мента d M

 

 

 

62

63

Z'2

M = ^(x+ d x)-Jj ( x + d x - a ) ;

M 11 = V^x -Pf (х-а) ;

d.M= Ы —М ~ У ^ +\°^х ~P(d~Pdx + Р^а-

 

+ £ * '' - £

* '' = VAd x - p d x =

 

= (vA ~P)dx

=Qx d x ,

т.е

dM

=

Q,

d x

 

 

 

Окончательное выражение для определения касательных напря­ жений в точках, расположенных на любом расстоянии от нейтраль­ ной оси, примет вид

. „ /< * 2

Эту формулу принято называть формулой Д.И.Журавского. Касательные напряжения в продольном слое пропорциональны произ­ ведению поперечной силы Q в рассматриваемом сечении на стати­ ческий момент S ‘a относительно нейтральной оси части площади поперечного сечения, расположенной между точками, для которых определяются касательные напряжения, и ближайший краем балки (сдвигающейся части) и обратно пропорциональны произведению осевого момента инерции всего сечения относительно нейтральной оси на ширину поперечного сечения балки.

В самых нижних и верхних продольных слоях, где нормальные напряжения от изгибающего момента достигают наибольшего зна­ чения, касательные напряжения равны нулю, так как для них статический момьнт равен нулю. В нейтральном слое, статичес­ кий момент которого имеет максимальное значение, касательные напряжения для сечений одинаковой ширины будут также наиболь­ шими, в то время, как нормальные напряжения равны нулю. Из за-

64

кова парности касательных напряжений следует, что формула Жу­ равского справедлива для определения величины касательных напряжений в поперечных сечениях балки.

Как видно из формулы Журавского, касательные напряжения в поперечном сечении балки по ее высоте распределяются неравно­ мерно. Для прямоугольного сечения балки значения Q , 1у и Ъ - постоянные величины. Поэтому касательные напряжения изменяются прямо пропорционально статическому моменту. Этот момент для площади сечения, расположенного между точками, в которых вы - числятся касательные напряжения, и ближайшей гранью, будет равен

£ - F z ' = h & - z . ) ( z s ^ у - ± ( £ - * : ) .

Таким образом,касательные напряжения по высоте сечения изменятся по параболическому закону. Для г о= ± (т .е . в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси) касательные напряжения равны нулю.

Для точек, расположенных на нейтральной оси, для которых

г д= 0

, касательные напряжения достигают максимального значе­

ния.

В формулу Журавского го входит в квадрате, поэтому

 

знак

z a на величину касательных напряжений не влияет. В

точках (волокнах), симметрично удаленных от нейтральной оси в прямоугольном сечении, эти напряжения имеют одинаковые зна­ чения.

Црочность балок по касательный напряжениям проверяется для сечений, в которых д е й с т в у ю т максимальные перерезывающие силы, а также для точек в сечении, где эти касательные напря­ жения максимальны (на нейтральной оси). Указанное сечение н точки в сечении называются опасными. Условие прочности записы­ вается следующим образом:

m a x

Г— Q<nax Vji-----^ ГтгТ

1х ъ L

где S max - статический

момент относительно нейтральной оси

сечения, расположенного

по одну сторону от нее; [г ] - допус-

65

каемые напряжения на срез для данного материала.

Величина допускаемых напряжений при срезе в большинстве случаев принимается равной 0,4 -0,8 от нормальных допускаемых напряжений и затем проверяется экспериментально.

Упругая линия балки

Прямолинейная ось балки под действием внешних нагрузок искривляется. Искривленная ось называется упругой линией. Уметь определять упругую линию балки необходимо, так как при расчете часто требуется, чтобы не только возникающие в балке нацряже - ния не превосходили допускаемого напряжения, но и максималь - ный прогиб балки был не больше заданной величины, определяемой условиями работы балки. Кроме того, при расчете статически не­ определимых балок, т .е . таких, у которых число реакций больше числа условий статики, недостающее число уравнений дополняет­ ся уравнениями, получаемыми из рассмотрения деформации.

При анализе напряжений при изгибе получили формулу

1 _ М

РЕ I

выражающую важное соотношение теории изгиба.

Словами эта формула может быть выражена так: в любой точ­

ке упругой линии балки радиус кривизны

р прямо пропорциона­

лен жесткости е I

и обратно пропорционален изгибающему мо­

менту. Если балка изгибается парой сил,

то момент М постоя -

нен на всей длине балки, и радиус кривизны в этом случае также постоянная величина, т .е . упругая линия балки есть дуга окруж­ ности^ Во всех других случаях упругая линия может иметь самый различный вид.

Для получения уравнения упругой линии в

прямоугольных

осях координат условимся ось

х

направлять

по оси балки

вправо, а ось

у вертикально

вверх. Уравнение упругой линии

должно давать

зависимость между координатами ее точек х и у .

66

Имея эту зависимость дня каждого сечения балки, отстоящего на расстоянии х от начала координат, можно найти соответствую­ щий прогиб у .

В математике выводится следующее выражение для радиуса

кривизны в точке А с координатами х , у

(рис.32,а ):

 

 

3/г

? =

j £ l

 

 

d 2x

 

Это точное выражение радиуса кривизны можно заменить бо­ лее простым, приближенным выражением. Дело в том, что допускае­ мые прн изгибе балок прогибы весьма невелики (приблизительно одна тысячная доля длины балки), и упругая линия мало отлича­

ется

от прямой. Величина

,

представляющая собой

ЬцЧ

т .е .

тангенс угла, образованного

касательной к упругой линии

и положительным направлением оси

х

, настолько мала,

что

при возведении в квадрат делается пренебрежимо малой по срав­ нению с единицей, к которой она прибавляется. Ввиду малости этой величины выражением можно пренебречь. Ошибка,

которая вносится в величину радиуса кривизны, не превышает 0,5;?.

а)

б)

Рис.32

67

В таком случае радиус кривизны упругой линии балки представля­ ется в более простом виде

1

d ‘x

Подставив это значение р в формулу радиуса кривизны, получим уравнение упругой линии в таком виде (дифференциаль - нал форма)

E I

J j

- М

 

 

d*гх

 

 

Два знака, стоящие в девой части уравнения,

позволят

согласовать знаки левой и правой частей: в левой

части знак

устанавливается в Зависимости от соответствия направления кри­

визны кривой и направления от Оу ; в правой части берется

знак

момента.

Если кривая вогнута в сторону положительных

у

(рис.

32,а ), то

 

р>0

,

так как

 

, и наоборот, если

кривая вогнута в сторожу отрицательных

 

у

(рис. 3 2 ,6 ),

то

р^О

,

так как

* О

у

 

 

 

 

Таким образом,

ес^ш считать ось

 

направленной вверх,

то знак

р

,

или

будет совпадать

со

знаком изгибающего

момента,

что хорошо видно из рис. 32.

Отсюда следует,

что при

указанном условии выбора осей координат уравнение упругой ли­

нии в общем виде будет

г

 

 

 

 

Е 1 4 Л = М .

 

 

 

 

а х

 

 

 

Для получения уравнения упругой линии в форме, дающей

 

непосредственную) связь

между прогибами у

и абсциссой

х

,

следует проинтегрировать уравнение два раза.

Первое интегрм -

рование даст уравнение,

связывающее т ягенсы углов

,

ко­

торые образуются касательными к элементам уцруюй лилии и осью х , с абсциссами элементов. Второе интегрирование при­ водит к уравнению упругой линии в форме, дающей непосредствен­

ную связь между прогибом у и абсциссой х

. После каждого

интегрирования получается некоторая постоянная.

Таким образом,

для каждого участка балки после двукратного интегрирования уравнения упругой линии будем иметь две постоянные интегриро­ вания.

68

Этот метод при большом числе участков балки приводит к решению системы уравнений с большим числом неизвестных постоян­ ных. Постоянные определяются из условия равенства прогибов и углов поворота на границах соседних участков и их условия пове­ дения балки на опорах. Однако, соблюдая некоторые условия и приемы составления и интегрирования уравнений изгибающих мо - ментов по участкам, можно сократить число неизвестных до двух, что сильно упрощает задачу нахождения упругой линии балки, имеющей несколько участков.

Условимся начало координат помещать в левом конце балки,

направляя ось

х

вправо,

а ось у

вверх. При вычислении

моментов будем рассматривать

часть балки, содержащую начало

координат, т .е .

всегда будем определять момент в данном сече­

нии, походя к

нему с левой стороны.

 

Теперь опишем три необходимых приема .

Первый прием заключается в том, что некоторые выражения, содержащие скобки, следует интегрировать без раскрытия скобок.

Так, нацример, выражение вида Р ( х - а )

интегрируется по сле­

дующей формуле:

 

\р (х - а ) md x =Р

— + С .

Интегрирование по этой формуле отличается от интегрирова­ ния с предварительным открытием скобок только величиной произ­ вольной постоянной.

Второй прием заключается в следующем; если на балку дейст­ вует распределенная нагрузка, не доходящая до конца балки, то ее следует продолжить до конца, а чтобы не изменить условия работы балки нужно одновременно приложить нагрузку той же ин­ тенсивности и равную добавленной, но обратного знака.

Например, на балку действует равномерно распределенная

нагрузка интенсивности q , не

доходящая до конца (рис.33,а).

Эту нагрузку надо продолжить до

конца балки (рис. 33,6) и при­

ложить нагрузку, равную добавленной, но обратного знака (две

добавленные нагрузки на рис.

33,6, показаны

пунктиром).

 

' Третий щшем поясним на

примере.

Пусть

на балку действу­

ет

сосредоточенный момент т

(рис.

33,в)

на расстоянии а

от

лево! опоры. Изгибающий момент на

втором участке при подхо-

Смотрите также файлы