Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 57

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

единственное решение Vt- * О

(см. рис. I ) .

 

Таким образом, имеется ап

 

орная оценка

 

Обозначим 2. •

 

Имеем равенотво

у-

Р/С*)

dPj_

^

РЛ*)./irm

 

пГ±))

ran

з г > im-

~*$

$*

№)\ и¥*счр

w

( 2

I )

Следовательно, в силу однородности функции Н

по второму арг

справедливо неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п.

 

 

 

 

[ & (ty j ~

| ^

 

 

~ ^

l^tyfa-^/Jl

I

(22)

гда х#~$щ>№Н,

 

 

пх..

ад€г-'#

 

 

- единичная сфера

в £ п ,

Луоть

 

 

 

 

Очевидно, что С ^ о о так как производные функции Гамильтона

непрерывны HJB_.€ З^-^а-мноавство ~ ~ " "

 

о

2

"

ограничено и замкнуто, т.е. компактно

в he

Из (22) вытекает неравенство

 

 

 

Z^CZ

 

 

(23)

Следовательно, " М * ^ - ? (о) е

, откуда

| р ! ^ 1 р ° 1 е с 1 г

и*)

Оценки (20) и (24) в совокупности означают существование оцен

(7)Предлокения 2. Получим оценку (10).

Из (13) следует, что

, р 1 ' ] , = ш ^ 1 Ь ^

(25)

Пусть М -, та\ | Н (х,и)# -

Тогда

| pCt) I ^

(26)

Существование V-t>0 решения задачи Коши (3) , (4) оледует теперь из Предложения (2) . Единственность решения задачи Кош в целом очевидным образом следует из локальной единственности

Теорема 3. Пуоть Н (lip) =

V(x) t у g C ° ° ( R n )

Пусть,

далее, - V ( * ) « F * ( U|)

при |*|>R5 F ( ^ ) > 0 ,

причем

Г

— <ьо

 

Тогда решение задачи Коши (3), (4) оущеотвует в целом и еди венно.

Доказательство. Обозначим .: имеем для решения вадачн (3), (4):

с?.?)

- п -

Следовательно,

 

 

 

 

(28)

В силу теоремы I

 

 

Н (x(t), р ("к)) = 4 + V

= Е = cor.it

(29)

 

 

Из (28) и (29) следует неравенство

(30)

Рассматривая вспомогательную задачу Ковш:

(

убеждаемся, что ее решение существует в целом и что

4(±l^?iX)

 

 

 

 

 

 

(82)

 

»

 

 

 

 

 

 

прИ Ь € Со,ТЦ ^ Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

\р^)\^Пи+РЧЯт))'

 

 

 

 

 

 

(33)

. Утверждение теоремы вытекает теперь ив пред­

ложения ( I ) .

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Решение вадачи (3) и

(4)

называется

траект

рией, выходящей из точки

 

 

 

 

 

 

 

+

х 6

к

Р

£ R<

>

Х

Р = J

Задача. Пусть Н fop) - j f

>

^

 

°~ °>

Доказать, что решение задачи (3), (4) не существует в целом, тону что траектория, выходящая из точки (0,1) за конечное в уходит в "бесконечность".

- 12 -

§ 3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения Гамилыона-Якобн.

между уравнением Гамнлыона-Якоби и системой Гамильтона су­ ществует тесная связь. Действительно, пуоть функция

(*,•*)>—

удовлетворяет уравнению Гамилътона-Якоби:

Обозначим: J\*rl

v

' ' . Дифференцируя

уравнение Га-

милыона-Якоби по JC

, находим, что функция 5*

удовлетворяет

следующему дифференциальному уравнению:

Пуоть эс=. ас ("t) - интегральная кривая уравнения

Обозначим: р ( t ) 4fi£ 5>

Тогда

=-M(xMj9(*Lt);t)±)

Следовательно,

функции

и р6*0 удовлетворяют систв'-

ие Гамильтона:

 

 

dt

dp

 

at ~ a*

- 13 -

прочей р (с) — ^~ (ХЫ^) .В данной параграфе ira, пользуясь

полученными ооотношениями, сведен теорему существования и еди отваннооти решения задачи Еоши для уравнения Гамилмона-Якоби соответствующей теореме о решениях системы Гамильтона.

Поставим для системы уравнений Гамильтона (3) начальные условия специального вида:

Пусть

ЗХ> 0,Ух^КСущеп.твует решение задачи (3), (3*)

в п

межутке E°iT

3

 

 

 

ofjw-sj.it,»:.....»;)

 

( 5 у

 

4 W » ^ ( t , x : . . . 4 О

.

(35j)

Очевидна справедливость следующей теоремы.

 

Теорема fr. Пусть функция S0

6 С °°( Я " ) , тогда функц

(35j),

(352) бесконечно дифференцируемы по 3r°,...,x£

 

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

Обозначим буквой F функцию, стоящую в правой части (36) решения S уравнения (36) имеет место формула;

j w = 4 i » ) + . j W ) ^

( 8 7 )

Для уравнения (36) поставим начальное условие, зависящее от параметров

S l D ) = S . M

(38)

- 14 -

 

Теорема 5.

Пусть при "Ь t С0,1"J

 

существует единствен­

 

 

 

 

 

 

e

 

 

ное решение системы уравнений X — У (*t,l' )

относительно х',...,**

x£-Xj(x)±))

1,...j *v

Пусть

якобиан

 

 

 

 

 

 

 

 

(39)

 

при

е Гс/гЛ^_Х^_К—-

— #

Тогда функция

 

' ^ ' " " " I P

(*»*) в

5 » . (*) | х . =

, . ( Я | * )

;

(U)

 

~"где tSjc"

- решение задачи Коши (36),(38) является решением

задачи Коши ( I ) , (2) в промежутке Го,Т]

 

 

 

Доказательство. По теореме о неявных функциях функции

,

следовательно, и функция

У

бесконечно дифференцируемы. Устано­

вим теперь следующую связь между производными функции У

ж

вектор-функцией Р

:

 

 

 

.

 

Действительно, используя (37), получаем (подразумевается суммиро­ вание по повторяющимся два раза индексам):

-15

Смотрите также файлы