Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf

Скачать файл (3,58Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 59

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Ны воспользовались sen, 410 в силу системы Гамильтона

(42)

р - +1т,)г«(х1*1)

Заметим, что

\<? i

(44)

в силу (34) 1

(45)

- 16 -

так как !f (°,	JPс	. Далее,
в чей можно убедиться,		продифференцировав по х тождество
e		(44) f (45),'(4б) следует, что
*p(t,x (x,t))2X	. из	(44) f (45),'(4б) следует, что

Вычислим теперь			at	. Из (37) и (40) получаем:
*	*"	d * I		dpi	1р=у(^х»(г^~

Вычисляем подинтегральную функцию Ф

в последнем члене (48):

_ ^ K ( « , t ) r j j j & f j .	. у ( г я , ) [ .
+ d-n(*.'.'J Jftfj^iL	.

- 17 -

- d - t d* 1Л1 ' 1 ' d*^ J

При выводе (49) мы пользовались (42), (43). Из (49) следует,

С
о*?	l k J ~	a t ?	dt	( 5 0 )

Дифференцируя тождество. if f t ,

= J£

no "t

убеждаемся, что

dpj		p	^
	(51) , переписываем (48) в виде
Учитывая (50) и	I			i v ^	.
а это в силу (47) означает, что функция ^						удовлетворяет
нению Гамильтона-Якоби			( I ) . Равенство
очевидно. Теорема доказана.
Теорема 6.	В условиях теоремы 5 решение задачи Ношв
j единственно.
Доказательство. Для того, чтобы не усложнять запись пр
дем f случае h = i			. Читатели предлагается внести в дока
тельство соответствующие изменения для случая h>i,							V."

- 1 8 -

Пусть S	- какое-то решение задачи Коти ( I ) , (2). Вычис
лим производную функции 3		вдоль траектории системы Гамильто
на (3), выходящей из точки (jc°,d S c				:
		ох '
d t	L ^	+	" " I t -	" - J

- L dx	dp	**	J x-$(t,x')
Докажем, что функция *V
			(52)
совпадает о функцией		, определенной формулой (352):

Из (52) инеем:
					(54)
				'	.
Продифференцировав уравнение Гамильтона-Якоби ( I ) по X					,
получим:			i	, , 'и..	N
получим:			i	, , 'и..
•J^-Vf г	Т^л		Л n	d гг J
			Т	Го.-, публичная
	-	19 -	\|	биб«ис>?сяа - ' - ^
			\|	биб«ис>?сяа - ' - ^
			1	0К2ЕМПЛЯР
			]	иитАПЬ'ЛОГО ЗАДА,

Подставляя (55) в (54) получаем для функции

задачу Коти

+ (56)

дт* L dp

dp J

Функция i , очевидно, удовлетворяв! (56) и в силу единственн ти решения этой задачи Кови совпадает о. Таким образом, мы доказали, что любое решениеS О задачи ( I ) , (2) удовле

воряет следующему обыкновенному дифференциальному уравнению вд траектория системы Гамильтона:

		- H ( . t l t ) ) P ( - t ) , t )
^ ,	о ) = 5 о И .	, в силу теоремы
и начальному условию5 (« л 1	— ^ог	, в силу теоремы

единственности решения задачи Коши для обыкновенного диффере

ального уравнения и предположенной единственности решения ура ния x=y(x",-t) относительно JT решения задачи ( I ) , (2

единственно.

Задача. . Найти решение задачи Коши:

При каких Т существует решение этой задачи в промежутке Решение. Очевидно, данная задача есть задача Коши для

нения Гамильтона-Якоби с вамильтонианои Н (х^ п) =

Соответствующая система Гамильтона имеет вид* - 20 -

P	1	(57)
d-t ~	dt	(57)

Решение системы (57),• удовлетворяющее начальным условиям

e C S b	p	( t j _	f c h ^ = - *	с
				(59)
		(i) =	x°

(60)

Таким образом, траектории существуют в целом. Однако это не о начает, что существует в целом решение рассматриваемой задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби, так как янобиан

обращается в нуль при t = i	. Это соответствует тому фанту,
что формула
* = —		(61)
дающая решение уравнения -x=-x°i + А'0		-не имеет смысла при

-£ = 1 . Формула (40) дает решение задачи Коши при "t & (c;i)

На видим, что ^ ^ l y t ) o = > при "fc-* 1 . Следовательно, решение данной задачи Коши не существует при ^"Ь-1

В заключение этого параграфа покажем, как, зная решения ура нения Гамильтона-Якоби, можно находить решения системы Гамильтона

Определение. Система решений И — чЧ^^и) •+• к уравнения

- 21 -

Гамяльтона-Якоби называется полный интегралом, если

Докааем, что если U - полный интеграл Гамильтона-Якоби, система уравнений

определяет	2п	- параметрическое семейство решений системы Гам
тона. Действительно, продифференцируем уравнение J ^ = ^ £ п о
и уравнение	J ^ + H (*,fc , g ).= D по dL				. Тогда
' У *	h	у	- i l l	- «1.- П
at da1		2_4	ахк(*а1	dt-

Вычитая из одного уравнения другое и учитывая, что а*Х \ £ находим:

д± ~ dp*

Далее, дифференцируя уравнения ^ £ г - />i		по t и уравнение
Гамильтона-Якоби по х1	, получаем:

Хотя, вообще говоря, уравнения с частными производными предс ют собой "более сложный" объект для изучения по оралнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений, однако, в к кретных задачей может случиться, что полный интеграл уравнен Гамильтона-Якоби легко находится. Это позволяет в данном слу определить полную систему решений гамилмоновой системы.

Пример. Задача двух тел.	Рассмотрим движение двух матери
ных точек с массами w^w^	, притягивающихсяflpjr к другу по

кону тяготения Ньютона. Положение точек будем характеризовать их радиусами-векторами

• ^ j . (d)= V." Для системы материальное точек можно ввести

центр инерции. Движение центра инерции определяется как движение материальной точки с массой, равной сумме масс, с начальной ск ростью, равной геометрической (векторной) сумме начальных скорост точек системы; под действием силу., равной геометрической сумме сил, действующих на точки системы. Для двух точек центр инерци

^tc(t) определяется следующим образом:

Поскольку суммарная сила в задаче двух сил равна нулю, то це инерции движется равномерно и

Итак, мы получаем уравнение, связывающее fyfe) и

№