Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 58
Скачиваний: 0
Определение. Функцию Uft) со значениями в
будем называть решением волнового уравнения в факторпространст
Определение. Решением задачи Коши |
( I ) , |
(44), (45) (о нуле |
|||
правой частью) в факторпространстве |
№ ")/,г /Называется |
||||
решение волнового уравнения в факторпространстве Y/f(£)/wk' |
|||||
удовлетворяющее условию |
(44) с точностью до элемента пространст |
||||
|
и условию (45) с точностью до элемента простра |
||||
ства Wz*'*",{e*J |
|
|
|
|
|
Из данного определения следует, что все решения задачи |
|||||
ftXfWJ/Vs) |
в |
(*У/\л/г*"'~'(£У принадлеыт |
|||
одному классу в Wz*№У/)/^*:*р~'('16'У |
так4 1 0 над |
Решениеи |
|||
задачи Коши в )л/г*f£/£У |
можно понимать класс |
||||
Теорема 6. В предположениях теоремы 5 решение задачи 'Коши |
|||||
( I ) , (44), (45) |
в факторпространотве |
W2*(&У/у/^*'"J |
|||
существует и единственно (при достаточно малых |
) . |
||||
Доказательство. Существование решения доказано в теореме 5; |
|||||
это решение имеет вид (67). Пусть функция |
является |
||||
шением волнового уравнения в V/f^^/W'/ "(кУъ удовл |
|||||
условиям |
. |
|
|
|
|
Тогда по теореме (I) имеет место включение
т.е. Wz '(*УМ*+У*? *Г*#У7~О
Теорема доказана.
Теорема существования в малом решений задачи .юши в факт пространствах \Vf/\A/ek при /> ? з также имеет место.
Ее доказательство требует более сложной техники.
- 129 -
§6. Решение уравнения переноса.
Вэтой параграфе мы получим формулу (55) ( для индекса "+
пп
доказательство для индекса - |
совершенно аналогично; в дальней |
||||
индеко "+п |
всюду опускаем). |
|
|
||
В § 4 на траекториях гамильтоновой системы (51) наряду о |
|||||
параметром zf |
был введен новый параметр т . Система (51) мо |
||||
жет быть записана в виде |
|
|
|||
* |
|
' Г |
, |
|
(68) |
X (о) =/0j |
/>(о)= VS. (/о) |
|
|||
Лемма I . Пусть ^ „ - частное решение уравнения переноса, такое, что У ( о ни для одной траектории X
системы (68). Тогда его общее решение имеет вид
где функция <э постоянна вдоль траекторий системы (68). Доказательство. Уравнение (54) есть однородное линейное
уравнение первого порядна вдоль траекторий системы (68). Утве ние леммы следует из одномерности пространства решений линейн однородного уравнения первого порядка.
Лемма 2. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
£ = Р {хт) х = rxt/, |
xjt |
гс*т)= |
= МЪ&.-.ЖКУ) |
|
(б9) |
Пусть ее общее решение имеет |
вид |
|
У (Ко)j а |
£ |
( 7 0 ) |
Тогда имеет мест о*'формула |
|
|
2. J2J? =. о^гГГхг)/
- 130 -
Доказательство. Имеем равенство
эа, |
ЭЙ, |
|
|
|
|
э |
|
(72) |
|
|
|
Эй, Э4г |
Эй, |
|
|
|
|
7 |
то |
|
|
|
|
/ |
э<г™ |
(73) |
|
Подставляя (73) в (72) находим, что каждый детерминант в прав части (72) , в свою очередь, можно представить в виде суммы гаемых вида:
л.
|
Эй, |
|
|
|
|
|
Оif* |
|
|
|
№ |
|
Эй, |
|
|
|
|
|
Эй* |
|
|
|
|
Детерминанты (74) |
отличны от нуля лишь при £ -J |
и равны |
|||
в этом случае |
I |
• |
%У |
Лемма доказана. |
|
Mj/*=!/>(г,*) |
Я« |
|
|
||
Лемма 3. Если функция /* в (69) не зависитгаГ и |
|||||
дано (/>- ij параметрическое |
семейство |
решений (69) |
|
||
удовлетворяющее условию
- 131
то имеет место формула
|
Доказательство. Если функция |
не зависит от <Г и . |
||||||
выполнено условие (76), то общее решение системы (69) |
имеет в |
|||||||
Лемма сводится к предыдущей, если |
положить |
|
|
|||||
|
4 . - 4 |
^ = /...,/>-/ |
|
|
|
|||
|
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений |
|
||||||
|
aft,;= |
|
2 £ & ^ . |
> о/* |
= |
э* |
|
|
|
|
|
з/у |
|
|
(77) |
||
|
|
^ |
^ = */о; *Со) = о |
|
|
|||
Из леммы 3 следует, что якобиан |
= |
удовлетворяет |
||||||
уравнении |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
У |
7 |
/ |
* = Х(*.Г) |
. |
|
(78) |
|
|
Лемма 4. |
Функция |
-к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
является решением уравнения переноса. |
|
|
||||||
|
Доказательство. Без уменьшения общности будем предполагать, |
|||||||
410 |
£70 |
- |
Тогда |
|
|
|
|
|
\ - 132 -
\