Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 64
Скачиваний: 0
§ 3. Фундаментальное решение задачи Коши. Рассмотрим задачу
г/(о)~ <гб |
u'fo)=o |
(i9) |
Согласно формуле (5) ее решение имеет вид; .
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20) |
Рассмотрим функцию |
Z/. (t) |
. Из формулы (20) следует, что |
||||
J/^^J - <j^(£j¥ |
|
|
» где |
- некоторый ограничен |
||
ный оператор в |
IVПолучим интегральное представление дл |
|||||
оператора |
(£) |
|
. Пусть |
|
. Тогда |
|
- ]Ш*)](*-г)УЦг)</у9 |
|
. |
|
|||
где ^ |
- обобщенная функция из Vv£ |
h) « опреде |
||||
ляемая формулой |
|
|
|
|
|
|
(*s)* |
[ |
Р |
= |
|
е'">* |
|
Аналогично тому, как в предыдущей главе было получено разложе $ - функции на плоские водны, можно ъъщчтг следующее рав
жение функционала- |
^ ( ^ ) н а |
плоские волцг |
|
|
|
r-fi-t |
|
|
J |
- Ju5 - |
|
|
|
|
|
(Я) |
Ан&лоI*ичдо |
|
|
|
|
[и. |
- 1 (W*) |
- |
J / * - |
(22) |
где |
|
|
|
|
Складывая выражения для |
^ |
н ^ . , получаем: |
||
|
|
|
|
(24) |
Р где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(25) |
Из формулы (19), (24) следует, что J |
|
|||
|
$J0)= |
|
£ |
|
Ив формулы (19), (21), (23), (25) следует, |
что |
|||
|
(T'JO) = о |
|
||
Кроме того, функция фд |
удовлетворяет волновому уравнению. |
|||
Действительно, |
|
|
|
|
Вычисление |
второй производной функции |
дает: |
||
что и означает, что |
|
|
|
|
- Н6 =
4
Определение. Функция ^ называется фундаментальным решением волнового уравнения (нулевого порядка).
Задача. Доказать справедливость следующего представлений ра нения задачи Коши
|
|
|
(27) |
где |
|
|
|
|
|
|
(28) |
f<Tt, |
( * ) J ( X ) = J * * |
aPX) o/cJ |
(29) |
|
S"" |
|
|
Пользуясь формулами (24) и (27) , можно получить классические выражения для решения задачи Кош ( I ) , (2) в случаях ft= 1,2,3 Пуст> /? = 3. Тогда
Поотону |
JT 1ST |
• ° |
s~ |
- 117 -
Делая в последнем интеграле замену переменных - Я- 0 , убек даемоя в том, что <Я, (t) - <£_ (*) , так что
i о
S
Пусть <f£C(* ) имеем:
. Тогда, учитывая, что ,??0 |
, |
Пореждеи во внутренней интеграле к сферический координатах;
|
оо |
A* |
° |
оо
Сделаем вамену переменных |
Tt - f |
; |
получим: |
|
|
J/7- |
* ' r/x/J <f(x)o/x = |
J J, r |
( s |
- yj £(g)^.x> |
= |
saa что моано переписать равенство (31) в следувщеч виде:
£1 |
о |
(В2) |
Дедая в посведнек игаегреле замену перекенншс tf - S |
в ни* |
|
$бгрнруя на частян, |
приходив к формул? |
|
- Ш -
где SI ^ |
- двумерная сфера в £ 3 |
радяуоа с центром в нач |
не координат, о/л. - едевГ'Д площади на втой сфере. |
||
Задача. Получить следующее выражение для реиения задачи |
||
(26) при h |
= 3: |
|
Задача. Пуоть /7 = 2 . Получить следующую формулу для реи ния задачи Нови ( I ) , (2) о нулевой правой частью:
2. X
где |
- круг радиуса |
с |
с центрои з ючке |
X = |
fXt/z) |
|
Указание: При выводе |
формул |
(35) чо'ано использовать формулы |
||||
( 3 3 ) , ( 3 4 ) . |
|
|
|
|
|
|
Пусгь, |
наконец, /? |
= |
I . |
П е т и т е вычзслигь, |
что |
|
- 11.9 -
где |
Л л л _ / ' ' * 1 * > 0 |
|
|
[О при X*-О |
(38) |
Следовательно, справедлива следующая формула для решения дачи Коши о нулевой правой частью в одномерном случав:
формула (39) называется формулой Даламбара.
§ 4. Характеристики волнового уравнения
До сих пор основным объектом нашего исследования была Коши ( I ) , (2). Были установлены теоремы существования и еди ности ;ля решения задачи Коши, принадлежащего пространству Если U (t) - решение задачи Коши ( I ) , (2), принадлежащее ранству Ни f то функция
не обязательно будет дифференцируемой в классическом смыоле может, например, иметь разрывы или разрывные производные.
К понятию характеристик волнового уравнения можно придт
мощью следующей задачи. Требуется определить такую функцию
(не являющуюоя, вообще говоря, решением волнового уравнени
чтобы ревность 7)-(Xtt)- Ъ-о (Х,£) имела бы большую глад |
||
чем решение 1y0(Xt)^& |
задача имеет важное прикладное зна |
|
крона того, является более простой, чем исходная |
||
Примвр. Пуоть начальное уодовие (2-/) имеет вид |
||
[и(0)](к)=Ш(*-$о(*))1 |
- У(Х), |
|
- 120
причем, etc струнеC~f*«) |
и |
Функция /Г'Х (х))* имеет непрерывные производные до третьег
порядка включительно; четвертые производные этой функции терпят
разрыв на поверхности |
|
, задаваемой уравнением |
|
|
||||
Легко видеть, что <f€ |
W£ С&у . Пуоть второе начальное |
|||||||
условие будет нулевым: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2/ УО) •= о |
|
|
(43) |
||
Пуоть и№) |
- решение вадачи Кони ( I ) , |
( М ) , (43). Можно пок |
||||||
зать, |
что элемент г/ft) |
|
пространства |
являетоя функ |
||||
цией, |
бесконечно дифференцируемой в окрестности любой точки пр |
|||||||
ранотва /£ * |
, не лежащей на поверхностях |
/у ft) |
, |
опреде |
||||
ляемых соответственно уравнениями |
|
|
|
|||||
где функции |
А"± |
(*А) |
|
являются решениями следующих уравнен |
||||
Гамильтона-Якоби: |
|
|
|
|
|
|||
|
I |
F |
~ /Ч/= |
° |
|
|
|
|
Перейден к общему олучаю. Рассмотрим начальняе |
|
условия |
||||||
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi/foj](*) |
= РГх) сХ (r-S. СЮ) |
|
m |
||||
|
|
|
г*'(<>)= о |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
<*5) |
где Т |
- фиксированное число и функция ^ |
бесконечно диффе |
||||||
ренцируема в окрестности любой точки на вещественной прямой,кр нуля. Пусть <P£Cr(£h)^r(r)u jCuVS? предположим
- 121 -