Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 103
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
- 57 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пвимер. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a.1- H |
|
a -3ê |
g +г£ |
g*--et |
д~з§ |
а+я_ё._ |
|
|
|
||||||||
а^аі |
t ßc-ав |
2а |
'За,-Зс '('и -e/a-cj + zfa-ô) |
f 3(<*-с)~ |
|
|
|||||||||||
С разложение |
каждого |
знаменателя |
на мпожител.. пусть |
пояснит чи |
|||||||||||||
татель) „ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
' |
6(a.-è.)(a^) |
e(u-t)(&~e) |
|
|
6(a-è)(a-a) |
|
следствие |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теоремы Ю |
|||
, €fal- âcJ+fa-3£J- oÇa -cj >• 2fa - Bjfa f H) |
|
# |
i т |
е о |
р е м а |
E |
|||||||||||
Далее |
эта дробь монет |
быть упрощзна раскрытием скобок и приведе |
|||||||||||||||
нием подобных |
членов |
в числителе и, если возмехно, |
последующим |
||||||||||||||
разлояениеь: члелителя |
н? множители и сокращением полученной ал |
||||||||||||||||
гебраической |
дроби. Во всех проведенных |
преобразованиях |
следует |
||||||||||||||
учитывать область существования рациональных дробей, |
над которыми ' |
||||||||||||||||
выполняются преобразования. В рассматриваемом |
случае, |
очевидно, |
|||||||||||||||
данные дроби имеют Змь-сл при |
а*-& |
к Л*& . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Таким образом, доказанных |
выше |
предлокений достаточно для |
|
|||||||||||||
выполнения |
преибразозанпк произведения, |
суммы и частного |
алгеб |
||||||||||||||
раических |
дробей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4. |
О других |
преобразованиях |
с алгебраическими |
дробями, |
|
|||||||||||
|
а) |
Не следует |
забывать, что законы арифметических |
действий |
|||||||||||||
применяются не только |
при доказательстве |
теорем о |
преобразова |
||||||||||||||
ниях алгебраически;, дробей ( |
см, например, |
теорему |
10). Так же |
||||||||||||||
как и при выполнении |
преобразований |
целых |
рациональных |
выражений, |
|||||||||||||
коммутативные, ассоциа.йвныѳ |
и дистрибутивный |
законы |
часто облег |
||||||||||||||
чают преобразования с рациональными дробями. Поэтому надо быть |
|||||||||||||||||
внимательными и применять эти законы там, где они облегчают |
|
||||||||||||||||
преобразования ( выкладки). Низке приводятся примеры применения |
|||||||||||||||||
законов действий к преобразованиям с рациональными |
дробями. |
|
|||||||||||||||
и |
e+cL |
cet |
|
' e-i-ct ~ tra |
~ е-сс |
|
|
коммутативность |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сложения |
|
|
|||
t+x |
t-x |
ce |
td. |
e •*•<*•/ |
C-CL |
J J
ассоциативность
сложения
|
|
- 58' - |
|
|
• X |
e+x-ct X. |
e-d |
|
|
||
C+cL |
|
C-ci |
2x |
|
|
01-cL |
c-ti. |
|
fc+d)(c-dj |
|
(c+cL)(c-cL} |
Zx(c-d) -x(c-hcL)
(ûtdj/c-dj
Zxc - Zxd. - xc -xd.
(c+d}(e-a)
ZXC -Xf. - ZoccL -xd (c + d)(c-d)
xc - iocd (ei-d)(c-cL)
x(c-id)
т.
2) пх t т.п. л * m m t тл т. 2 f
m. |
|
|
m- |
|
|
|
|
n- Ся » m) |
п+т. |
иг(Л+ml |
|
At |
- I f |
— |
|
* |
m |
|
|
/1+ nu ( |
m. |
|
a. |
|
|
|
|
теорема 12
дистрибутивный закон
приведение подобных чле нов
следствие 2 теоремы 10
теорема 12
дистрибутивный закон
коммутативность сложения
приведение подобных чле нов
дистрибутивный закон, те ope г/я 6.
коммутативный и дистри бутивный 3PK0HL
дистрибутивность
следствие 2 теорема 10,
Оговорка |
m Р п- |
следует из того, что сокращение возмож |
|||
но лишь на выражение, |
отличное от 0. Поэтому необходимо исключить |
||||
случаи |
Z + |
|
|
о . |
|
п. |
|
m • |
|
|
|
но -"--г** |
|
-г |
следствие 2 теоремы 10 |
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
59 |
- |
|
|
|
|
|
m t- |
Zma |
*• ri1 |
|
|
|
|
|
( |
теорема |
12 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m / t |
.• |
|
|
|
|
|
|
( |
теорема |
4 |
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
ГУѴФ |
п. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) Часто умножение числителя и знаменателя алгебр?'*ческой |
|||||||||||||
дроби на число или выражение, |
отличное |
от нуля, |
значительно упро |
||||||||||
щает вцкладки. Так, не сразу бросается |
в глава, |
что дробь |
|
||||||||||
9х * бхр> * рг |
|
легко |
сокращается. Умножение se |
ее |
числите- |
||||||||
ля и знаменателя |
на S позволяет быстро |
сократить эту дробь, запи- * |
|||||||||||
сать ее в виде |
многочлена: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5(9xz+6xp+ p*J _ З(3х+Р)я |
_ |
теорема |
5 |
|
|
||||||||
3(х+ |
і) |
|
|
Зх+Р |
|
ди стриб утивность |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следствие |
о |
сокращении |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
алгебраической дроби |
||||
= Ûx + Зр- |
|
|
|
|
|
|
|
ди стрибутивность |
|||||
в) Иногда значительно упрощаются преобразования, |
если |
приманить |
|||||||||||
функциональна |
подстановку. Пример: |
|
|
|
|
|
|||||||
X* |
і |
x*t2x+4 |
' |
оси |
I ХНІ |
теорема |
5 (к |
знаменателю) |
|||||
и следствие 4 теоремы 10. |
|||||||||||||
Обозначив |
-T~TJ~~ |
H, имеем |
|
по теореме 5 |
|||||||||
Вернувшись к старым |
обозначениям, получаем (j+ |
~xf •/ J |
|
|
|||||||||
« (Hi. |
+ _ 2 _ ) г= |
Ы + |
* |
) |
\ |
|теорема 12 |
|
|
|||||
- f w / - |
|
|
|
|
|
|
приведение,подобных |
||||||
|
|
|
|
|
|
одночленов |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Глава Ш. |
СТПЕНИ С РАЦШГШЬНЫМЙ ПОКАЗАТЕЛЯМИ, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. |
|
|
|
|
|
||||
Глава третья имеет свое£ целью определить 'степени с нулевым, |
|||||||||||||
отрицательным и дробным |
показателями, |
распространить |
на новые по |
||||||||||
нятия |
свойства |
степеней |
с натуральными |
показателями, |
рассмотреть |
||||||||
-60 -
простейшие преобразования со степенями, имеющими рациональные показатели.
|
В этой главе |
приняты |
следующие |
обозначения |
J\f |
- |
множество |
|||||||||||||||||||
всех положительных целых ( натуральных) |
чисел; |
^ |
|
- |
множество |
|||||||||||||||||||||
всех отрицательных |
целых |
чисел; |
Q* - |
множество |
|
всех |
положитель |
|||||||||||||||||||
ных рациональных чисел ( все натуральные числа |
и |
все |
положитель |
|||||||||||||||||||||||
ные дроби); |
|
Q |
|
|
- |
множество |
всех |
отрицательных |
рациональных чи |
|||||||||||||||||
сел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ç |
I . Степени |
с |
целыми |
|
показателями, |
их |
|
преобразования. |
|
|
|||||||||||||||
|
I . |
Степень |
с |
нулевым |
показателем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
В главе |
П ( |
§ |
|
3, |
п.2) |
|
установлено, |
что |
при |
т>п. |
и |
А У О |
|||||||||||||
(meß/ |
|
к |
ru&ß/ |
|
) |
справедливо |
утверждение Л ! |
|
Л - т |
|
|
, |
|
|||||||||||||
Чтобы это утверждение было справедливым |
и |
при |
m |
|
• /г> , |
|
необходи- |
|||||||||||||||||||
мо ввести следующее определение степени с нулевым показателем: |
||||||||||||||||||||||||||
|
Определение: Есл" |
Cit |
О |
|
, |
тс |
л'- |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Следствие: т . к . |
а |
т |
|
, |
|
. |
|
|
|
|
. |
|
|
т.-т. |
е |
* "1 ,то |
|||||||||
|
—— = / |
и С по определению) |
|
<Х- |
* ос |
|
||||||||||||||||||||
по |
свойству |
транзитивности |
равенств |
і~ = |
ctn |
т |
|
• |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Нетрудно установить, |
что |
теоремы |
1,2,3 |
справедливы |
к для |
степени |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
нулевым |
показателем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
ат- |
ас |
= ат- |
і - ат - а т г 0 |
|
|
|
|
|
(аксиома б ) . Аналогично |
||||||||||||||||
|
а |
а |
= а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) ( ' й " , ^ i ' - ' / = û 0 • - ü л " , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(аксиома |
7 ) . |
|
|
|
|||||||||||||
|
' л 7 |
= / ' 1--CI - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Так устано^ена |
сгргведлизостьѵгеорем |
I |
и |
2 |
для |
степеней |
|||||||||||||||||||
с нулевым показателем. Теорема же 3 для |
этого |
случая |
есть |
простое |
||||||||||||||||||||||
седствяе двух только что рассмотрен* -х предложений. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Итак, |
со |
степенью с |
нулевым |
показателем |
можно |
оперировать |
|||||||||||||||||||
тсѵно |
так |
же, |
как |
и |
со |
степенями |
с |
натуральными |
показателями. |
|||||||||||||||||