Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 101

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-

52 -

 

Таким образом, отличив алгебраической дроби

от рациональной

по принятым определениям

заключается в том, что

многочлены, кото­

рые можно считать частным случаем рациональных дробей, к алгебра­

ическим дробям

отнесены иыть

не могут. В связи с этим можно ига-

че )пределить

алгебррическую

дробь:

Определение 2. Алгебраической дробью называется частное двух целых рациональных выражений, делитель которого содержит перемен­

ное в степени не ниже

первой

и

не равен

0.

 

 

 

 

Впредь алгебраические

дроби

будут

обозначаться

 

» где

 

в+О , Ci Y в

-

целые .рациональные

выражения.

 

 

 

Определение.

 

Две

алгебраические дроби

и

~jr

называют­

ся равными,

если

 

выполняется

следующее

соотношение:

асі^

8с

,

х М ж + У

( * • " ) *

 

. Действительно,

 

 

 

Например, —

 

fj—••

x*_x

 

 

 

 

 

(х V Z * ч ) ( х

2- *) = (X+і)

г(* z

х) '

теорема

5

 

 

 

(х2-хУ*+-/)*

 

 

=

 

 

 

 

коммутативность умножения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

диет риб утивно ст ь .

 

 

В частности

 

 

 

' "

самом деле,

а-О. S

(аксиома

8) .

 

2. Преобразования произведения и частного алгебраических

 

дробей в одну алгебраическую дробь.

 

 

 

 

 

 

Для доказательства последующих теорем потребуется такое

 

вспомогательное

утверждение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

9.

а

-

• ê

. •

 

 

a

et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство:

Очевидно

тождество g~~'jf~

• 0 т с и Д а п о

делению деления

а -

• $

, что и требовалось доказать.

Теореыа

9 применяется

при доказательстве

теоремы 10.

Теорема

1С.

A . Ü - _ - i i £

І*о,сі*0

 

опре­

°

е

І CL gel >

Доказательство?

По определению деления должно бы выполняться равенство

- 53

-

 

л Л - А IL.U* Оно действительно

выполняется, т . к

 

 

коммутативность

умножения

 

аосоциатчвносіь

умножения

 

теорема 9

 

- 5

е

 

Г,

etc

 

 

а

е

 

*• с д а Д ° т : в и е

оимметричнооти

равенств.

Следствие

 

 

 

 

~сі

Следствие

2.

( 0

сокращении

алгебраических

дробей),

 

ас

а

а

 

 

 

 

 

 

 

 

следствий I

 

 

ее

&

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а.

 

 

 

 

следствие из определения равенства алгеб­

 

 

 

 

 

 

раических

дробей

 

 

 

 

CL

 

 

 

 

аксиома

Ѳ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бедствие

S.

Теорема

IQ

 

справедлива

для любого

конечного

числа

множителей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие

4.

~

 

- лл'л,

 

если т,л,£#,

 

и

а*О.

Действительно,

ит*

 

а*~* а

*" ( теорема

I ) . Тогда

 

 

 

'

—ТГп-

'

Ä

 

 

 

 

 

согласно

олѳдотвию

2.

 

 

 

 

 

/а.

і *

a

t

 

 

 

 

 

 

 

Следствие

5.

(jy

 

х

-JT

. Доказательство очевидно.

 

Можно доказать

С по индукции)

и

справедливость

равенства

 

(ІУ г

д

л

 

я

 

 

Л И

О О г 0

натурального

,

 

 

Следствие

б.

j

-

a » ^ .

 

 

 

 

 

Замечание

I . Следствие

2 можно' применять к

сокращению

алге­

браических дробей илько в том случае, когда числитель и знамена­ тель сокращаемой дроби разложены на множители. И сокращать мож­

но только на множители,

на которые разлагаются

числитель

и энаме-

натѳль. Так, сокращение

алгебраической

дроби

~j^^JJ^

—^—

„правомочно при хФ-і .

Длгебраичеокую

дробь

 

нельвя

сократить на Сс , т . к . CL не является множителем в разложении знаменателя ( знаменатель этой дроби неприводим). Иными словами, знаменатель нельзя представить в виде произведения, одним из

-.54 -

множителей которого было бы выражение СО.

Замечание '2;-' Нельзя производить сокращение алгебраической дроби и на множитель, равный О С или алгебраическое выражение,

обращающееся в нуль при ьекоторых значениях переменных). При сок­

ращении на алгебраическое выражение поэтому бедует

указывать,

при каких значепях переменной можно (или гзльзя)

выполнить

сок­

ращение.

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

~j^^pr-=

ä+6 ^?"

a + htO ,т . ѳ

при

А* - *»

 

Замечание

3. Следствие второе

применяется

не

только к

сок­

ращению алге'раических

дробей, ко и к "расширению"

 

их. Дело

в том,

что во многих случаях приходится умножать числитель и знаменатель

алгебраичечкой

дроби на одно

 

и то же вараже ;ие ( отличное от ну­

л я ) .

Например,

 

^VS^^f!'

=-

(следствие

2 теоремы

10

 

 

 

Z

 

 

 

 

определение

степени в ч/олителе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гг-Ч

 

 

 

 

 

и теорема б в знамеш-іеле.

 

Теоремл

I I .

- £ - -- ~

,

(&*•<>, е-О, ci *

о)

 

 

Доказательство.

По определению деленик

должно

бп б ы ь

 

 

7s "" § г

* Гі-

 

«Но это действительно

так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теоро-ма

10

 

 

 

 

 

Sc

'et

 

 

 

 

 

 

 

~éc<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ассоциативность умножения в числителе и знамена­

" S

fed)

 

 

 

теле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

&(cai

-

 

 

Коммутативность

умножения

в

чиил.ітеле

 

~ J(cä) '

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

следствие

2 теоремы

10.

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры применения доказанных

теорем

 

 

 

 

 

I )

 

 

 

 

 

 

 

Ci,

~ 2(m-Kj.

fad

следствие 3

 

 

 

 

 

 

 

 

теоремы 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(т+п)(гп-п)

6л (т -к)

 

 

 

S/n+ic, т. * о, a * о) .

 

 

 

коммутативность

умн-жения

 

т. • (-а. ( m -rz)

 

 

 

 

 

 

 

многочлеиов

 

 

(mrn )(іъ,-п)[Ça

(п-с)]

 

 

 

ассоциативность

умножения

 

m ßa,

(ni

- *) ].

 

 

 

многочленов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S3 -

rn.

 

схг- За*

fa*-3x)-3fa _

-/äx

а*-Зах.

•І2х(аг-3ах)~

х- [M fa >-За*) J

- *a<

(-5)4*

(

'2f4"M'a'

34Q,lêx[3''25a.ei*]

±

3 V *

емдотвие 2 теорэмы 10

творена 6.

теорема I I

коммутативность и ассо­ циативность умножения

следствие 2 теоремы 10

( а.* О ,а ~Jz.)

следствие ч теоремы 10

теорема 8

теорема 10

теорема I, ассоциативность

и коммутативность умножения.

следствие 2 теоремы 10

( at О , в+û )

3. Проеобразование

суммы алгебраических дробей в одну

алгебраическую

дробь.

 

 

Теорема 12.

* f - к

Jt

>

 

 

Доказательство. I ) По дистрибутивному закону умножения по от ­ ношению к сложению можно вынести за скобки множитель -^- :

jer

je

,с к i"-TVT*-J-

 

^

,

по следствию

к теореме Ю.

2) Можно доказать эту теорему

умножением

обеих частей

доказыва-

%мого

равенства

на k '

f•%•+•$• +Ц^-) • t

= ft.*^*6

по

свойству

 

 

 

 

I *С .

К-

1С /

£

 

 

равенств

Гвелис.а. ~ê, то Ож = &сt

к-1о).

 

 

( к.

к,

ю J

>с

к. 'Кі'Лс",с

~ J дистрибутивность

sCLtêrâ

•

(трехкратное

применение

терремы 9.

 

Правая часть равенства преобразуется на основании теоремы 9:

—+-

• le - a , êV e

. Такии образом,

правая я левая частя

равенства

тождественна,

что к являвтоя доказательством

теоремы.

Следствие} теорема

справедлива для любого натурального числа

слагаемых.

 

 

 

 

 

Примечание. Поскольку

я

лг

- много члени,

то речь в

этой теореме идет об алгебраической

оуммѳ рациональных

дробаі.

Следовательно, теорему 6 разности алгебраических дробей специаль­

но рассматривать

не надо»

 

 

 

Пример:

 

 

,

 

 

р+і p-Z

З.р+5

рч*(р-г)-(2р+з).

I

•

f^tJ=r--p-=T=

 

\ — | т в о р в м а Е .

P+4+P-Z-ZP-5

ассоциативность

сложения и дистри­

 

р~4

 

бутивность

 

 

 

 

 

 

 

р+р

Лр+4-г~г

коммутативность

сложения

 

 

M

 

приведение подобных членов в числи­

р-1

 

 

теле.

 

 

Доказанная теорема дает возможность .преобразовать в одну дробь сумму алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями; Чтобы применять эту теорему к преобразованию алгебраической сум­ мы рациональных дробей с различным! знаменателями достаточно преобразовать каждое из слагаемых так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это очевидный факт,- не требующий доказательства. Таким образом, чтобы преобразовать сумму алгебраических дробей с

различными знаменателями в одлу тождественную этой сумме алгебраи­ ческую дробь, достаточно прежде применять к слагаемым суммы след­ ствие 2 теоремы 10, a заіем уже теорему 12. 8 этих целях часто бы­ вает необходимо знаменателя слагаемых предварительно разложить на множители.

Смотрите также файлы