Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 0
Г |
"I |
|
- ад |
- |
|
|
|
|||
|
fla?; |
|
%(х) |
|
_-9(х)9,(х). |
|
определение |
умножения |
||
[0(XJ |
' ад/Г |
OA) |
' |
Q(x)Q,(xJ ' |
Qfx]* |
|||||
определение |
умножения |
|||||||||
' |
[Qtxj-QJ*)] |
Qz(x) |
' |
|
|
|
||||
|
|
|
ассоциативность умноже |
|||||||
, |
Wx)№(x)- |
%(*)] |
. |
|
|
|
||||
|
0(x)[QJx)- |
Oz(xJ] |
' |
|
|
|
ния многочленов |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1/(x) ' |
Q<(z) • Qt(x) ' |
ON] |
QJx) ' QJxj\ |
определение |
умножения |
||||
|
рационаді чых |
дробей |
||||||||
5) Дистрибутивность |
умноже ;ия рациональных дробей относительно |
|||||||||
|
сложения их. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
9(х) |
fyxll |
% (*) |
ÇWQfy+WM |
fjz) |
определение |
сложения |
|||
\0(xj |
* Q,(x)\' Q^x)" |
|
6MsjQ,(x)'qq'^ |
рациональных |
дробей |
|||||
l?(x) Qjtyt |
Q(xj fi (X)] % |
|
|
[GM |
Qbfl&W |
|
|
[9(x)Q, (zj]f„ (x) + [Q(x) 9, fxj] |
9X (x}_ |
||
Q(x)01(x)Oi(x) |
|
||
f(x)Qi(x)P^x) |
<?(х№(х)С>г(х) |
||
Q(x) 0,(x) |
Qz(x) |
O(x) Q7(x) q |
fx) ' |
9(x)%(x)Ç,(x) + 9t(x)%{xJ0fx) QMQityQH OffxjQtxjOfx)
Q(x)Qt(x! OJxjQz(x)~
9(x) <?Ф) 9jfxJ
Q(x) Gi(x) Q,(x) Q2(x).
!огределение умножения рац-іональнкх дробей
дистрибутивность в коль це многочленов
опоеделение сложения рацион?чьных дообей
\частный случай;
коммутативность умножения многочле"ов
теорема С стр.ч5)
определение умножения рацион-упннх дробей
Аналогично доказывается левый дистрибутивный за.;он. |
|
|
||||||||
Противоположной |
для |
ЯВВЛЛІІ..ЗЗТТС Я |
рациональная дробь |
- — ' - |
||||||
|
|
|
Д Л Я |
|
|
|
О(х) |
|||
т . к . |
9(х) |
Пх) |
Ç%x}-№)'-- О |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
QM |
G(x) |
Q(x) |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, рациональные дроби образуют кольцо. Роль нуля играет |
||||||||||
дробь |
— ~ |
, роль единицы играет дробь |
- — ^ |
Остается |
уста |
|||||
|
С 'x) |
|
|
|
|
|
<f(x) |
|
|
|
ноэить |
существование |
обратного |
элемента |
для - в у |
и |
тогда |
||||
будет |
доказано, |
что множество |
|
|
0(\ |
|
|
поле |
||
рационально: дрссо(! образует |
||||||||||
( см.§ I гл . |
I ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обратной для |
-757^] |
|
можно очитать |
рациональную дробь |
|
||||||||||||
Ä |
|
воли |
Çfxfît |
|
. Действительно |
Ш . |
|
m |
|
|
|
||||||
?(*;J2I?J • Последняя дообь |
есть единица. Введение |
обратного |
эле- |
|
|||||||||||||
W*)G(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
мента равносильно однозначному определению деления (. кроме деле |
|
||||||||||||||||
ния на нуль, т . к . |
Ф(я.)*0 |
и |
Q |
О |
) . |
Итак, |
|
множество |
ра |
|
|||||||
циональных дробей |
образует |
поле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
§ |
2. |
Основные |
предложения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I . Дробные алгебраические выражения, даже самые простые, |
ста |
||||||||||||||||
новятся при некоторых значениях входящих в них переменных бес |
|
||||||||||||||||
смысленными. Действительно, |
из аксиомы 7 0'Cl-Ct- |
О - О |
сле |
|
|||||||||||||
дует, |
что |
на |
нуль |
делить нельзя! |
В самом деле, если |
О* Л = О> |
, |
||||||||||
ірч любых |
ЧИСЛОЕЫХ |
значениях |
Cl- |
, то |
запись |
-^- |
|
( п о |
определе |
||||||||
нию деления), |
не |
имеет |
числового |
смысла. Именно поэтому |
дробное |
|
|||||||||||
выражение |
-— |
|
не |
имеет смысла |
при |
& = О. |
. Из |
О-&-О |
следует, |
|
|||||||
что |
О-at |
в |
» где |
of |
О, |
- |
Но это |
значит, |
что иа |
нуль нельзя |
|
||||||
делить и любое |
отличное |
от |
нуля число. Так, дробное выражение |
|
|||||||||||||
-^-j |
не |
имеет |
смысла |
при |
X-Z |
. Иначе говоря, |
любое |
дробное |
|
||||||||
рациональное выражение не имеет смысла при тех значениях перемен
ной, при |
которых знаменатель ( делитель) |
его |
обращается |
в нудь. |
|
В связи с этим необходимо изменить определение понятия "тож- |
|||||
дество", |
т.к.,например, равенство |
~ rct |
не |
является |
тождеством |
согласно |
принятому в § 2 главы I |
определению |
тождества. |
||
Поэтому дл? дробных рациональных выражений требуется уже иное определение тождества,
а Определение. Два дробно-рациональных выражения называются тождественными, если их значения совпадают при всех одинаковых наборах значений входящих в них переменных, за исключением тех значений переменных, при которых хотя бы одно из выражений теряет смысл.
-50 -
При выполнении тождественных преобразований дробно-рациональ ных выражѳнгй надо указывать множество значений входящих в них переменных, при которых допуотимы выполняемые гіреобразоваяия,или Свели ѳто проще) множество тех значений входящих в выражения пе ременных, при которых выполнять преобразования нельзя. При этом ясе значения переменных, при которых возмож.ю выполнять обозначен ные действия ( не приходитоя делить на нуль), называются допусти мыми;
2. Возможны различные определен.ія понятия "алгебраическая дробь". Можнѵ, определить алгебраическую дробь так, как была опре делена рациональная дробь в предыдущем параграфе. Тогда многочленчаотный Сличай алгебраической дроби (оо знаменателем I) . -
Многие авторы опрег.еляют алгебраическую дробь таким образом,
«по многочлены |
уже не рассматриваются, как |
частный |
случгй алге |
||
браической дроби. При этом обязательно знаменатель |
алгебраической |
||||
дроби должьн содержать переменное; Последнее |
определение |
позволяет |
|||
строже дифференцировать понятиг " многочлен" и "алгебраическая |
|||||
дробь", |
поэтому |
в школьном курсе такое определение |
оправдано мето |
||
дически. Такое определение и сформулировано в |
§ 8. |
|
|
||
8. |
Возможны |
по меньшей мере два подхода |
к изложению |
преобра |
|
зований с алгебраическими дробями. Один из них аналогичен доказа тельству того, что рациональные дроби образуют поле (см. § I этой главы): операции сложения и умножения вводятся по определению, затем доказываются их свойства ( выполнимость законов операций), вводятся обратные операции. Второй подход состоит в следующем: законы арифметических операций постулируются ( что уже былЪ сде лано г гл 1), доказываются теоремы об арифметических операциях над алгебраическими дробями. Оба эти варианта допустимы в школе. Но поскольку в главе I уже были постулированы законы умножения и слокенит, в дальнейшем будет осуществляться второй вариант.
Так не будет нарушено единство изложения и- в то же время соблю
дена необходимая |
строгость |
его. |
|
|
|
|
|
В отличие |
от обыкновенных дробей, так наэываемое"основное" |
||||
свойство дроби не |
является основные для алгебраических дробей, |
|||||
В школьном, курсе |
едва ли целесообразно рассматривать отдельно опе |
|||||
рации |
сложения и |
вычитания дробей, т . к . учащиеся уже |
знакомы |
с |
||
понятием алгебраической суммы. Следует изучать преобразование |
сум |
|||||
мы алгебраических |
дробей в одну дробь и обратное ему преобразование |
|||||
алгебраической дроби в сумму алгебраических дробей (еоли это |
воз |
|||||
можно). Не целесообразно противопоставлять таісэ умножение и |
д е |
|||||
ление алгебраических дробей, лучше деление на дробь |
рассматривать |
|||||
как умножение на |
обратную дробь. |
|
|
|
||
§ |
3. Алгебраические дроби и преобразования о |
ними. |
|
|||
I . |
Определение алгебраической дроби. |
|
|
|
||
Йз дробных рациональных |
выражений выделяются |
те, |
в которых |
|||
имеется лишь одна операция деление,-Часто эта операция бывает пос ледней по порядку. Такие дробные алгебраические выражения назы -
веются |
алгебраическими |
дробями. |
|
|
|
|
Определение |
Т. Дробное рациональное |
алгебраическое выражение, |
||||
в котором обозначена лишь одна операция деления, и эта операция |
|
|||||
пойидняя по порядку,называется алгебраической дробью. |
|
|||||
Примеры алгебраических дробей: |
\ тг~г ; |
—Ч |
І |
|||
Clé |
-ZS6plK% |
. -% |
. _ . |
|
|
, |
: |
£ — „ • |
. Дробные рациональные выражения |
||||
»алгебраическими дробями считать нельзя: в первом из
них деление не является последней по порядку операцией, а во втором операция деления не единственная. Нельзя отнести к алгеб
раическим |
дробям и выражение - |
- *<І-~5Ж-. |
т > к < п о определению |
2 § 2 г л . |
І это выражение целое |
( делитель |
не содержит переменного). |