Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf

- 25 -

одночлены всегда можно

привести

к каноническому виду.

По определению ê+t

+ d

есть многочлен,

а(£'+

d) _

произведение одночлена

Л- и многочлена е*-с?сС

.

Применяя

умножения

спргведлива по отношению н сложению

любого

натурально­

го числа

слагаемых, то и многочлен

в скобках

ыожес содержать не

только 3,

но и 2,4,5,6 и т . д . любое

натуральное число

слагаемых-

одночленов. Одночлен же перед

скобками

может

как содержать пере­

менные множиіеди, так и быть постоянным.

Например: I ) 15(лЧ+л*1)*

Zïa4

+г5а$\

- Зх

г

-

-zzyx і г ху/•/;/•

дистрибутивность (раскрытие скобок

в произведении одночлена и много­

члена)

-

26

-

<- Хл,3,і-

ftr-/*

э-ъ-3и -h У ЖІЛ (приведение одночленов к ханоничѳс-

-ЭЬУ

~

$

g

іѵ01<:у виду

добных одночленов ссылкой

на дистрибутивность, а приведение

од­

ночленов

к канекичзскому виду - ссылжой на коммутативность

и ас ­

социативность уинонекия, теорему I и определение умножения рацио­

нальных

чисел.

2. Раскрытие скобок в сумме и разности многочленов.

Пусть даны многочлены

a,tê> + c

и х+у

+ р

.

Здесь

выбраны

многочлены из трех

слагаемых -

одночленов,

хотя

число

(но конечно . ! ) .

fcc + ê+c

) -г fx

TJ/rpJ

.-

сумма двух

многочленов,

(а + егс)

-

fx

+jp тр)

-

разность двух многочленов.

В первом случае скобки раскрываются применением ассоциатив­

ного закона:

(cti-êrc)t(xt^

t-p)

=

= Cltêi-C

t{х+утр>)

-

определение суммы нескольких

слагаемых

- fc + êi-О

І-хт^т

р

ассоциативность

сложения.

Во втором

случае (в

разности многочленов) первые

скобки, в

ления

сложения

нескольких слагаемых, скобки же,

в которые заклю­

чено

вычитаемое

(перед

которыми стоит знак ( - )),

раскрываются по

дистрибутивному закону (множитель перед скобками - I ) :

(а,+е+с)-(х+у

+р) •

« CL+ê-rC ~ (х+у'tр)

»

[определение слЬкения несюзлыкх слагаемых

-

28

-

* йх + йх + схч-сш+ви-+сфар>&>*сА трехкратное

применение дистрибу-

- ^ t ^ r ^ + ^ / r p y t ^

uf

Т Т\ тивности..

ассоциативность.

Легко

заметить,

что последняя

сумма составлена из

произведений

каждого слагаемого

первого многочлена на каждое слагаемое

второ­

го

многочлена. Так і: должно быть,

потому

что, применяя первый

раз

дистрибутивный

закон, находили произведения первого многочле­

на на каждый одночлен

второго; второе применение

дистрибутивного.:

закона дало

нам произведения

каждого члена первого многочлена на

каждый член

второго;

аналогично,

в третий и четвертый раз приме­

нение

дистрибутивного

закона

дало

в результате произведения каж­

дого

члена первого

многочлена

соответственно на второй и

третий

члены второго многочлена. Итак, доказана теорема 4: Произведение

двух

многочленов

есть

многочлен,

члены которого есть произведе­

ния каждого

члена

первого многочлена на каждый член второго.

Теорема

справедлива для произведения

любых двух многочленов.

Пример.

(ф

ЫЧ-fai*-

3i*)(fa

- Н)~

, a*, fa і-гаЧ-f*

-Saé*-fa

-Ъ$*-$а + а*(-

4B)tZcizêHê}-faêi-iih

-3ês{-4&)*

теорема 4

- Зач+ №3ё- ZSalêl- 13а $*- Ч&ЧФ f±20al4tè

'приведение одночлена

к простейшему

виду

приведение многочлена

ж простейшему

виду

Таким образом, после

раскрытия скобок в произведении

двух

многочленов

часто

бывает нужно упростить полученный многочлен,

т , е .

привести его х простейшему (а ѳце лучше х каноническому)

виду. Время от времени полезно при атом остаться

на основные

предложения, т . е . обосновывать выполненные преобразования осад­

кой на основные

аксиомы и определения. Так, в последнем примера