Файл: Зенова, Е. Ф. Статика учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 90

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ложить (для заданных углов

а и р) силу Я=116 кГ;

при

этом силы реакции цилиндрических шарниров А и В будут

/?Лл.=26,4 кГ;

Я,и = 95,5

кГ;

 

Rbx= —12,5 кГ;

Roz—12,5 кГ.

 

Отрицательный знак у R Bx означает, что составляющая

силы

реакции цилиндрического шарнира В в действительности

(для

данной системы сил) будет направлена

в сторону, противо­

положную положительному направлению

оси Ах.

 

Г Л А В А IV

НЕУРАВНОВЕШЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

В этой главе рассматривается вторая задача статики — замена системы сил, приложенных к твердому телу, другой, более простой системой, ей эквивалентной. Простейшими неуравновешенными системами сил являются: 1) равнодейст­ вующая сила; 2) пара сил; 3) динама.

§ 1. Необходимые и достаточные условия эквивалентности систем сил

Теорема. Для того чтобы две системы сил, приложенные по отдельности к одному и тому же твердому телу, были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы их характе­ ристические величины, построенные при какой-либо точке, были соответственно равны:

 

Fp — F p L P= Lp .

 

 

(20)

В равенствах (20) FP,

LP— главный

вектор

и

главный

моментотносительно полюса Р системы сил (Fь

F2, ..., Fn) ,

a_FP',

Lp' — соответствующие

величины

системы

сил (F/,

Fz ’, ...

, Fm') , приложенных

к

одному и

тому же

твердому

телу. Сформулированная теорема может быть принята без доказательства *, ибо из определения характеристических

величин системы сил и определения эквивалентных систем сил условия (20) очевидны.

* Доказательство теоремы дано в кн.: Б. Н. Окунев. «Статика».

ЛМИ, 1956.

64

§2. Равнодействующая системы сил, приложенных

ктвердому телу

Система сил (F\, F........ Fn), приложенных' к твердому телу, имеет равнодействующую 5, если ее механическое

действие на твердое тело будет таким же, как.и силы 5. Условия существования равнодействующей системы сил

определяются следующей теоремой: для того чтобы система сил, приложенных к твердому телу, имела равнодействую­ щую, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил был отличен от нуля, а характеристическое про­

изведение равнялось нулю

 

 

 

? ф 0; Н = 0

или

/-мин3 -~г = 0.

(21)

 

 

 

Г

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Необходимость. Пусть 5 — равно­

действующая системы

сил

{Fu

F2, ....., Fn) ,

приложенной

к твердому телу. Докажем, что тогда главный вектор я характеристическое произведение этой системы сил удовлет­ воряют условиям (21).

Действительно, если S — равнодействующая системы сил, то из ее определения следует, что она эквивалентна данной системе сил. Вычислим характеристические величины системы

сил в произвольной точке Р. Для системы сил

(Fu F%,... ,F„)

главный

вектор

_

П

__

 

момент

_

F.р =

2

(Fj)P; главный

ЬР =

П. _

_

 

jM

 

 

 

_

 

= S'M P(FA; для системы, состоящей из одной силы S, глав-.

ный вектор SP= (S )P; главный момент MP(S),

 

 

 

Составим условия

эквивалентности

системы

сил

{F\,

F2, ..., Fn) и силы S

 

 

 

 

 

 

 

 

FP = SP\

LP=MP(S).

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

Первое

из этих

условий дает FP — F ^ 0,

так

как

S сущест­

вует и, следовательно, отлична от нуля. Характеристическое произведение данной системы сил

Н = (FP-LP) = (SP-MP(S)) =0, т,ак. как, SP ± MP(S).

Необходимость условий (21)Г доказана.

вели­

Достаточность. Нам Дано, что характеристические

чины

системы сил (Fl\ F2,'... ,ДП) удовлетворяют

уело-

5 Зак.

56

65

иию (21). Нужно доказать, что тогда эта система сил имеет

равнодействующую S.

характеристического

произведения

Равенство

нулю

(# = 0)

при не

равном нулю

главном векторе (РфО)

воз­

можно в следующих случаях:

1) LP = 0; 2)

ЬРФ 0, LPL F P.

Рассмотрим каждый из них.

 

 

 

1)

РРф 0;

LP = 0 — это

означает, что действие систем

сил на

твердое

тело

определяется только

одной силой

FP,

которая

(по определению равнодействующей)

и является

в данном

случае

равнодействующей

S = FP, а

точка

Р твер­

дого тела — точкай ее приложения (рис. 41,а).

 

 

 

2)

РРф 0;

ЬРф 0; LP± F P (рис.

41,6),

но тогда Ьмт=

и, следовательно,

в _твердом_ теле

 

лпэжно

найти

такую

точку D,

в

которой РВ=РР^ Р Ф 0,

a

LD= 0.

На

основании

предыдущего

можно утверждать, что система сил

{Fi, F?,.. ■

. . . ,Рп)

имеет

равнодействующую

S — FD,

приложенную

к твердому телу в точке D.

 

плоской

и параллель­

С л е д с т в и я .

1.

Для сходящейся,

ной системы сил условие неравенства нулю главного вектора

{РРф 0) является необходимым и достаточным, для сущест­ вования равнодействующей.

2. Если система сил имеет равнодействующую, то момен равнодействующей данной системы сил относительно любого полюса равен геометрической сумме моментов сил, состав-

66

ляющнх систему относительно того же полюса (теорема

Варнньоиа) MP(S) = I MP(Fj).

j= i

3. В аналитической форме условия существования раино действующей системы сил имеют вид

 

 

 

 

 

Р ф 0;

FxLox+ Fr Lov+ Fz.Loz= 0,

 

 

где

Fx,

Fu,

F. — составляющ'ие

главного

вектора

по

осям

Ox,

Оу,

Oz,

a Lqx, L0y, L0z — составляющие главного момента

системы сил по тем же осям координат.

 

 

 

 

 

Уравнение линии действия равнодействующей. Если

система

сил

имеет

равнодействующую,

то

для

нее

Р Ф 0;

Н — 0, а_это возможно в двух случаях:

 

 

 

 

 

1)

РРф 0 и LP= 0,

тогда FP = S и линия

действия

глав­

ного

вектора

является

линией

действия

равнодействующей,

а

сам

главный вектор — равнодействующей

системы сил

(рис. 41,а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Ррф0\ ЬрфО-, LpLFp (рис. 41,6). Уравнение линии действия равнодействующей может быть найдено как урав­ нение центральной оси системы сил, для каждой из точек которой главный момент системы сил равен нулю. Однако это можно сделать и непосредственно, спроектировав на оси координат Pxyz векторное равенство

Ln= Lp — МР (Fd).

(22)

В данном случае D(x, у, z) — произвольная точка, нахо­ дящаяся на линии действия равнодействующей системы сил;

LD= 0;

L.jt— Fpfcop',

Fp — Fh\P.

Так как

 

 

 

/с IP

kip

^ЗР

 

MP(Fо) = X

У

Z

= zFkop — yFk3P,

F

0

0

 

го равенство (22) в развернутом виде запишется так:

О= Lp/?2p—zFk^p+yFkzp.

Проектируя это равенство на оси координат, получим

0— 0;

0— LP—zF;

0=yF,

5*

R7

откуда

у = 0; г = у .

(2 ;i)

Уравнения (23) определяют уравнение линии действия равнодействующей системы сил. Из них следует, что равно­ действующая лежит в плоскости, перпендикулярной глав­

ному моменту L P и отстоит от главного вектора FР на рас-

Lp I

1-р

откладывается в ту сторону,

стоянии г — -^-(отрезок

у

откуда поворот от FP к LP на наименьший угол происходит против часовой стрелки).

В заключение необходимо обратить внимание на раз­ личие понятий главного вектора и равнодействующей системы сил.

§ 3. Пара сил

Парой сил называется система двух параллельных сил

(Fi и F2), равных по величине, противоположных по направ­ лению и неколлннеарных (рис. 42).

Рис. 42

Рис. 43

Плечом пары сил называется расстояние между линиями действия сил, образующих данную пару; в дальнейшем его будем обозначать /г. Плоскостью действия пары называется плоскость, в которой расположены силы, образующие.-дай* ную пару.

Действие пары сил (как и любой другой системы сил) на твердое тело полностью определяется ее характеристиче­ скими величинами. Для удобства их вычисления выберем

68

систему координат Охул так, чтобы плоскость

Оху

совпала

с плоскостью пары, а ось Oxfff,

(рис. 43), тогда координаты

точек приложения сил будут

Н\(хи О, О);

П2(х2,

у2, 0 ) .

Вычисляем характеристические

-величины пары

сил

(F\, F2)

и точке О

 

 

 

Fo= (F i)o+(F2)o= 0, так

как Fx,= —F2;

 

 

Lo = M0(F|) + M0(F2) — M0(F2) =^2^2^30,

 

 

.Так как главный вектор и характеристическое произве­

дение

инвариантны

по отношению к выбору полюса, то

из полученного следует,

что для

пары сил эти

величины

всегда

равны нулю

(F = 0,

Н—0).

Следовательно,

действие

пары сил па твердое тело будет определяться только глав­

ным моментом Lq. Покажем, что главный момент пары сил не зависит от выбора полюса (является инвариантом для данной пары). Действительно, зависимость между главными моментами данной системы сил, вычисленными в разных точках О и Р, записывалось формулой:

Li> = Lo~M 0(Fp) ,

но главный вектор Fp для пары сил всегда равен нулю, поэтому ~LP — L0.

В соответствии с полученными результатами введем_поня­

тие момента пары сил. Моментом М пары сил {F\, F2) называется векторная физическая величина, изображаемая свободным вектором, численно равным произведению вели­ чины одной из сил, составляющих пару, на плечо пары и на­

правленным по

перпендикуляру

к плоскости

действия

пары

в ту сторону,

откуда кажется,

что данная

пара сил

стре­

мится повернуть твердое тело, к которому она приложена, против часовой стрелки.

_ В рассматриваемом случае (см. рис. 43) момент пары сил

(F,, F2) M = L0, M = y2Fkзо, где y%= h — плечо пары, F= FX= F2.

Из полученной формулы следует, что момент пары сил может быть определен как момент одной из сил пары относительно точки приложения другой силы этой пары.

На рис. 44 изображены две пары сил и указаны их моменты. В различных задачах, где действуют пары сил, изображают не пары, а их моменты в виде стрелочек, пока­ зывающих направление вращения пары, лежащих в пло­

69

Смотрите также файлы