ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
формулу (6 ) запишем в виде:
Loxk1о + Foykw+ Lozkзо =
=2 [M0.T;(/;'j)ftlo+ ^Woi/(^’j)^20+ ^Or(^.i),,e3o],
Я1
отсюда, проектируя, находим
Lox — Е M0x{Fj) ; L0y = 2 M0y(Fj); |
F0z = 2 -Moz(-^j)- (7) |
y=i |
Я 1 |
Формулы (7) определяют алгебраические величины проекций
_ |
*■► —> |
главного момента системы сил Ь0 на оси координат Ох, Оу,
Oz соответственно (или главные моменты системы сил отно сительно осей координат). ______ _____
Величина главного момента L0 = У L0x2 + Loy2+Loz2, его направление в системе координат Oxyz определяется на правляющими косинусами
cos (Ox, L0) = - Р |
, cos {Оу , L0) = |
- Р , |
cos {Oz, L0) = -P- ■ |
||
A-0 |
|
A-o |
|
*-0 |
|
Формулы (6 ) и (7) могут быть |
записаны более |
подробно |
|||
если вспомнить, что |
|
|
|
|
|
|
Mo(Fj) = [оХ (Fj)ol, |
|
|
||
где /у— радиус-вектор точки Я,-, точки |
приложения |
силы |
F,. |
||
Тогда формула (6 ) |
перепишется в виде: |
|
|
|
|
|
То = 2 [ o x (Fj)0]. |
|
(60 |
||
|
|
|
—> |
—* |
—У |
Проектируя это равенство на осп координат Ох, Оу, Oz,
получим
П
Lox — 2 (yjFj2 zjFjy) ;
Foi/ = 2 (ZjFjx-XjFJz);
J- 1
П
Foz = 2 (X j F y j F j x ) , y=i
где (Xj, yj, Zj) — координаты точки приложения силы Fj, со ставляющие которой по осям координат FjX, FjV, Fiz.
34
Вычисление характеристического произведения после того, как найдены главный вектор и главный момент системы сил, сводится к чисто математической задаче. Действительно, по определению характеристическое произведение в точке О
По — (F0 -Lo). Воспользуемся правилом вычисления скаляр ного произведения;тогда
IIn = Fo-LoCOs{F„, L0)
пли
Но = Fах ■L()X + Fо(/ • Lov-\-Foz- Lox,
где Fox, F0y, F0z\ L0x, L0y, L0z — известные нам по форму лам (5) и (7) алгебраические величины проекций главного вектора и главного момента системы сил на оси координат.
Пример 3. Система сил Д) = 1 и, F2 = 3 и, Д'з=1,5 н, / г4 = 2н приложена к твердому телу, имеющему форму прямоуголь
ного |
параллелепипеда, ребра которого а = 0,3 |
м, |
Ь = 0,4 м, |
с—1 м. С плы ть Fo, Fз направлены по ребрам |
параллелепи |
||
педа, |
а сила F.i — по диагонали верхнего основания |
(рисунок |
|
к примеру 3). Определить характеристические величины ука занной системы сил относительно•точки О и построить их на чертеже.
|
К |
примеру 3 |
|
Р еш ен и е. 1 . |
Точку |
О принимаем |
за начало системы |
координат Oxyz, |
неизменно связанной с |
прямоугольным па |
|
раллелепипедом; оси Ох, Оу, Ог, направляем по его ребрам.
3* 35
2. Вычисляем алгебраические величины проекций сил данной системы на осп координат.
Л ,= Fu
F\y= 0 ;
Fl;= 0 ;
F2, = 0 ;
F2u= - F 2;
F2z= 0 ;
F^x — 0 |
; |
F^X=F4 cos a; |
|
w II О |
|
II О |
F3:= F3; |
F4,= —f 4 sin a. |
|
3. По формулам (5) находим алгебраические величины проекций главного вектора на оси координат
Fx= Flx+F2x+F3x+ Fix\
Fу= F i у+ F2у+ F3!/+ F4у;
F, — F\z + F%z + F& + FiZ\
yro2-1- b2
Fx= Л + Л c o s а ;
Fy= - F s-,
F, = F3 —F4sin a;
3
cos a — — .
5
Подставляя в формулы для Fx, Fy, Fz заданные величины сил
и найденные значения |
sin а и cos а, получим |
|
|||
/4 |
= 1+2 •— =2,2 н, |
Fv= - 3 н, |
F,= l,5 —2 - ^ - = —0,1 н. |
||
|
4 |
|
|
|
5 |
4. |
Определяем величину главного вектора |
|
|||
|
F0 = У f T + f T + Л 2; |
|
|||
Fo = г f2T2)2 + ( - 3 ) 2 + ( - 0 7 T 2 |
= / Т Щ |
Fо= 3,7 и |
|||
и его направление |
|
|
|
|
|
|
cos(Ox, Fo) = |
; |
cos (Ox, Fo) — ~~~ ~ 0)593; |
||
|
F0 |
|
3,7 |
|
|
|
(CU?F0) = 53° 36'; |
|
|||
|
cos(Qy!'Fo) = - - |
; |
cos (Oy, Fo) = д т = |
-0,810; |
|
|
(Q y,V o)= 144° 54'; |
|
|||
cos (Oz, Fo) = |
; |
C O S (Oz, F0 )= — = |
— 0,027; |
||
|
F Q |
|
|
3,7 |
|
(Oz, F0) = 91°30'.
5. На рисунке к примеру 3 в определенном масштаб откладываем найденные алгебраические величины проекций
36
главного вектора по осям координат. Пользуясь тем, что ~F0= FX+FV+FZ, геометрическим сложением векторов Fx, Fv, Fz
находим главный вектор |
F0 данной системы сил. |
|||
6 . |
Определяем |
алгебраические |
величины моментов си |
|
данной системы относительно осей координат: |
||||
|
УИОЛ. ( ^ ) = 0 ; |
M0j(F2)=bF2; |
M0x(F3)=cF3- |
|
|
M0z{FA) = —cFi sin a; |
|||
|
Mou(F\) =bF\\ |
Moy(F2)=0', |
M0„(F3) = - a F 3; |
|
|
M0v(Fa) =bFAcos a; |
|||
|
M0:(Fi) = 0 ; |
M0z(F2) = - a F 2, |
M0z(F3) = 0 ; |
|
|
M0z (Fa) = — cFacos a. |
|||
7. |
По формулам |
(7) находим |
алгебраические величин |
|
проекций главного момента данной системы сил относи тельно осей Ox, Оу, Oz:
Fox — M0x(Fi) +M o.v(772) + ^О л:(^Гз) + ^ 0 л.(774) ;
L0x= bF2 + cF3 — cF4sin a;
L n v = M 0u{ F i) + M 0 y( F 2) - F M q v ( F 3) + M 0y( F ,|);
L0y=bF\ — aF3 + bFAzosa\
Lm — Moz{Fi) -\-Moz{F2) +M0z{F3) + M0z(F4);
Lqz= —aF2 —cF4 cos oc.
Вычисляем L0x, L0y, L0!, подставив в полученные для них формулы цифровые данные
Ь0х= 0,4-3+ 1-1,5-1 -2—| — 1,1 нм:
Foy—'0,4• 1 0,3• 1,5+ 0,4• 2• —- = 0,/ нм;
О
Fqz= 0,3 -3 —1 • 2 • ——2,1 им.
О
8 . Определяем величину главного момента
La = У Lox2+ Loy2 + L0z2\
L0 = yTlTO2T (0,7) 2 + (-2 ,'lj*=2,5 нм
37
и его направление относительно осей координат
|
^ОЛ- |
л _ |
1,1 |
cos (Ox, Lo) = ----- ; |
cos (Ох, Г0) |
2,5 |
|
|
Lo |
|
|
|
Ox,Lo) — 63° 54'; |
|
|
cos (Оу, L0) = |
; |
cos (Оу) L0) = |
2,5 |
|
L 0 |
|
|
|
/\. |
|
|
|
(Oy, L0) — 73° 48'; |
|
|
A _ |
; |
cos (Oz, L0) = —Ц- |
|
cos (Oz, Lo) = |
|||
0,44.
0,28,
-0,84,
(Oz^Lo) = 147° 06'.
9. На рисунке к примеру 3 откладываем по осям Ох, Оу,
Oz в соответствующем масштабе векторы L0x, L0u, L0z, алгебраические величины которых были найдены нами в и. 7 данного решения. Графически главный момент системы сил находим как геометрическую сумму век
торов Lox, Lq,j, Loz, т . е. Lo = Lox-\-Lo,j +Lot.
10. Вычисляем характеристическое произведение Н= = {F0 -L0). Подставляя найденные алгебраические величины проекций главного вектора и главного момента данной системы сил, получим
Н„ = 2,2 • 1,1 + (—3) ■0,7 + (—0,1) • (—2,1) = 0,53 и2 м.
§ 2. Влияние выбора полюса на определение характеристических величин системы сил
Теорема 1. Главный вектор системы сил не зависит от вы
бора полюса. |
_ |
_ |
Рассмотрим систему сил |
(Fu Г2, ..., Fn), приложенных |
|
к твердому телу. Вычислим главный вектор этой системы сил в двух произвольных точках О и Р твердого тела. По опре делению главного вектора
Го = 2 (^)о ; Т Р = 2 (F))p.
Из этих равенств совершенно очевидно, что ? Р= Г0, ибо эти
38
векторы получены геометрическим сложением одних и тех же векторов, но только в разных точках О и Р.
Теорема 2. Главный момент системы сил относительно полюса Р равен геометрической разности главного момента рассматриваемой системы сил относительно полюса О и момента относительно полюса О главного вектора этой системы сил, построенного в полюсе Р.
Пусть (Fu F2, ... , Fn) — система сил, приложенных к твер дому телу, главные моменты которой относительно полюсов О и Р будут, согласно определению
|
1 0 = |
2 М0 (F -,); |
LP = |
2 МР (F j). |
|
|
|
|
I—1 |
' |
|
У-1 |
|
Докажем, |
что |
_ |
_ |
_ |
|
(8) |
|
П _ |
LP = l o - M 0(FP), |
||||
где Fp= |
|
|
вектор |
данной системы |
сил, |
|
2 (Fj)p — главный |
||||||
|
У=1 |
|
|
|
|
|
построенный в полюсе Р.
Для моментов каждой из сил, входящей в данную систему, можно написать следующее геометрическое равен
ство |
_ |
_ |
|
|
МР(Fj) = М0 (Fj) - М 0 (F j)р, |
/ = 1, 2 ........л.. |
|
Складывая эти п векторных равенств, получим |
|||
|
2 MP(F}) = |
2 M 0 (Fj) - |
2 M 0 (Fi)P |
|
j- I |
;=i |
i= i |
или
LP = L 0 — 2 M0 (Fj)p.
J-i
Второй член в правой части этого геометрического ра венства представляет момент относительно полюса О п сил, имеющих общее начало в точке Р, поэтому ■2
2 |
M0 (Fj)P — |
М 0[ 2 |
(^j)p] = M 0 {FP), |
У=1 |
_ |
У=1 |
|
П _ |
|
вектор рассматриваемой си- |
|
так как 2 (РАр =Рр — главный |
|||
У=1 |
|
|
|
стемы, построенный в полюсе Р. |
|
||
Окончательно имеем: |
_ |
|
|
Lp = Lo— Mo (Fр) ,
что и требовалось доказать.
39