Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf

4. Боковое ребро правильной треугольной пирамид равное а, наклонено к плоскости основания под углом а. Определить объем пирамиды.

В а р и а н т 15 (Рижское высшее командно-инженерное училище

имени Маршала Советского Союза Бирюзова С. С.)

1. Двое разносчиков продали различное количество яблок, но получили поровну денег. Если бы первый про­ дал свои яблоки по цене второго, то получил бы 80 коп., а если бы второй продал свои яблоки по цене первого, то

Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой тупой угол (5; две дру­ гие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом а. Найти боковую поверхность пирамиды.

В а р и а н т 16 (Военная инженерная академия имени Ф. Э. Дзержинского)

1. Перевозка 1 т груза между двумя городами по ж лезной дороге обходится на 20 коп. дороже, чем водным путем. Сколько тонн груза можно перевезти из одного го­ рода в другой по железной дороге за 1000 руб., если вод­

66

4. В основании прямого параллелепипеда лежит парал­ лелограмм с тупым углом а и сторонами а и Ь. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали осно­ вания. Определить объем параллелепипеда.

Приложение 2

ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ

Билет № 1

1. Комплексные числа в алгебраической форме и четыре действия над ними. Тригонометрическая форма комплекс­ ного числа.

2. Теорема Пифагора и ее доказательство (алгебраиче­ ское).

3. Вывести формулы синуса суммы и разности двух углов.

Билет № 2

1.Геометрическая прогрессия. Формула любого члена геометрической прогрессии и суммы ее членов.

2.Теорема об объеме пирамиды.

3.Тригонометрические функции двойного угла.

67

Билет № 3

1.Зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

2.Теорема о площади боковой поверхности призмы.

3.Радианная мера угла. Соотношение между градусной

ирадианной мерами углов.

Билет № 4

1.Показательная функция, ее свойства и график.

2.Теорема о биссектрисе внутреннего угла треуголь­

ника.

3.Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Билет № 5

1.Теорема о трех перпендикулярах.

2.Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

3.Указать область определения функции

Билет № 6

1.Теорема косинусов и ее доказательство.

2.Общие свойства логарифмов.

3.Параллелограмм с острым углом ср при основании описан около круга радиуса г. Определить значение угла <р, при котором площадь параллелограмма имеет наименьшую величину.

68

Билет № 7

1.Двугранные углы. Измерение двугранных углов. Перпендикулярные плоскости. Признак перпендикулярно­ сти двух плоскостей.

2.Преобразование в произведение суммы и разности двух тангенсов.

3.Решить уравнение

| х2 - Зх - 7 1= Зх.

Билет № 8

1.Прямая и обратная пропорциональные зависимости.

2.Теорема об объеме усеченного конуса.

3.Решить неравенство

10g± f =:!•

I2

4.Найти период функций

у== sin4x.

Билет № 10

1. Доказать, что

sin a sin Р = -j- [cos (а — Р) — cos (а + Р)].

69

2.Уравнения. Понятие об эквивалентности уравнений. Основные свойства уравнений.

3.Решить неравенство

| х2341 — 4х — 3 1< 2.

4. Образующая конуса наклонена к плоскости основ ния под углом а. Под каким углом наклонена к плоскости основания плоскость, проходящая через две образующие, составляющие угол (3.

Билет № 11

1.Общие свойства неравенства. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным.

2.Окружность. Формула длины окружности.

3.В правильной четырехугольной пирамиде боковое реб­ ро образует с плоскостью основания угол а. Найти дву­ гранный угол при боковом ребре.

4.Решить уравнение

Билет № 12

1. Теорема синусов и ее доказательство.

Свойства средней линии треугольника и трапеции. 3. Решить графически систему уравнений '

х+ у + 5 — 0; ху + 36 = 0.

4.В шар радиуса г вписан цилиндр, диагональ осевог сечения которого наклонена к плоскости основания под углом а. Найти боковую поверхность цилиндра.

70

71

данному. В связи с этим проверка корня путем подстанов­ ки его в данное уравнение не является составной частью решения уравнения, а поэтому ее не производим.

От в е т : х = 0.

3.Решить систему уравнений

Освобождаясь от дробей, получим

| tg х tg у + 1 = 2tg у,

\ t g x t g z / + 1 = 2tgх.

Вычитая из первого уравнения второе, находим

tg У — tg х = 0 или tg х = tg у.

Тангенсы двух углов равны, следовательно,

х — у — kn, х = у + kn.

72