Файл: Гром, В. П. Экспресс-анализ данных сдаточных испытаний судов с помощью бортовой ЭЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.11.2024
Просмотров: 28
Скачиваний: 0
испытаний судов, особенно в первом чтении: параграф может быть пропущен безо всякого ущерба для последовательности и понима
ния методики в целом. Однако этот материал может быть очень полезен как при разработке алгоритмов предварительной обработки
иформализации результатов измерений, так и непосредственно для
проведения экспресс-анализа данных испытаний с помощью борто
вой ЭЦВМ. Одновременно он может служить иллюстративным материалом к § 2 при анализе некоторых теоретических аспектов
статистического анализа малых выборок.
При испытаниях судового оборудования проводится большое
количество измерений самого различного характера (теплотехниче
ских, мощности, давления, оптико-механических, радиометрических
идр.), результаты которых должны быть представлены в форме зависимости одного параметра от значений другого. Иначе говоря,
ввиде некоторой графической зависимости в прямоугольной системе координат. По ограниченному числу дискретных точек
должна быть воспроизведена непрерывная кривая зависимости параметра z от параметра х.
Распространенным методом решения такой задачи является по
строение аппроксимирующего полинома вида
z(x) |
= ɪɑ/p,-(z), |
|
(47) |
||||
|
|
J=O |
|
|
|
|
|
где φ7(x), например, — ортонормированные полиномы Чебышева. |
|
||||||
Методика построения таких аппроксимирующих |
кривых дана |
||||||
в руководящих технических |
|
материалах [13]. Коэффициенты |
a¡ |
||||
определяются независимо один |
пот другого по формуле |
|
|
||||
|
|
|
|||||
ai = 2 Pz2ZcP7 (М), |
|
(48) |
|||||
где p¿ — весовая функция. |
Z = I |
|
|
|
полинома г |
||
Однако максимальная степень аппроксимирующегоХ{. |
|||||||
должна быть меньше, чем количество |
п |
экспериментальных точек zi, |
|||||
соответствующих различным значениям аргумента |
|
Значения х,, |
|||||
если это возможно, стремятся выбрать равностоящими друг от
друга из соображений удобства вычислений.
Ошибка аппроксимации оценивается по формуле остаточного
члена |
п |
(49) |
Ur+ (x) < ɪŋ, |
(x) I П Jχ- хі |
|
|
1=1 |
Максимум величины z'r1' (х)|, в свою очередь, оценивают при ближенно. Однако действительные зависимости z(x) для реальных механизмов и устройств, за отдельными исключениями, имеют малую абсолютную величину уже третьей-четвертой производ
ной. Количество точек измерения, как правило, составляет десятки,
34
так что резерв повышения степени аппроксимирующего полинома
велик. Поэтому часто считают, что таким путем может быть достиг
нута любая практически необходимая точность аппроксимации.
Но если результаты измерений содержат случайную ошибку, изменение погрешности становится немонотонным. Сглаживание
аппроксимирующей кривой позволяет уменьшить влияние фактора
случайности. Увеличение же степени аппроксимирующего полинома ведет к уменьшению сглаживания. И если уменьшение влияния случайных ошибок измерения является одной из задач, решаемых аппроксимацией, достижение наибольшей точности 1 становится трудной задачей.
Случайная составляющая ошибки аппроксимации возрастает
[17], если результаты измерений ¾ |
N |
|
содержат ошибки, |
рас |
|
|
i=l,n |
σ]∕p,)∙ В этом случае |
|||
пределенные по нормальному закону |
|
(0, |
|||
коэффициенты а,- имеют равные дисперсии |
|
|
|||
D{aj]=a |
j |
= O^ |
(50) |
||
и дисперсия полинома z(x) в произвольной точке равна |
(51) |
||||
D{z{x)} = |
7=0 |
|
|
|
|
Необходимо сопоставить величины составляющих ошибок, опре |
|||||
деляемых с помощью соотношений |
(49) |
и |
(51), и выбрать степень |
||
полинома г, доставляющую минимум результирующей ошибки.
В случае же, если количество измерений мало, нужны дополни тельные пути извлечения информации и использование ее для повы шения точности аппроксимации. Ниже излагается такой метод использования дополнительной информации по результатам ра
боты [2].
Дополнительная информация может представлять:
—точки повышенной достоверности, априорно известные или полученные в результате измерений со значительно меньшими по грешностями (опорные точки);
—связи, наложенные на совокупности значений измеряемой величины;
—связи или ограничения, наложенные на совокупности значе ний производных измеряемой величины.
Записывается это соответственно в виде следующих формул
(xz* |
ft) = Aft, |
k = 1, тх; |
(52) |
||
ɪZ |
(хг) = |
Bs, |
s = 1, та, ; |
(53) |
|
bsi*z |
|
|
|
|
|
= I |
|
|
|
I = 1, m i; t <,r, |
(54) |
É |
*,)(■ |
= δ/. |
|||
1 = 1 |
|
|
|
||
3* |
35 |
которые могут быть преобразованы к единой форме
|
|
|
>⅛αJ = Λρ, |
i∕=l,∕7z; |
т = mi |
mi 4- ∕zz3, |
(55) |
|||||
где |
hqj |
и |
J = O |
|
известные числовые значения. |
|
|
|||||
Aq — |
|
|
|
|||||||||
|
Для получения оценок |
коэффициентов |
*а |
с |
учетом связей (55) |
|||||||
применяется |
метод множителейГ |
Лагранжа |
для |
поиска условного |
||||||||
экстремума. |
Обозначив уравнения связи (55) через |
(56) |
||||||||||
|
|
|
|
|
‰ 2 h<liaj ~ Ач = 0> |
|
? |
= М” |
||||
|
|
|
|
|
J=O |
|
|
|
|
|||
и записав
т
ѳ=я;-2Ѵід, (57)
¢ = 1
где A,* —остаточная сумма квадратов отклонений;
|
|
|
|
|
п |
|
г |
|
|
|
(58) |
из условий |
|
|
|
Z-I |
у-о |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(59) |
||
|
|
|
|
|
|
|
q = 1, т |
|
|
||
получим |
|
|
|
|
∂'f,q∂θ -О, |
|
|
(60) |
|||
систему уравнений |
|
|
|
) |
|
||||||
|
|
|
|
пт |
|
|
|
|
|||
|
|
|
⅛ = ɪ |
(χi) + ɪ λΛ∕, |
7 = 0, г, |
(61) |
|||||
|
|
|
|
1=1 |
|
¢ = 1 |
q= ,m. |
I |
|||
|
|
|
|
^hηj-a*A |
cj = Q, |
||||||
|
|
|
|
г |
|
|
|
______ |
J |
|
|
Величины |
|
J=O |
|
|
|
|
|
|
|||
*а |
из первых (г —1) |
уравнений подставляют в после |
|||||||||
дующие |
т, |
приняв обозначения согласно формуле |
(48), |
|
|||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
1 |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
л Ч |
ɪ CLjhqj = %, q = |
m |
|
(QT) |
|||
|
|
|
|
|
г-j≈b |
|
|
|
|
(63) |
|
|
|
|
|
Jɪ= O hP<ιhQj = cPV |
я = |
|
|
|
|||
36
Получается система линейных уравнений
|
|
т |
|
|
|
______ |
|
|
|
(64) |
|
|
'∑cP0k<ι = εP> |
P=V т |
|
|
|
||||||
|
ρ≡l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда, считая определитель системы D≠0,* |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ⅛^ ɪj dP9εP' |
c = ^tn’ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
P= ' |
|
|
|
дополнения |
|
определи |
||
где dpq — соответствующие алгебраические |
|
||||||||||
теля .*£> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После этого из (61 ) |
|
|
|
√ = (v |
|
|
|
(ɑθ) |
|||
и |
αJ = 0∕÷iλΛr |
|
|
|
|||||||
|
|
?-0 |
|
|
|
|
|
|
(67) |
||
|
|
z*(χ) |
= Vφ.(χ), |
|
|
|
|
||||
Чтобы получить выражения |
7=0 |
дисперсии D{z*(x)}, |
|
необхо |
|||||||
для |
|
||||||||||
димо представить |
гz*(x) |
|
только через линейно независимые коэффи |
||||||||
циенты ɑʃ, / = 0, |
— |
т. |
Для |
этого |
последние |
т |
уравнений си |
||||
стемы (61) переписываются в виде |
|
|
|
|
|
(68) |
|||||
l= rV |
hqla↑ = Aq - yhqja*, |
q = TJm. |
|
||||||||
|
|
|
J=O |
|
|
|
|
|
|||
- m---l |
|
|
|
|
системы (68) |
||||||
При условии отличия от нуля определителя **D |
|||||||||||
|
|
|
т |
|
|
г — т |
|
|
|
|
|
|
|
|
9-І |
|
7=0 |
|
|
|
|
(69) |
|
|
|
|
/ = r-∕nφl, г. |
|
|
|
|
||||
После этого аппроксимирующий полином может быть записан |
|||||||||||
в виде |
|
ZA (х) -== ɪ 0r∕ (x) + 'zI |
(х)’ |
|
|
|
(70) |
||||
где |
|
|
|
7=0 |
г |
т |
|
|
|
; |
(71) |
|
tP7∙ (ʌ') - ⅛-l=rɪ-mjr q≈ |
|
|
|
|||||||
zi (Х) |
|
|
г |
|
X¾<f<(∙t)^ |
|
(72) |
||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
||||
|
l≈r2-mT∑ιwx>- |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
¿7 = 1 |
|
|
|
|
|
|
37
И дисперсия |
(x)}*D{z |
|
вычисляется по формуле |
(73) |
||
|
|
|||||
|
|
*(x)}=∑VD{z |
г—т |
j}, |
||
|
|
.(x)D{a' |
||||
|
|
|
|
т т |
т |
|
|
|
|
|
7—0 |
|
(74) |
|
|
Aq |
|
¢ = 1 р = 1 |
Z = I |
|
d ⅛ ==Ψ + 77⅛2J]^¾)≈⅛⅛]∙ |
|
|||||
Если величина |
|
задана со смещением ∆,γ, можно пересчитать |
||||
влияние этого смещения в произвольной точке аппроксимирующего
полинома. Для этого выражение (62) следует переписать в виде
и тогда |
AQ—^iajhQiz=% + s^ |
|
(75) |
|
7-0 |
т |
9 =V^; |
(76) |
|
|
|
fi? |
||
|
|
т |
7 = θɔɪ' |
(?7) |
|
= Σ hVi (ʌʌɔ' |
|||
|
|
¢-1 |
|
(78) |
|
∆z* (X) = ɪ (∆a*) φy. (л). |
|||
|
|
7—0 |
|
|
Выражение (78) после произведенных подстановок позволяет
вычислить результирующее смещение в любой текущей координате
аппроксимирующего полинома |
*(x),z |
построенного с учетом апри |
|
|
орного задания точек со смещением. Степень аппроксимирующего полинома при наличии априорной информации выбирается из усло вия минимума результирующей ошибки, суммарные составляющие которой определяются с помощью соотношений (49), (73). При этом оказывается возможным достичь меньшей результирующей
ошибки.
ГЛАВА III
МЕТОДИКА ЭКСПРЕСС-АНАЛИЗА ДАННЫХ СДАТОЧНЫХ ИСПЫТАНИЙ СУДОВ
C ПОМОЩЬЮ БОРТОВОЙ ЭЦВМ
§6. Структура построения методики
Воснову методики экспресс-анализа данных сдаточных испыта
ний судов с помощью бортовой ЭЦВМ положена методика анализа
технического состояния механизмов по малым объемам статисти-
38