Файл: Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf

Линейность такого оператора проверяется непосредст­ венно. Однако, как легко убедиться, обратный оператор

проводимости У при этом должен быть задан соотношением

Другими словами, для определения тока в заданный мо­ мент времени необходимо знать напряжение в некоторый

последующий момент при любой функции U(t). Подобная ситуация противоречит физическому принципу причин­ ности и поэтому такие операторы принадлежат к классу физически нереализуемых.

Операторы сопротивления и проводимости в случае гармонической зависимости токов и напряжений во времени

Как уже известно, линейная электрическая цепь, являю­ щаяся частным случаем линейной динамической системы, характерна тем, что при гармоническом, воздействии на нее все токи и напряжения в ней будут являться также гармо­ ническими функциями времени-. Этот факт позволяет до­ биться существенного упрощения формы записи оператор­ ных соотношений между токами и напряжениями. Действи­ тельно, пусть электрическое состояние некоторого элемен­ та цепи, например, двухполюсника, описывается напряже­ нием

В соответствии со свойством показательной функции про­ изводные и интегралы любого порядка от гармонических

21

функций выражаются через комплексные амплитуды следу­ ющим образом:

Отсюда следует, что действие произвольного интегродифференциального оператора на гармоническую функцию равносильно действию мультипликативного оператора, при­ мененного к комплексной амплитуде. Другими словами, можно для любого двухполюсника записать

Входящие сюда размерные множители в общей теории цепей носят название иммитансов. Конкретно, Z — импе­ данс (полное комплексное сопротивление), Y —адмиттанс (полная комплексная проводимость).

Обобщение понятия частоты. Плоскость комплексных частот

Известно, что соотношения вида (63) могут быть запи­ саны применительно не только к гармоническим функциям, но и к функциям более общего вида

где p —a-\-m — произвольное комплексное число. Несмотря на то, что в'ходные воздействия вида

е±0' • cos ioof.

прямого физического смысла не имеют, замена веществен­ ной круговой частоты со на комплексную переменную р об­ ладает большим принципиальным значением для развития математического аппарата теории цепей. Причина этого заключается в следующем. Для произвольного линейного двухполюсника иммитансы являются некоторыми известны­ ми функциями со, точнее, мнимого аргумента г'со: '

Введение нового комплексного аргумента р позволяет осуществить операцию аналитического продолжения [7]

функций Z и У с мнимой оси ico на всю комплексную плоскость.

28

Г л а в а III

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ

Постановка задачи

Электрическим двухполюсником называется цепная структура, имеющая единственную пару доступных зажи­ мов. Несмотря на то, что внутренняя структура двухполюс­ ника может быть сколь угодно сложной, для исчерпываю­ щего описания его поведения достаточно знать входной ток и разность потенциалов между зажимами в любой момент времени. В дальнейшем нами будут рассматриваться лишь пассивные линейные двухполюсники, состоящие из элемен­ тов R, С, L и М.

Свойство аналитичности иммитанса линейного двухполюсника

Предположим, что ко входным зажимам двухполюсника подключен источник гармонической ЭДС, который являет­ ся единственным активным элементом. Для расчета внутрен­ него состояния двухполюсника можно воспользоваться ме­ тодом кон'гурных токов и записать соответствующую систе­ му уравнений:

■■-\-Z\nIn= E ,

•£21^1+-^22/2+ .,,. -\-Z2nIn~O,

Здесь D — определитель системы (66), DlK— алгебраическое дополнение элемента Ik.

90

Поскольку мы условились считать, что по контуру, со­

держащему внешний источник, протекает ток / ь то входные иммитансы двухполюсника представятся в виде:

Алгоритм вычисления определителей таков, что они об­ разуются как суммы всевозможных произведений сомножи­ телей вида

PCik

Отсюда следует, например, что входной импеданс может быть представлен в виде отношения двух многочленов по степеням комплексной частоты

Легко видеть, что в силу физической постановки задачц коэффициенты как в числителе, так и в знаменателе (70) являются вещественными числами. Функции вида (70) но­ сят в математике название дробно-рациональных. Важ­ нейшая их особенность, определяющая собой все частотные свойства линейных цепей, состоит в свойстве аналитично­ сти [7]. По основной теореме алгебры каждый многочлен п-отл. степени имеет п комплексных корней. Таким образом,

Множество точек zt носит название нулей входного импе­ данса двухполюсника. Корни же знаменателя р} образуют множество полюсов импеданса. Очевидно, что. для входного адмиттанса (проводимости) нули и полюсы взаимно меня­ ются местами. В совокупности нули и полюсы образуют множество особых точек иммитанса двухполюсника. Исклю­ чительная роль аналитических функций состоит в том, что исчерпывающее описание их в любой точке комплексной плоскости может быть осуществлено на основании лишь знания расположения и характера особых точек.

31

Дальнейшее исследование свойств входного импеданса двухполюсника

Исходя из простых физических соображений, . оказыва­ ется возможным сделать ряд заключений о характере рас­ положения особых точек функции Z(p) на комплексной плоскости р. Пусть на вход двухполюсника включен идеаль­ ный источник тока, возбуждающий в момент времени t —0 импульсное воздействие вида б(t). Напряжение gu(t), возникающее при этом на зажимах двухполюсника, будем на­ зывать импульсной характеристикой по напряжению. По­

скольку в установившемся режиме U=Z(m)I, а б — функ­ ция имеет равномерную спектральную плотность, то спра­ ведливо следующее преобразование Фурье:

СО

к устойчивой пассивной системе, состоит в том, что функ­ ция gu(t) должна тождественно обращаться в нуль при /< 0 ,

ности бесконечного радиуса, располагающейся в правой по­ луплоскости (на рис. 13).

В силу теоремы Коши равенство нулю контурного ин­ теграла (73) при t < 0 возможно лишь в том случае, если функция Z(p) в правой полуплоскости не имеет полюсов.

Более того, функция Z(p) в правой полуплоскости не может иметь и нулей, поскольку каждому нулю Z отвечает полюс функции Y. Повторив предыдущие рассуждения для случая, когда на входе двухполюсника действует идеаль­ ный источник ЭДС вида 6(7), легко прийти к выводу, что У(р) не может иметь полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной р.

Наличие особых точек иммитанса в правой полуплоско­ сти свидетельствует о неустойчивости системы [8]. Ясно,

32