Файл: Бычков, В. П. М. К. Гребенча (1897 - 1948). Страницы жизни и творчества.pdf

уникальный преподаватель п поэт треугольников Се­ мен Исаакович Зетель.

Нам преподавали методику математики крупней­ шие методисты своего времени: сторонник диалек­ тического направления Иссидор Аронович Гибш и представитель формальной школы — автор несколь­ ких руководств по методике — Василий Григорьевич Чнчигин.

Лекции по истории математики нам читала сама Софья Александровна Яновская.

Мы изучали физику у обаятельного Юрия Василь­ евича Басова и остроумного Александра Васильеви­ ча Перышкина, по учебникам которого вот уже не­ сколько поколений школьников приобщаются к этой науке.

Каждый из названных преподавателей был чем-то замечателен, у каждого из них было чему поучить­ ся. И вот на этом фоне, без преувеличения, звезд мы встретили Михаила Кузьмича. Первую лекцию по курсу «Высшая алгебра» он нам прочитал 1 сентября 1938 года, а последнюю — 28 декабря того же года. Итак, один семестр, да еще на четвертом курсе он нам прочитал семестровый курс теории чисел. Не­ много. Впрочем нет, он руководил математическим кружком, на который был открыт вход для всех сту­ дентов. И все равно, вместе это не так много.

Но почему же и я, и все, кто учился тридцать пять лет тому назад в Московском городском педа­ гогическом институте имени В. П. Потемкина, счи­ тают своим учителем Михаила Кузьмича? Как-то само собой получилось, что Михаил Кузьмич заслонил собой и эрудированных, и легендарных, и обаятель­ ных преподавателей. В нем было все то, что в них и еще кое-что. Для каждого, кто учился у Михаила Кузьмича это «кое-что» имело свой смысл. И было еще то, что нам, как студентам,- не было известно.

30

Весь этот блистательный комплект преподавателей собрался не без участия Михаила Кузьмича. Не за­ нимая высокого места в руководстве института, он играл заметную роль в подборе кадров. К его мне­ нию и советам прислушивались. Он был ни на кого не похожий талантливейший человек и преподава­ тель. Видели мы и таких преподавателей, которые в воспитании студентов видят свой долг и обязан­ ность. И каждый раз, встречаясь со студентами, на­ ходят повод для, с позволения сказать, воспитания. При этом не жалеют ни своего, ни чужого времени для произнесения нудных и бесполезных нотаций. Не таков был Михаил Кузьмич. Каждая его лекция — сочетание глубины изложения и непосредственного остроумия. Всегда доброжелательный ко всем без ис­ ключения студентам, он никому не давал поблажки во время экзамена. Впрочем и те, кто часами выстаи­ вал у доски во время экзамена, сейчас с восторгом вспоминают это время.

Мне повезло больше, чем другим студентам. В феврале 1939 года мне удалось решить проблему, предложенную Михаилом Кузьмичом во время пере­ рыва между лекциями группе студентов. Это извест­ ная задача Н. Г. Чеботарева о полиномах деления круга. Естественно, я был рад, что решил эту зада­ чу. Но еще более был рад Михаил Кузьмич. Он меня возил с докладом и на свой воскресный семинар и на семинар МГУ. В 1940—1941 годах он стал зани­ маться со мной, как принято говорить теперь, по ин­ дивидуальному плану. По его рекомендации я чи­ тал книгу Ингама «Распределение простых чисел». Затем наступило время расставаний.

Сразу после демобилизации в 1945 году я посту­ пил в аспирантуру и моим руководителем стал Ми­ хаил Кузьмич. Наши отношения как-то сразу вы­ шли за рамки того, что называют отношения аспиран-

31

та и руководителя. Мы встречались не очень часто, я не досаждал вопросами, а он не допекал меня по­ учениями. Как-то жду Михаила Кузьмича около ау­ дитории, надо посоветоваться, какую книгу перево­ дить. Как обычно, его ждет толпа. Всем нужен Ми­ хаил Кузьмич. Звонок. Раскрывается дверь аудито­ рии. Весь в мелу, на ходу поясняя что-то нескольким студентам, выходит Михаил Кузьмич. Проходит минут тридцать—сорок. Все жаждущие видеть Михаила Кузьмича рассеиваются. Он говорит: «Сейчас позво­ ню Клавдии Семеновне». И вот мы у него дома. «Сначала — обедать — дело потом». Обед. Он начинает выспрашивать подробности моего пребывания под Сталинградом, странствий по госпиталям. После это­ го — шахматы. Наконец, он взбирается на лестницу. Долго копается в своем шкафу у самого потолка и отбирает для меня журнал со статьей Черча на ан­ глийском языке. Все. Нет не все. Уже поздно, темно. Он одевается и провожает меня через все дворы, в глубине которых стоял его дом, на улицу.

Меня всегда поражало, что круг знакомств Ми­ хаила Кузьмича необычайно широк. Очень многие знали Михаила Кузьмича и были его друзьями. Пом­ ню, приготовил экзамен по специальности. Кому сда­ вать? Михаил Кузьмич говорит: «Поедем к И. М. Ви­ ноградову!» И вот я что-то пишу и пытаюсь сообра­ жать, а Михаил Кузьмич в соседней комнате хохочет

сИваном Матвеевичем Виноградовым.

Впослевоенные годы обсуждался вопрос о ради­ кальном изменении школьных программ по матема­

тике, о внесении элементов высшей математики в эти программы. Михаил Кузьмич был противником таких изменений. Мне приходилось бывать с ним на заседаниях и собраниях, посвященных этому вопросу.

Надо сказать, что его решительная позиция содей­ ствовала тому, что реформа школьной программы

32

была отложена. Прав или не прав был Михаил Кузь­ мич? Известно, что и сейчас переход на новые про­ граммы совершается не без трудностей. А тогда, в условиях нехватки учителей, многие из которых не вернулись с фронта, такое изменение программы привело бы к последствиям, которые угадать не трудно».

3 В. П. Бычков

Научные труды М. К. Гребенчи

Перу Михаила Кузьмича Гребенчи принадлежит свыше сорока опубликованных работ на различные научные темы, относящиеся к чистой математике, прикладной математике и методике математики. Все его работы отличаются смелостью постановки вопро­ сов. Самые первые и наиболее многочисленные из них относятся к прикладной математике и связаны с на­ хождением наивыгоднейшего места заложения шах­ ты. В связи с этим вопросом им написано шестнад­ цать работ [4, 6— 11, 16—32, 26, 27]. Наиболее харак­ терные из них собраны в сборнике «Нахождения точки наивыгоднейшего сосредоточения грузов при откатке», изданном в 1934 году Объединенным науч­ но-техническим издательством (ОНТИ) Народного комиссариата тяжелой промышленности. Здесь статьи, посвященные вопросу о точке наивыгоднейшего со­ средоточения грузов на откатке. Эта тема весьма актуальна в горном деле и других отраслях промыш­ ленности, так как связана с отысканием места само­ го выгодного сосредоточения сырья, свозимого для переработки. Ввиду того, что общее решение этой задачи было известно, в сборнике рассматривается ряд частных, наиболее часто встречающихся случа­ ев, а также даны приближенные методы решения в общем случае. В этих работах собраны уже ранее полученные результаты, а также приводятся новые.

Этот сборник представляет собой ценное пособие при проектировании места постройки центральной обогатительной (или всякой иной) фабрики, перера­

34

батывающей свозимое сырье. В него включены сле­ дующие статьи М. К. Гребенчи:

Графический метод определения положения точки наивыгоднейшего сосредоточения грузов из четырех данных точек.

Аналитический вывод условий совпадения точки напвыгоднейшего сосредоточения грузов с одной из данных.

Ограничение области точки наивыгоднейшего со­ средоточения и существование абсолютного мини­ мума.

Аналитические методы изучения положения точ­ ки наивыгоднейшего сосредоточения по откатке масс, сосредоточенных на кривой.

Задача о точке наименьшего расстояния в свете вопросов технико-экономического анализа в горной промышленности.

Приближенные методы решения задачи о точке наивыгоднейшего сосредоточения транспортируемых грузов (совместно с В. М. Осецким).

Эта математическая задача известна под названи­ ем «Задача о точке наименьшего расстояния» и за­ ключается в необходимости нахождения такой точ­ ки, чтобы сумма расстояний от этой точки до дан­ ных точек была наименьшей. Задача была впервые поставлена Торричелли в XVII веке для случая трех точек на плоскости. После этого она не переставала обращать на себя внимание многих математиков вплоть до наших дней.

На языке аналитической геометрии речь идет об отыскании координат искомой точки (а, ß), чтобы расстояние

п

1= 2(•*/—<*)2 + (Уі — ß)3=min,

<= 1

Однако решение этой системы уравнений в общем виде, т. е. выражение а и ß, как явных функций ве­ личин Хі и Уі, содержащих конечное число действий, до тех пор не были известны. В силу этого усилия многих математиков были направлены к разрешению частных случаев этой проблемы, причем достигну­ тые результаты нельзя считать достаточно полными. Известно решение этой проблемы для случая трех и четырех точек, лежащих в плоскости, причем эти решения к тому времени были получены элементар­ ным способом.

Далее эта задача усложняется тем, что ищется точка так, чтобы сумма расстояний, помноженных на постоянные коэффициенты, или сумма одинаковых степеней расстояний, помноженных на постоянные коэффициенты, была наименьшей. Это обобщение принадлежит известному геометру Штейнеру. Даль­ нейшее обобщение задачи заключается в расположе­ нии заданных точек в пространстве, в замене точек линиями и замене расстояний функциями расстоя­ ний. Однако эти обобщения не суть плоды теорети­ ческой мысли математиков. Практика породила эту задачу и практика же наметила пути к ее обобще­ нию.

Вопросы о наивыгоднейшем расположении водо­ проводной станции, о точке наивыгоднейшего сосре­ доточения свозимых из различных точек грузов для переработки, о наивыгоднейшем расположении слив­ ного пункта, обслуживающего несколько колхозов,— все это в абстракции проблемы о точке наименьше­ го расстояния.

36

Особенное значение эта задача приобрела в гор­ ном деле. Б. И. Бокпем впервые были затронуты при­ мыкающие к этой проблеме вопросы в связи с опре­ делением места наивыгоднейшего заложения шахты. С тех пор проблема определения места заложения шахты выросла в самостоятельную проблему глав­ ным образом в работах Л. Д. Шевякова, имея к тому времени довольно основательный список литературы (Лазарьян, Панов, Локшин, Пичугин, Сегаль, Селецкий, Соболев, Хмельницкий, Цейтлин и др.). Причем в указанной литературе эта проблема уже была чет­ ко сформулирована как задача о точке наименьше­ го расстояния.

Как и следовало ожидать, решение этой проблемы, часто вследствие незнакомства с математической ли­ тературой, малоизвестной в силу ее узкоспециально­ го характера, заставляло решать уже решенные слу­ чаи, имели место также ошибочные решения, с другой стороны, теорией и практикой горного дела бы­ ли сформулированы новые обобщения проблемы, за­ ключающиеся в том, что дискретное множество то­ чек заменяется непрерывно-дискретным, что увели­ чивает сложность проблемы.

Дальнейшим обобщением является проблема, в которой расстояния заменяются функцией расстоя­ ния (Р. А. Селецкий), как это должно быть при ком­ плексном проектировании, где имеются факторы рас­ ходов, пропорциональные расстояниям и квадратам расстояний; наконец, возникает обобщение этого во­ проса в связи с ограничением характера траекторий транспортируемых масс.

Как уже указывалось, общее решение проблемы было неизвестно. Более того, можно сказать, что ме­ тоды решения для различных частных случаев весь­ ма своеобразны, но все же дают надежду на воз­ можность их обобщения. Достаточно сказать, что

37

проблема о точке наименьшего расстояния от трех данных точек с различными сосредоточенными мас­ сами решена элементарным путем очень простым геометрическим построением, однако настолько спе­ цифично, что распространить метод на случай боль­ шого числа точек невозможно.

Вопрос о точке наименьшего расстояния от точек с равными сосредоточенными массами, лежащими на прямой, решен В. Я. Цинглером в 1892 году.

В 1917 году Р. А. Селецкий разрешил эту пробле­ му в более общем случае (случай различных масс, сосредоточенных на прямой) весьма элементарными

иизящными соображениями, которые позволили ему

иЛ. Д. Шевякову разрешить ряд проблем, соприка­ сающихся с этой (случай непрерывного сосредоточе­ ния). Однако перенесение этих методов для случая точек, расположенных в плоскости, уже не дает нуж­

ного эффекта.

В этой проблеме имеются моменты весьма тонко­ го математического анализа, без учета которых мож­ но попасть в затруднительное положение в самых простых случаях этой проблемы, как, например, в случае точек, расположенных на прямой, если коор­ динаты этих точек суть числа а,, а координата иско­ мой точки — а, то необходимо оперировать над абсо­ лютными величинами разностей а —a¡, так как мо­ жет оказаться, что a>a¡; а<.аі‘ а.=а.і. Пользова­ ние абсолютными величинами создает усложнение в дифференцировании такого рода функций, так как производные их разрывны, хотя сами функции и непрерывны.

С такого же рода трудностями приходится счи­ таться и в случае расположения точек на плоскос­ ти, когда искомая точка совпадает с одной из дан­ ных. В этом случае частные производные разрыва­ ются и обычное решение проблемы отыскания мини­

38

мума двух переменных становится невозможным. Аппарат классического анализа в элементарной фор­ ме не дает разрешения проблемы этого рода. Необхо­ димо пользоваться более тонким аппаратом матема­ тического анализа (ряды Фурье, интеграл Стильтьеса, векторный анализ, функции комплексного пере­ менного) .

Однако решение этих проблем математически не является в то же время окончательным решением проблемы горного дела, связанных с задачей о точке наименьшего расстояния. Конечно, при отыскании места сооружения центральной обогатительной фаб­ рики решение этого вопроса определяется не только тем, чтобы место являлось наивыгоднейшим с точки зрения расходов, связанных с транспортом. Здесь иг­ рает роль очень много иных факторов, в частности топология местности, близость топливной базы, ха­ рактер имеющихся дорог, вопросы жилищного строи­ тельства и ряд других. Но решение этой проблемы сначала в абстракции от ряда факторов дает некото­ рую отправную точку зрения — положение фабрики в первом приближении, которое будет изменяться в связи с введением в поле зрения ряда факторов, ра­ нее не учитывавшихся.

В указанном сборнике напечатано шесть статей, посвященных различным частным случаям трактуе­ мой проблемы. Одна из них посвящена вопросу гра­ фического метода определения точки наименьшего расстояния от четырех данных в плоскости точек в случае различных, сосредоточенных в этих точках масс. Другая статья дает аналитический вывод ус­ ловий Ламе, т. е. условий совпадения искомой точки с одной из данных в случае, когда дано в плоскости п точек с различными сосредоточенными массами. Хотя вывод этих условий, исходя из математических соображений, очень прост, однако аналитический ме­

39