Файл: Бычков, В. П. М. К. Гребенча (1897 - 1948). Страницы жизни и творчества.pdf

тод имеет известные теоретические преимущества в том смысле, что позволяет доказать существование единственного абсолютного минимума.

Третья статья содержит доказательство того факта, что в случае п данных в плоскости точек с различ­ ными сосредоточенными массами имеется лишь одна точка минимума, причем она заключена внутри /л-угольного контура, вершинами которого являются некоторые из данных точек, а прочие лежат внутри этого контура. Доказательство это было дано ранее Г. Штурмом в случае лишь равных масс, сосредото­ ченных в данных точках. Продолжением этой статьи, трактующей о приближенных методах отыскания по­ ложения искомой точки, является последняя статья сборника.

Четвертая статья излагает общий аналитический метод отыскания точки наименьшего расстояния для случая масс, расположенных дискретно и непрерыв­ но на кривой, причем транспорт их производится по этой кривой.

Вот более подробное содержание статей, помещен­ ных в рассматриваемом сборнике. В статье «Графи­ ческий метод определения положения точки напвыгоднейшего сосредоточения грузов из четырех данных точек» автор рассматривает на плоскости четыре точки Ai(x¡, уі) (і = 1, 2, 3, 4), являющиеся вершина­ ми выпуклого четырехугольника. Пусть имеем поло­ жительные числа Ші (¿=1, 2, 3, 4). Необходимо най-

¿=4

ти на плоскости точку В, так чтобы Ут;ВЛ;=тіп.

Обозначая координаты искомой точки через а и ß, можем сформулировать поставленную задачу так: при каких значениях а и ß

í=4___________________

5(а, ß) = ШіУ (а—+ (р—y,)«=min

Г- 1

40

этой системы приводит к решению уравнений высо­ кой степени, поэтому приходится пользоваться при­ ближенными методами. В конце статьи даны два при­

откатке масс, сосредоточенных на кривой» отмеча­ ется, что в статьях профессора Л. Д. Шевякова (Сбор­ ник статей по горному искусству) и инженера Па­ нова («По поводу одной задачи». Горный журнал, № 6—7) разрешается вопрос о точке наивыгоднейше­ го сосредоточения грузов при откатке в случае, если откатка производится по линии, на которой эти гру­ зы сосредоточены в отдельных точках. Метод Р. А. Селецкого, который излагает в своей статье Л. Д. Ше­

вместе с тем и более нагляден.

В настоящей статье излагается решение некото­ рых задач о точке наивыгоднейшего сосредоточения грузов методом, может быть, еще более громоздким, но зато дающим возможность приложить его к ряду аналогичных проблем. Приложение этого метода да­

ив работе [8].

Встатье делается следующий вывод М. К. Гребенчи: «Особенности экстремума этого рода (имеет­

41

ся в виду случай, когда графиком функции будет ломаная, некоторые звенья которой суть кривые с положительной кривизной) заключаются в том, что рассматриваемые функции непрерывны, а производ­ ные их разрывны, в силу чего функция может иметь экстремум в точках разрыва производной, в то время как классические условия равенства нулю производ­ ной могут и не иметь места. Поэтому аналитическая трактовка этих вопросов требует сложной аппарату­ ры, причем, конечно, не исключается возможность решения тех или иных частных проблем того типа более элементарными методами. Но, переходя к бо­ лее сложным проблемам, хотя бы того типа, который намечен профессором Л. Д. Шевяковым, необходим более общий метод.

Изложенный способ изучения функций С прерыв­ ными производными далеко не единственный и поэто­ му не лучший. Я провел рассуждения, пользуясь им в качестве метода, а не специального инструмента, в последующих же статьях постараюсь познакомить инженеров-аналитиков с рядом других аппаратов, более тонких, служащих той же цели, что и при­ веденный здесь, а именно с методами Фурье, с ин­ тегралом Стильтьеса, опять-таки с целью изложить метод, который мог бы быть предложен и в иных вопросах горного дела».

В остальных статьях излагаются аналогичные воп­ росы. Так, в статье «Аналитический вывод условий совпадения точки наивыгоднейшего сосредоточения грузов с одной из данных» приводится два конкрет­ ных примера.

Первый пример: решение задачи для случая шес­ ти точек Л,(0,0), Л2(4,0), Лэ(4,4), Л4(0,4), Л5(1,1),

Л6(2,2). В них сосредоточены массы ЛГ| = 1000, М2 =

=2000, М3=ЗООО, М4=4000, Л/5 = 2000, М6=2000. Счи­ тая стоимость транспорта на единицу длины равны­

42

ми между собой и так как числа Р,- можно заменить им пропорциональными, полагаем Р| = 1; Лг=2; Р3 = =3; Р« = 4; Р5= 2; Р6=2.

Второй пример: рассматривается случай для пяти точек, когда стоимость транспорта на единицу вре­ мени равна между собой.

Статья «Ограничение области точки наивыгоднейпіего сосредоточения грузов и существование абсо­ лютного минимума» имеет теоретический характер, а статья «Приближенные методы решения задачи о точке наивыгоднейшего сосредоточения транспорти­ руемых грузов» — практический характер, в ней под­ робно рассмотрены два примера нахождения точки наивыгоднейшего сосредоточения масс для трех и четырех точек.

Мы остановились более подробно на этих работах потому, что они представляют сейчас библиографиче­ скую редкость.

Работы М. К. Гребенчи над этой задачей привели его к написанию ряда математических работ чисто теоретического характера.

В одной из них излагается метод приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, дающий лучшую сходимость приближе­ ний, чем известные методы Руаде, Кутта и Адамса.

равностепенной непрерывности и доказал следующую

43

Учебники М. К. Гребенчи

Большой популярностью пользовались п до спх пор пользуются учебники М. К. Гребенчи. Они рас­ считаны на заочников и отличаются хорошим мето­ дическим качеством, ясностью и доступностью изло­ жения. Особенно это относится к его работе «Обык­ новенные дифференциальные уравнения», изданной в 1937 году [25] как учебное пособие для высших пе­ дагогических учебных заведений.

В предисловии автор раскрывает значение диф­ ференциальных уравнений для решения практичес­ ких задач и справедливо указывает, что класс урав­ нений, решаемых при помощи квадратур, весьма узок и поэтому наука о дифференциальных уравнениях пошла по пути отыскания качественных методов установления существования решения. Данная книга является шестой частью курса математического ана­ лиза, издаваемого Учпедгизом.

В учебнике отсутствует доказательство теоремы существования решения, дана только формулировка, которая используется на протяжении изложения неоднократно.

К одной из особенностей курса относится рас­ смотрение уравнений с постоянными коэффициента­ ми без использования формул Эйлера для функций комплексного переменного. Такая трактовка вызва­ на тем, что упомянутые уравнения изучались на вто­ ром курсе, где рассматривались ряды с действитель­ ными членами. Теория функций комплексного пере­ менного изучалась позже.

45

Кнпга содержит большое количество поясняющих теорию примеров, что облегчает изучение материала и повышает интерес изучающих. Кнпга имеет много методических достоинств и весьма печально, что она давно не переиздавалась.

Учебник арифметики для учительских институтов был издан впервые в 1947 году [36], переработанный Е. С. Ляпиным, он был издан повторно в 1952 году [42]. Эта книга является расширенным курсом школьной арифметики и преследует цель повысить научный кругозор учителя и частично быть исполь­ зованной при преподавании арифметики в школе. В учебнике излагается на высоком теоретическом уров­ не вся школьная арифметика. Переработанный и из­ данный в 1952 году учебник сохранил свой общий стиль. Были пересмотрены в смысле упрощения до­ казательства отдельных вопросов и введены некото­ рые новые разделы, вызванные изменением про­ грамм педагогических и учительских институтов. В самом начале была изложена теория количественно­ го и порядкового числа.

Самой крупной работой, имеющей большое значе­ ние для развития преподавания математики в выс­ ших учебных заведениях нашей страны, является издание М. К. Гребенчи совместно с С. И. Новосело­ вым курса математического анализа в двух томах.

С. И. Новоселовым в 1951 году. Курс неоднократно переиздавался и долгие годы служил основным учеб­ ником в педагогических институтах. Он используется как учебное пособие и в настоящее время. Теперь очень большой выбор учебников математического анализа, в которых авторы излагают материал в различных современных трактовках. В сороковых же годах, когда издавался первый том математического

46

анализа М. К. Гребенчи и С. И. Новоселова, наша методическая литература была очень бедна учебни­ ками математического анализа.

При написании курса авторы учитывали, что он предназначается главным образом для студентов физико-математических факультетов, будущих учите­ лей математики. Значительное внимание в курсе уде­ лено основным понятиям математического анализа, понятиям функции, предела, непрерывности. Эти по­ нятия имеют решающее значение не только для по­ нимания самого курса математического анализа, на и для школьного преподавания. Учебники содержат большое число примеров. Чтобы дать студентам воз­ можность читать современную научную литературу по математике, авторы при изложении курса по возмож­ ности старались использовать идеи современной ма­ тематики: понятия окрестности, отображения, поня­ тие аддитивной функции множества и др.

При повторном издании в 1948 году первый том был коренным образом переработан. Например, было полностью изменено изложение теории определенно­ го интеграла приближенно к общепринятому. Книга была разгружена от ряда лишних деталей, сокраще­ но излишнее многословие.

Второй том «Курса математического анализа» [43] издавался в 1961 году, уже после смерти Михаила Кузьмича, но основной текст этой книги был закон­ чен еще при его жизни. Авторы стремились сохра­ нить во втором томе тот же характер изложения, который был принят во втором издании первого то­ ма. В книге по возможности ясно и отчетливо изло­ жены принципиально важные вопросы курса. Ряд теорем и доказательств даны не в самой общей фор­ ме, однако в этих случаях точно ограничиваются ус­ ловия, при которых проведены соответствующие до­ казательства. Вместе с тем авторы выбирают такие

47

способы доказательств, при которых становятся оче­ видными возможные обобщения, и в наиболее важ­ ных случаях указываются пути этих обобщений. Ав­ торы стараются избегать повествовательной формы изложения и стараются сделать изложение строго систематическим и по возможности немногословным.

В 1949 году был издан еще один учебник Михаи­ ла Кузьмича, рассчитанный в основном на заочни­ ков, — «Теория чисел» [39]. В предисловии к этому учебнику даны методические указания для самостоя­ тельно изучающих теорию чисел. Книга написана доступным для самостоятельно изучающих языком. Несмотря на это, не нарушены также популярность и научная строгость изложения.

В книге приведены многочисленные примеры, со­ провождающие тексты доказательства. В конце ее дают­ ся упражнения с ответами и указаниями, а для пер­ вых глав курса — с решением. Методические указа­ ния содержат рекомендации для учителей средней школы, как использовать курс теории чисел для пре­ подавания математики в школе.

Остановимся кратко еще на нескольких работах М. К. Гребенчи.

В статье «Решение неопределенных уравнений пер­ вой степени» [23] рассматривается решение уравнений вида ах-)-by=с и приводятся конкретные примеры решения следующих типов уравнений:

5х+ 13у=7; 2х+ 11у=37; 12х—7у+5г=13.

Случай расположения точек на кривой рассматри­ вается в статье «Точка наименьшего расстояния от точек, расположенных на кривой» [6]. Для случая непрерывного распределения масс на прямой задача была решена М. К. Гребенной раньше и опублико­ вана в ученых записках Московской горной акаде­ мии.

48

В статье «Алгоритмический метод решения диофантовых уравнений» [1] автор замечает, что еще Эйлер в работе «Introductio in analysin infinitorum»

дал развитие метода приближенного вычисления дей­ ствительных корней алгебраического уравнения, ос­ нованный на применении возвратных рядов. Михаил Кузьмич обобщил этот метод и дал пример его при­ менения в статье, опубликованной в «Вестнике Мос­ ковской горной академии». В статье автор привел пример применения этого алгоритма для п данных чисел.

Замечательный человек и педагог Михаил Кузьмич Гребенча — это вдумчивый исследователь-математик, уделявший исключительное внимание вопросам препо­ давания математики в средней школе, заботившийся о качественном и количественном росте педагогических и учительских кадров нашей страны.

4 В. П. Бычков