Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

Глава 2

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

2. 1. СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Некоторое представление об анализе нестационарных систем можно получить на примере системы первого порядка, т. е. си­ стемы, описываемой обыкновенным линейным дифференциаль­ ным уравнением первого порядка

<х0(/).х (*) + <*! (О •*(')=«('). x(t0) r-*o> (2.1)

где x(t) = dx (t) dt

Предположим, что в замкнутом интервале [а, Ь] функции ao(Oi a i ( ^ ) и u(t) непрерывны и при некотором to, принадлежа­ щем [a, b], x(to)=xo (начальное условие). Принимая во внима­ ние, что

20

Производя потенцирование и умножая на х0, находим решение однородного уравнения (2.3):

Интегрируя уравнение (2. 12), находим

21

х (t) — ехр

<0

или, после интегрирования,

Очевидно, что решение для 4 = 0 не существует, так как иначе в послед­ ней формуле было бы деление на нуль. Легко показать, что эта трудность возникает всякий раз, когда a0(t) обращается в нуль.

Основные положения этого раздела суммируются в приводимых далее тео­ ремах о существовании и единственности.

Теорема 2.1. Дифференциальное уравнение (2. 1) при ao(t), ai(/) и u(t) в виде непрерывных функций на интервале [а, Ь] имеет в этом интервале единственное непрерывно дифференци­

22

Для упрощения последующего сравнения с системами вы­ сокого порядка перепишем уравнение (2. 1) в виде

x(t)=A(t)x{t)-\-B(t)u{t),

этого можно сформулировать теорему (2.1) следующим образом.

имеет в этом интервале единственное непрерывно дифференци­ руемое решение

если to принадлежит интервалу [a, b].

Заметим, что для системы, выходной сигнал которой образу­ ется умножением координаты на переменный коэффициент уси­ ления, т. е. для системы, описываемой уравнениями

23

Легко видеть, что знание функций cp(t, т) и Q(t, т) очень важно при нахождении реакций системы, описываемой уравне­ ниями (2.20), на различные входные сигналы и начальные ус­

2.2. СИСТЕМЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Теорема 2. 1 формулирует условия существования и единст­ венности решения линейного дифференциального уравнения пер­ вого порядка с переменными коэффициентами. Фактически эта теорема дает решение в квадратурах, т. е. для его получения требуется конечное число алгебраических операций и операций интегрирования. Для уравнений более высокого порядка точное решение в квадратурах, подобное решениям (2.6), (2.19) и (2.23), не может быть получено. В каждом случае для полу­ чения решения соответствующего однородного уравнения прихо­ дится производить самостоятельный анализ. При этом приемы, успешно применяемые при решении одного уравнения, обычно непригодны при решении другого.

Однако и для уравнений более высокого порядка имеются теоремы существования и единственности, подобные соответст­ вующим теоремам для уравнения первого порядка. Более того, если решение однородного уравнения получено, то решение не­ однородного уравнения можно найти способами, аналогичными тем, которые применяются для уравнений первого порядка.

2 . 2 . 1 . Определения. Любая линейная нестационарная систе­ ма п-го порядка может быть описана следующей системой из п обыкновенных линейных дифференциальных уравнений перво­ го порядка:

24