|
Лемма la. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(t, |
т)=ср(Л t)g(t), |
|
|
(8.155) |
то |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1|Ч(Л |
T)||<||g(t)||exp f lM{l)dl, |
|
(8.156) |
где |
hm(t) |
— максимальное |
собственное |
значение |
матрицы |
U |
(t) = -^- |
[A (t)-\- А' (Л], |
а||-|| |
означает |
евклидову норму. |
|
Доказательство. |
Производя |
дифференцирование |
уравнения |
(8. 155) по t и замечая, что d<f^' |
=А |
(Л y(t, |
х), находим |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dq(t. |
х) = A |
^ q ^ |
т ) ; |
' |
|
(8.157) |
Следовательно,
- | - [ q ' ( ' . t)q(/, т)] = Ч ' ( Л т)[А'(Л + А ( Л ] Ч ( / , t) =
=2q'(V, T)U(0q(/, г). |
(8.158) |
Используя неравенство (8. 112), получим |
|
[q' (/, t) q (/, t)] < 2ХЖ (Л q' (Л t) q (/, t) . |
(8. 159) |
at |
|
Производя интегрирование в пределах от т до t и принимая во внимание, что
q'(T, |
t ) q ( t , t) = g ' i t )g ( t ) , |
(8.160) |
находим (после потенцирования): |
t |
|
|
|
|
|
q'(t, x)q[t, |
T )<g '(t )g (t )exp (' 2lM(4)dl |
(8.161) |
Согласно определению евклидовой нормы, |
|
||Ч '(Л |
т ) | И [ Ч ' ( Л |
t)q(*. T ) ] V . |
(8.162) |
Подстановка выражения |
(8. 162) |
в неравенство (8. 161) |
доказы |
вает лемму. |
|
|
|
|
Лемма 16. Если |
|
|
|
|
q(/, |
т) = (р(/, T)g(r), |
(8.163) |
то |
|
|
|
|
||q(/, T)||<||g(T)||exp J||A(S)||rf5, |
(8.164) |
где 11-11 — как-либо определенная норма. |
|
Доказательство. При учете неравенства
|
|
|
|
|
|
d l l q C |
t|| |
< |
Idq |
|
|
|
|
(8. |
165) |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вытекающего из неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d\\9(t, |
х)\ |
|
'd<?(t, т) |
|
|
|
(8. |
166) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
доказательство следует доказательству леммы 1а. |
|
|
Лемма 2. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
q(/, т) = <р(*. |
t)g(T) |
|
|
|
|
(8.167) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
8 / У ) \ щ } |
|
(8. |
168) |
|
|
Р (0 = |
max |
У |
[Ъции(/) |
+ |
(1 - |
(t)\\, |
|
|
|
|
где P(t)—интегрируемая |
7 = 1 |
|
|
ua(t), |
i, |
j=l, .. |
п — эле- |
|
функция, |
менты матрицы |
U(f) и б,,-—символ |
Кронекера *, то |
|
|
|
|
|
|
||q(', |
t)||<g(T)exp |
f |
|
Pftdl |
|
|
(8. |
169) |
Доказательство. Доказательство начинается с рассмотрения |
уравнения |
(8. 158), |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
[q'(t, |
t)q(f, |
t)] = |
2q'(/, |
r) U (/) q (t; X) |
1. |
170) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя очевидные неравенства, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ [ q ' ( / , |
x)q(t, |
t)] = |
2 ^ « „ ( ^ |
( |
/ , |
t) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/-1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
2 |
Y |
и ; |
/ ( / ) ? / ( ' , *)qj(t, |
t ) < 2 V ? |
] |
(/, |
t)2 |
1 |
+ |
|
|
1=1 |
/-1 |
|
|
|
|
|
|
;=1 |
|
|
|
|
|
4r2y4^(\-bl])\ulj(t)\qi(t, |
|
|
|
x)qj(t, |
t) sign |
|
|
|
|
i-l |
y=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 2 V ? ! (/, г) V |
М/У W + 2 2 (1 |
- M M 0 1fo?С ^) + |
|
i-a |
|
|
|
|
|
|
;-l;=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; = 1 |
|
|
|
|
|
* b[j= |
|
0 |
при j |
; |
|
|
редактора) |
|
|
|
|
|
|
j j |
"1 |
• |
• ( п Р и м е ч - |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
г = |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2<7,2(/, ^^(l-MI^ WH |
|
|
|
|
/-1 |
i-i |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 2 ^ ( 4 |
t ) V 8 |
^ ; (0 + |
|
|
|
|
|
|
i-i |
j=\ |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 2^?^. |
* ) 2 ( i - M « < / W i - |
|
|
|
Учитывая, |
что uij{t)=uji{t), |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
„ |
|
A [q' (f, t) q (7, t)] = 2 ^ |
(/, |
x) V |
[ 8 |
^ (*) |
+ |
|
|
|
|
t=l |
|
;=1 |
, |
|
|
|
+ (1 |
Wll < 2 max 2 [hjUij |
(0 + 0 |
- 8 „ ) k / |
WU 2 ^(/'т)" |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8. |
171) |
Принимая |
во |
внимание |
выражение |
(8. 168) |
для |
P(t), |
по |
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[q' (t, |
X) q (t, X)] < 2P (t) q' (/, t) q |
t) . |
(8. |
172) |
Остальная часть доказательства леммы 2 проводится так же, как доказательство леммы 1.
Рассмотрим теперь две теоремы, дающие достаточные усло вия ограниченности на конечном интервале.
Теорема 8. 14а. Для линейной системы, описываемой уравне нием (8.151), достаточное условие ограниченности на конечном
интервале |
в отношении «о, Sf(t), c(t), |
Т |
заключается |
в выполне |
нии условия |
|
|
|
|
|
|
t |
t |
t |
|
|
|
Ч |
exp J Хж {%) # |
+ | в / (т) exp |
j |
\ M |
{%) dldx^c(t) |
(8.173) |
|
to |
t0 |
* |
|
. |
|
ча интервале [t0, t0 + T], где KM(t) — максимальное собственное значение матрицы
и ( / ) = у [ А ( ' ) + А ' М ] . *
Доказательство. Решение уравнения (8. 151) имеет вид
х |
W |
o |
) |
+ f <р(Л x)i(x)dx. |
(8.174) |
'о
Вводя векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q,(/, t0) = <?(t, t0)x(t0), |
|
|
(8.175) |
|
|
qf(t, |
тг) = ср(/, |
t ) f ( t ) , |
|
|
(8. 176) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = |
qx(t, |
/0 ) + J q,(*, т)а?т. |
|
(8. 177) |
|
|
|
|
|
'о |
|
|
|
|
Отсюда находим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
1|х(Л|Г<ЦЧ ,(А /о)И+ ( |
|
aft. |
|
(8. 178) |
Применяя лемму 1, имеем |
|
|
|
|
|
|
Их (/)|| < |
||х (/0)|| ехр I Хм |
(?) d% + |
j ||f (т)Ц ехр j Хм |
(?) d t f t . (8.179) |
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
| | х ( / 0 ) | ] < £ 0 |
|
|
(8.180) |
|
|
|
| | f ( 0 l l < ^ ( 0 , |
|
|
(8Л81) |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||х [t)\\ < |
s0 ехр j |
ХЛ (?) # + j Е / (t) ехр j Хж (?) |
rfwt. |
(8.182) |
Если правая |
часть |
неравенства |
(8. 182) |
меньше,* чем |
с(Я, то |
\\x(t) \\^c(t), |
т. е. система |
ограничена на |
конечном интервале. |
Следовательно, достаточное условие ограниченности на конеч
ном интервале |
сводится |
к |
выполнению |
неравенства (8.173) на |
интервале [to, |
t0+T]. |
|
|
|
|
|
Теорема 8. 146. Для линейной системы, описываемой |
уравне |
нием (8. 151), достаточное |
условие ограниченности на |
конечном |
интервале в отношении |
во, е/(Л, c(t), |
Т заключается |
в |
выпол |
нении условия |
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
t |
|
|
|
e0 expJ||A(5)|kf6+ f е,(г)ехр j | | A ( 0 | | r f 6 r f t < c ( / ) |
|
(8. 183) |
to |
|
to |
* |
|
|
|
на интервале [t0, to + T], где || • || — как-либо определенная норма. Доказательство. Доказательство производится так же, как доказательство теоремы 8. 14а с тем лишь отличием, что вместо
леммы 1а используется лемма 16.
Поскольку ядра всех интегралов в неравенстве (8.183) по ложительны, можно верхний предел некоторых или всех инте гралов заменить с t на to + T, что не изменит неравенства.
