Файл: Основная часть. 4 I. Квадратичные формы..doc

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Теория евклидовых пространств зиждется на положительно определенной квадратичном форме, с помощью которой они и задаются. Но в математических, так же как и в механи­ческих и физических джунглях, мы встречаемся со многими другими квадратичными формами. Как сказал Дьедонне, нет ни одной математической теории, в которой не участвовала бы какая-нибудь билинейная форма. Упомянем здесь хотя бы следующие примеры:

гильбертовы пространства и соболевские пространства в анализе; квадратичная или альтернированная форма, определяющая u-произведение на когомологиях средней размерности компакт­ного многообразия; в теории чисел: разложение чисел в суммы квадратов; в дифференциальной геометрии: риманова геометрия или гео­метрия лоренцевых многообразий, используемых в теории отно сительности;

в механике: форма Лиувилля и вся симплектическая геометрия, а также теория торсоров.

В данной работе мы затронем несколько вопросов теории квадратичных форм и квадрик, имея в виду прежде всего геометрические приложения: определения и приведение к каноническому и нормальному виду квадратичных форм и квадрик, классификация квадрик в двумерном и трёхмерном аффинном и евклидовом пространствах и др.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

I. Квадратичные формы.

1.Определения. Примеры.

Рассматриваем квадратичные формы только над полем дей­ствительных чисел R.

Определение. Квадратичной формой f(x₁,…,x_n)

---

над R от неизвестных x₁, ..., x_n называется однородный многочлен

(1)

степени 2, где и не все коэффициенты нулевые.

Таким образом, каждый член квадратичной формы содержит или квадрат одной из переменных, или произведение двух разных пере­менных.

Переменные можно рассматривать как аффинные координаты точки пространства или как координаты вектора пространства . Будем обозна­чать квадратичную форму от переменных через или просто через .

Пример 1.  квадратичная форма от переменных .

Пример 2.  квадратичная форма от переменных .
Матрица



называется матрицей квадратичной формы (1). Так как

---

, то эта матрица симметрическая: её элементы симметричные относительно главной диагонали равны между собой.

Линейным преобразованием переменных называется такой переход от системы n переменных к системе n переменных , при котором старые переменные выражаются через новые при помощи линейных формул



или,

(2)

где коэффициенты образуют невырожденную матрицу.

Если переменные рассматривать как координаты вектора пространства относительно некоторого базиса , то это преобразование можно истолковать как переход в к новому базису , относительно которого этот вектор имеет координаты .

В дальнейшем мы будем рассматривать квадратичные формы и линейные преобразования только с действительными коэффициентами. Будем считать, что и переменные принимают лишь действительные значения.

Если в квадратичной форме (1) переменные подвергнуть линейному преобразованию (2), то получится квадратичная форма от переменных с новыми коэффициентами.

Любую квадратичную форму 2 можно привести к виду, содержащему только квадраты новых переменных



Такой вид квадратичной формы называется каноническим; матрица формы в этом случае является диагональной



Если, в частности, коэффициенты

---

равны или 0, то этот вид квадратичной формы называется ее нормальным видом.

Пример 3. Известно, что уравнение центральной кривой 2-го порядка



с помощью перехода к новой системе координат по формулам



можно привести к виду

.

Квадратичная форма при этом принимает канонический вид.

2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Лемма 1. Если квадратичная форма

(3)

не содержит квадратов переменных, то с помощью линейного преобразования ее можно привести в форму, содержащую квадрат хотя бы оной переменной.

Доказательство. По условию квадратичная форма содержит только члены с произведениями переменных. Пусть при каких-нибудь различных значениях и , т.е. – один из этих членов. Если выполнить линейное преобразование



(его определитель не равен 0), то в квадратичной форме появятся даже два члена с квадратами переменных

.

Эти слагаемые не могут исчезнуть после приведения подобных членов, т.к. любое из остальных слагаемых содержит хотя бы одну переменную, отличную от y_iиy_j.

Лемма 2. Если квадратичная форма (3) содержит член с квадратом переменной, например член , и еще хотя бы один член с этой переменной , то с помощью линейного преобразования данную квадратичную форму можно перевести в форму от переменных

---

, имеющую вид

(4)

где g – квадратичная форма, не содержащая переменной y_i.

Доказательство. Выделим в квадратичной форме (3) сумму членов, содержащих переменную x_i:

(5)

где через g₁ обозначена сумма всех остальных членов (не содержащих переменную x_i). Введем также обозначение



Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов, сложенной с удвоенными произведениями каждого члена на каждый из последующих. Следовательно, если в выражении для y_i² выделить сумму членов, содержащих переменную x_i, то эта сумма будет содержать квадрат члена a_iix_i и удвоенное произведение этого члена a_iix_i на остальные члены многочлена

(6)

где g₂ – сумма членов, не содержащих переменную x_i.

Разделим обе части выражения (6) на a_ii и вычтем полученное равенство из выражения (5). После приведения подобных членов будем иметь



Выражение в правой части не содержит переменной x_i и является квадратичной формой от переменных x₁, x₂,…,x_i-1,x_i+1,…,x_n. Обозначим его через g, а коэффициент  через d_ii. Тогда



Если произвести линейное преобразование

(определитель которого не равен 0), то g будет квадратичной формой от переменных и квадратичная форма f окажется приведенной к виду (4).

Теорема. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью линейного преобразования переменных.

---