Файл: Основная часть. 4 I. Квадратичные формы..doc

и при ;

3) пусть теперь m<n и хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, например, . Выполнив преобразование координат по формулам



приведем уравнение (24) к виду

.

После преобразования координат по формулам



получим уравнение



где при и при .

Теорема доказана полностью.

Уравнения (21), (22), (23) называются нормальными видами уравнения квадрики.

3. Центр квадрики.

Определение. Точка S называется центром симметрии или просто центром квадрики, если точка, симметричная любой точке квадрики относительно S, также принадлежит квадрике.

Теорема. Если уравнение квадрики имеет вид (21) или (22), то точка , для которой , является центром квадрики.

Доказательство. Если точки и симметричны относительно точки S, то

,

откуда



Т.к. s₁= s₂=…= s_m=0, то

---

Уравнения (21) и (22) содержат координаты точки только во второй степени; следовательно, если координаты точки M' удовлетворяют какому-либо из этих уравнений, то этому же уравнению удовлетворяют координаты точки M''. Т.к. точка M'' симметрична точке M' относительно S, то S – центр квадрики.

Из теоремы следует, что все точки (nm)-мерной плоскости, имеющей уравнения

(25)

являются центрами квадрики (21) и (22); можно доказать, что других центров квадрика не имеет.

В частности, при m=n эта плоскость является нуль-мерной: уравнениям (15) удовлетворяют координаты единственной точки – начала координат. В этом случае квадрика имеет единственный центр.

Можно доказать, что квадрика (23) не имеет ни одного центра.

Т.к. уравнение квадрики всегда может быть приведено к виду (21), (22) или (23), то для любой квадрики имеет место один и только один из следующих трех случаев:

1) квадрика не имеет центра;

2) квадрика имеет единственный центр (тогда она называется центральной);

3) квадрика имеет бесконечное множество центров, являющееся некоторой плоскостью.

4. Аффинная классификация квадрик.

1. Эллипсоиды и гиперболоиды. При m=n уравнение (21) имеет вид

(26)

где равны +1 или 1.

В зависимости от знаков получаем квадрики различных видов:

1) при квадрика называется эллипсоидом и имеет уравнение



Внешне это уравнение напоминает уравнение сферы евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат, однако следует помнить, что мы пользуемся единой системой координат, а понятие сферы в аффинной геометрии отсутствует.

2) при уравнение (26) принимает вид



Т.к. мы рассматриваем действительное аффинное пространство

---

, то точек с координатами, удовлетворяющими этому уравнению, не существует. Однако по аналогии с предыдущим случаем это уравнение называют уравнением мнимого эллипсоида.

3) если не все одинаковы, то квадрика называется гиперболоидом.

Таким образом, эллипсоид и гиперболоид являются центральными квадриками.

2. 
   Конусы. При m=n уравнение (22) имеет вид
   

(27)

где равны +1 или 1.

1) Если знаки не все одинаковы, то квадрика называется конусом. Конус – центральная квадрика, центр конуса называется его вершиной. Центром конуса (27) является начало координат.

Если координаты точки А(а₁, а₂,…,а_n), отличной от вершины конуса, удовлетворяют уравнению (27), то этому уравнению удовлетворяют и координаты любой точки вида (tа₁, tа₂,…,tа_n). Множество всех таких точек является прямой, проходящей через А и вершину конуса – начало координат. Эта прямая целиком принадлежит конусу и называется его прямолинейной образующей.

2) Если , то квадрика (27) состоит из единственной точки (начала координат) и называется мнимым конусом с вершиной в этой точке.

3. Параболоиды. При m=n1 уравнение (23) принимает вид

(28)

где равны +1 или 1.

Квадрика в этом случае называется параболоидом. Параболоид не имеет центра.

4. Цилиндрические квадрики. Если в уравнениях (21) и (22) m<n, а в уравнении (23) m<n1, то, полагая в (21) и (22) m=r, а в (23) m=r1, получим соответственно

, (29)

, (30)

, (31)

где r<n и

---

равны +1 или 1.

Квадрика, для которой (29), (30) или (31) является нормальным уравнением, называется цилиндрической.

Можно показать, что цилиндрическая квадрика состоит из параллельных друг другу (nr)-мерных плоскостей (образующих), пересекающих некоторую квадрику (направляющую), лежащую в r-мерной плоскости. Квадрики (29) и (30) имеют в общем случае бесконечное множество центров, являющееся (nr)-мерной плоскостью. Квадрика (31) центров не имеет.

Аффинная классификация квадрик в пространстве А₂. Уравнение любой квадрики может быть приведено к одному из следующих нормальных видов:

а) неконические центральные кривые:

1)  эллипс;

2)  гипербола;

3)  мнимый эллипс;

б) конические центральные кривые:

4)  пара пересекающихся мнимых прямых;

5)  пара пересекающихся действительных прямых;

в) нецентральные нецилиндрические кривые:

6)  парабола;

г) цилиндрические кривые, имеющие центры:

7)  пара параллельных прямых;

8)  пара мнимых параллельных прямых;

9)  пара слившихся прямых.

Любые две квадрики, принадлежащие к одному и тому же классу, аффинно эквивалентны. Это связано с тем, что формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой и формулы аффинных преобразований с алгебраической точки зрения имеют один и тот же вид.

Заметим, что квадрики с различными нормальными уравнениями могут оказаться одинаковыми точечными множествами. Так, например, мнимый эллипс и пара мнимых параллельных прямых – пустое точечное множество. Поэтому квадрики, принадлежащие различным классам, иногда могут оказаться аффинно эквивалентными; с геометрической точки зрения эти классы тогда не различаются между собой.

---

5. Квадрики в Евклидовом пространстве.

Упрощение уравнения квадрики производится вначале по тому же плану, что и в п. II.2, с той лишь разницей, что квадратичная форма, содержащаяся в левой части уравнения (20), приво­дится к каноническому виду с помощью ортогонального преобразо­вания (а не произвольного линейного, как раньше). С геометри­ческой точки зрения это означает переход к новой прямоугольной декартовой системе координат, получаемой из исходной прямоуголь­ной декартовой системы координат с помощью вращения вокруг на­чала координат. Подвергая затем полученную систему координат параллельному переносу, приведем уравнение квадрики к

, (32)
где mn и коэффициенты не равны нулю.
При дальнейшем упрощении уравнения квадрики обычно уже не удается добиться того, чтобы все коэффициенты при квадратах координат были равны +1 или 1. Это связано с тем, что при по­мощи ортогонального преобразования квадратичная форма не всегда приводится к нормальному виду. Поэтому в пространстве Е_n уравнение квадрики в общем случае уже не удается привести к такому же простому виду, как в пространстве А_n.
Так как конгруэнтные фигуры являются также и аффинно экви­валентными, то аффинная классификация квадрик, установленная в п. II.4, остается в силе и для пространства Е_n. Однако не всякие аффинно эквивалентные фигуры конгруэнтны; поэтому каждый из классов аффинной классификации может быть разбит на бесконечное множество классов так, что любые две квадрики из одного класса конгруэнтны, а любые две квадрики из разных классов не конгру­энтны. В связи с этим появляется возможность выделения новых видов квадрик, не рассматривавшихся в А_n.
6. Классификация квадрик в трёхмерном евклидовом пространстве.

Классификация квадрик в пространстве Е₂ совпадает с приведённой ранее классификацией в пространстве А₂

---