Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.02.2024

Просмотров: 243

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

получаем

на

кривой

оп =

—р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0у

а* = =£ -р=- sin 2 <р =

k sin 2ф;

 

 

 

 

 

 

 

хху — ±

а-

 

3

ф = k cos 2 ф,

 

 

<4 -8)

 

 

 

 

 

 

cos 2

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

k — ± Oi/ÿ~3*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя выражения (4.8) в равенства (4.4),

получаем при

k — const,

т. е.

в

случае допущения

идеальной

пластичности

деформируемого

тела,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ж

 

=

~

2k cos 2 ф

~

2k sin 2 Ф -g- ;

 

 

 

 

 

 

T j =

-

2k sin 2 Ф -g - +

2k cos 2 Ф

.

 

 

 

Приращение бр на участке дуги

рассматриваемой

кривой

AB = ôs

определится

равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

Ьр =

а? Ьх + 1%ЬУ = — 2k (cos2ф'Й' + sin2<Pж

)

+

 

 

 

+

 

2 Æ^— sin 2 ф

+ cos 2 ф

бр.

 

 

 

Принимая

во

 

внимание

равенства (4.5), имеем

 

 

 

 

бр = •— 2k (cos 2 ф cos ф +

sin 2 ф sin ф)

ôs —

 

 

 

 

— 2k (sin 2ф cos ф — cos 2ф sin ф ) -|2 - Ô S,

 

 

или

после очевидного тригонометрического преобразования

 

 

 

бр — — 2 &

 

cos ф05 -f

 

sin фбв^ ,

 

 

 

т. е.

в силу

равенств

(4.5),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ôp =

— 2k (-^-бх + ^

бр) = — 2 А0ф.

 

 

Окончательно

получаем на участке дуги АВ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б(р +

2£ф) =

0.

 

 

 

 

(4.9)

Таким

образом,

вдоль

рассматриваемой

кривой

выражение

р +

26ф

[т. е. либо

р +

(2 IŸ~3) <тгф,

либо р — (2/ ] / 3 ) <х;ф] сохра­

няет

постоянное

значение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 19 мы видим, что касательное напряжение хп на пло­

щадке АВ определится

равенством

 

 

 

 

 

 

 

T „ÔS =

ххуcos фбх — ххуsin фбу + оуsin ф бх — ахcos ф бр,

т. e. после подстановки выражений (4.5) и сокращений получим

т„ = ххуcos 2ф -f

sin 2<p.

(4.10)

Принимая во внимание равенства (4.8), после преобразований имеем

т„ =

(4.11)

Это означает, что рассматриваемая линия является траекто­ рией максимальных по абсолютному значению касательных на­ пряжений. Такие линии в задачах плоского пластического тече­ ния физических тел называют л и н и я м и с к о л ь ж е н и я .

Через каждую точкусечения тела, претерпевающего плоскую пластическую деформацию, можно провести две взаимно орто­ гональные линии скольжения. Вдоль одной из этих линий будет

сохранять неизменное значение выражение /?+(2 /у гЗ)<ггф, где р —

гидростатическое

давление (при плоском течении —р = (ах +

+ оу)12 = (ох +

оу + о2)/3).

Вдоль второй из линий скольжения, проведенной через ту же

точку, как и первая, ей ортогональная, должно сохранять по­

стоянное значение выражение р — (2/J /3 ) <Т;ф.

Это свойство линий скольжения, а также то обстоятельство, что в любой стадии плоской пластической деформации тела ли­ ния скольжения составляет неизменные углы (±45°) как с направ­ лением наиболее быстрого удлинения материальных волокон, так и с направлением наиболее быстрого укорочения, широко используется многими отечественными и зарубежными исследо­ вателями.

Данное свойство линий скольжения позволяет, если произ­ вести несложные подсчеты, приближенно оценить значение по­ требного усилия процессов обработки металлов давлением. Дей­ ствительно, из чисто логических умозаключений можно всегда приближенно судить о направлении наибольшей скорости удли­ нения материальных волокон в любой стадии рассматриваемой технологической операции в различных зонах деформируемого металла. На эскизе, изображающем рассматриваемую стадию процесса деформации, можно начертить кривую, составляющую на всем своем протяжении одинаковый угол (45°) с направлением наибольшей скорости удлинения соответствующих материальных волокон (рис. 20). Эта кривая и будет изображать линию сколь­ жения. Понятно, что она не будет математически точно совпадать с истинной линией скольжения. Тем не менее полный угол пово­ рота касательной к линии скольжения на всем ее протяжении от некоторой точки А на поверхности контакта деформируемого металла с инструментом до точки В на свободной поверхности удается определить с приемлемой точностью.

Пусть А<р этот угол, тогда разность гидростатических давле­ ний в точках А и В определится равенством

Р а

— Р в — ( 2 //3 ) о, Аф.

На рис. 20 изображен

случай, когда в точке В

<?з = % =

0;

ot = <Tj — о3 = (2 //3 ) ар,

(<*i +

<*з)/2 ==— Ра = а ;/ |/ 3 .

В этом случае Дф«*я.

В точке Л (в плоскости симметрии подвижной детали инстру­ мента)

°лг= °з — — Рг! *1 -

<*з =

(2 /К з) ст(; <Та =

(2/]/з) о,- -

рг;

 

— Рд =* К

+

°з)/2 =

{а,/)/з) -

рг.

 

Итак, в случае,

изображенном на

рис. 20,

 

 

Ра ~ Рв — (2/V3) о{л = (— (ст(/ / з )

+ р2) + (ог,//з) =

рг,

т. е. давление в

точке А рг = (2/]/з)

а,я.

 

 

Теория пластичности использует свойства линий скольжения при решении задач малой упругопластической деформации как в случае плоской деформации, так и в случае плоского напряжен­ ного состояния (ог — 0 ; ххг = 0 ; = 0 и ах, ау, ххуот г не зависят), а также для решения задач плоского пластического течения иде­ ально пластичного вещества. При этом любое решение задачи

должно удовлетворять системе трех уравнений с тремя неизвест­ ными (4.4) и (4.7).

Заметим, однако, что не всякое решение системы, удовлет­ воряющее граничным условиям, заданным в напряжениях, яв­ ляется истинным решением задачи, поскольку истинное решение должно удовлетворять некоторым обязательным для данной задачи граничным условиям, выраженным через составляющие vx и vy вектора скорости и их производные по координатам.

В заключение разберем один из методов построения сетки линий скольжения, и определения напряжений при плоской деформации идеально пластического тела. Решая задачу плоской деформации идеально пластического тела, многие исследователи строят в целях детального изучения напряженного состояния два взаимно ортогональных семейства линий скольжения. Для этого применяют различные приемы численного или аналитического интегрирования системы дифференциальных уравнений (4.4). Приведем еще один, в некоторой степени оригинальный метод решения этой системы уравнений. Как это делает большинство авторов, примем

 

(ох— оу)/2 =» k cos 2а; хху= k sin 2а;

1

 

 

Р = — (<**+ »*)/2 = — 2éx.

 

)

 

где k =

o j Y 3 — заведомо положительная величина, а 2а

может

иметь любое значение в пределах 0 < 2а <

2 л, т. е. величины

(а* — оу)/2 и тху могут иметь в зависимости

от

условий

задачи

любой

знак.

 

 

 

После подстановки выражений (4.12) в равенства (4.4) имеем известную в теории пластичности систему уравнений:

-Ж “ sin2a- È K cos2a- |r = 0;

- | - + cos2a - | - + sln 2a - g - = 0 .

При решении этой системы уравнений можно перейти к новым независимым переменным rç и Ç, связанным с переменными х и у следующими дифференциальными зависимостями:

qx dr\ = cos (а — я/4) dx -j- sin (а — я/4) dy\

j

(4 H)

qt dt, = — sln (а — я/4) dx - f cos (a — я/4) dy.

j

 

В таком случае

дц

_

c o s ( a

—

я / 4

) .

Эт|

_

s in

( a

— я / 4 ) .

дх

~

qt

( a

—

ду ’

~

qt

( a

— я

/ 4 )

(4.15)

д£

 

s in

яdt,/ 4

) .

c o s

d x

~

q2

 

’

d y

~

q t

 

 

 

 

Переменные qt и q%могут быть заданы так, чтобы система урав­ нений (4.15) оказалась совместной. Понятно, что функциональ­ ные зависимости переменных qx и q2 от аргументов х н у или от

1 0 8

аргументов t) и £ нам заранее неизвестны,

но,

для того

 

чтобы

 

перейти в системе уравнений (4. 13) от аргументов х, у к аргумен­

 

там

т), £, нет

необходимости

знать

выражения

переменных

qt

 

и q2 через аргументы х, у или г],

£.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимая

во

внимание

(4.15),

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

д а

д а

дт|

 

д а

 

 

cos (а — я/4)

д а

 

 

sin (а — я/4)

д а .

 

 

д х

дт)

д х

 

д£

д х

 

 

Яг

 

 

дт]

 

 

 

 

-

^

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft

 

 

 

 

 

 

 

д%_

cos (а — я/4)

д х

 

sin (а — я/4)

дх .

 

 

 

 

 

 

 

д х

 

 

 

Яг

 

drj

 

 

<72

 

 

д£

’

 

 

 

 

 

 

 

д а

 

sin (а — я/4)

д а .

cos (а — я/4)

д а .

 

 

 

 

 

 

 

~ ¥

 

 

Яг

 

drj

'

 

Я*

 

 

д£

’

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

sin (а — я/4)

д%

|

cos (а — я/4)

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

ду

 

 

 

Яг

 

д ц

1

 

Я2

 

 

aç

•

 

 

 

 

Подставляя эти выражения в уравнения (4.13), после очевидных

 

тригонометрических преобразований,

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

' sin ( «

+

я/4) д а

,

cos ( а +

я/4)

д а .

 

f

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f t

 

 

 

 

дт|

 

д£ +

 

 

 

 

 

 

.

cos ( « — я/4)

д%_

sin (а — я/4)

д%

_

~

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

ft

 

 

дТ|

 

 

 

ft

 

 

%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos (а +

я/4)

д а

,

sin (а + я/4)

 

д а .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f t

 

liT +

 

 

ft

 

 

% +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

sin ( а — я/4)

д х

■ cos ( а

— я/4)

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

Яг

 

 

dr)

+

 

 

f t

 

 

ag

 

 

 

 

 

 

 

Замечаем,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin (а -{- я/4) =

 

sin (а — я/4 +

я/2) =

cos (а — я/4);

 

 

 

 

 

cos (а -f- я/4) =

cos (а — я/4 + я/2) =

— sin (а — я/4),

 

 

 

 

и получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c o s ( а —

я / 4 ) /

 

 

 

д а .

д х

\

 

 

 

s in

( а — я / 4 )

/

д а

.

----й—

(— ЯГ +ИГ)------ S—

YW +Ж ) = °’

 

 

 

 

s in

( а —

я / 4 ) / да , дх \ ,

c o s

 

( а — (дя /а4 )

,дх \ _

л

 

 

 

 

 

f t

\

 

дх\ + дл

) +

 

 

f t

 

\ a ;

+

as

J -

и -

 

 

 

 

Нетрудно убедиться в том, что система (4.16) может быть сов­

 

местна только

в

случае,

когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

дх = 0;

 

да

,

д х

~

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дт)

‘

дт|

 

 

 

а;

+

а$

0,

 

 

 

 

 

 

т. е.

когда

 

 

X — “ = /х (£);

х + а =

/!2(т)).

 

 

 

(4.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти равенства известны в теории пластичности. Линии постоянных значений переменной tj, как и линии постоянных значений пе­ ременной £, являются характеристиками системы уравнений (4.13).

Смотрите также файлы