Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

В случае идеально пластического вещества мы имеем восемь уравнений с восемью искомыми переменными. Эта система урав­ нений легко приводится к системе семи уравнений с семью иско­ мыми переменными путем исключения переменной р из равенств

(4)—(6) системы (4.29) и замены этих трех равенств двумя:

Решение осесимметричной задачи пластического течения свя­ зано со значительными трудностями, чем решение плоской задачи. Как мы убедились, плоская задача течения идеально пластичного вещества сводится к системе трех уравнений с тремя искомыми переменными — компонентами напряжения, т. е. к задаче, ко­ торая была бы статически определима, если бы можно было счи­ тать статически определимыми и граничные условия (что, однако, не всегда имеет место).

Как известно, осесимметричную задачу течения идеально пла­ стичного вещества не удается свести к системе уравнений в на­ пряжениях.

Решений этой задачи как задачи теории пластичности известно немного. Сюда относятся следующие наименее сложные частные случаи: 1) когда

dt’r _ dvz _л

дг ~ дг ~ и

(например, стенка полого цилиндра под одновременным действием внутреннего гидростатического давления и осевой растягивающей силы); 2) когда

vg 1 \г + а)

(например, затекание пластического вещества в коническую по­ лость), где /■— коэффициент контактного трения.

114

Действительно, в тех случаях, когда приемлемо допущение о постоянстве интенсивности напряжений <тг по объему деформиру­ емого тела, т. е. в большинстве случаев приближенных расчетов процессов горячей обработки, а также в некоторых отдельных случаях процессов холодной обработки, не связанных с резко выраженной неоднородностью деформации по объему тела, рас­ пределение напряжений зависит не от конечной деформации, а только от малой деформации, соответствующей переходу в рас­ сматриваемую стадию процесса из предшествующей близкой.

Любой процесс конечной пластической деформации можно рассматривать как результат нескольких последовательных про­ цессов малой деформации (ступеней данной конечной деформации). При этом принимается допущение, что на каждом отдельном переходе (ступени) деформация достаточно мала, чтобы можно было считать перемещения материальных элементов рассматрива­ емого тела малыми по сравнению с размерами этого тела, а их производные по координатам малыми по сравнению с единицей.

Одновременно принимается допущение, что пластические (ос­ таточные) слагаемые деформации на каждом переходе достаточно велики, чтобы можно было пренебречь по сравнению с возмож­ ными значениями соответствующих приращении упругих слага­ емых деформаций. Эти допущения позволяют воспользоваться математическим аппаратом для определения малых пластиче­ ских деформаций и даже несколько упростить его, принимая условие несжимаемости, которое в данном случае может быть

На базе теоретических выводов предшествующих исследова­ телей вышеупомянутыми авторами доказывается, что истинное напряженное состояние рассматриваемого тела соответствует минимуму полной энергии, затрачиваемой на осуществление процесса его пластической деформации или отдельного перехода этого процесса..

Как известно, затрачиваемая на пластическое формоизменение механическая работа определяется двумя слагаемыми: во-первых, суммой произведений удельной работы, расходуемой на деформа­ цию каждой отдельной частицы деформируемого тела, на объем этой частицы и, во-вторых, суммарной работой, затрачиваемой на преодоление сил контактного трения. При малой деформации и постоянном по объему деформируемого тела значении интен­ сивности напряжений ог первое слагаемое определяется значением тройного интеграла, распространенного по всему объему дефор­ мируемого тела

W W

де при допущении несжимаемости

(ux, uy, иг — переменные по объему тела составляющие вектора перемещения).

Второе слагаемое — механическая работа, затрачиваемая на преодоление сил контактного трения, определяется значением двойного интеграла, распространенного по всей поверхности контакта деформируемого металла с инструментом,

тельное перемещение деформируемого вещества по поверхности контакта. Когда рассматривается элемент поверхности контакта деформируемого вещества с неподвижной деталью формоизме­

Если, например, рассматривается элемент поверхности детали, переместившийся за время протекания рассматриваемой малой

Таким образом, вариационные методы решения задач обработки металлов давлением сводят эти задачи к отысканию таких вы­

которые, удовлетворяя условию несжимаемости и граничным условиям задачи, соответствовали бы минимуму значения сум­ марной работы

A = Ai + A2 = ot J JJ e id w + cc y f j j “к <*s.

W S

При допущении постоянства по объему деформируемого тела значения интенсивности напряжений и при обозначениях

Задача эта относится к сложным задачам вариационного исчис­ ления.

Авторы, рекомендующие применение вариационных методов для решения задач обработки металлов давлением, обычно ис­ пользуют в своих расчетах так называемый метод Ритца.

Метод Ритца заключается в том, что выражения (4.39) составляющих вектора перемещения определяются не из основных дифференциальных уравнений вариационного исчисления (урав­ нения Эйлера—Остроградского), а задаются до некоторой сте­ пени произвольно и притом так, чтобы они удовлетворяли условию несжимаемости и основным граничным условиям конкретной задачи, а также чтобы при этом они содержали один или несколько неопределенных параметров.

После подстановки выражений (4.39) в правую часть равенства (4.41) [при обозначениях (4.35), (4.37) и (4.40)1 находим выраже­ ние / (4.41) как функцию неопределенных параметров. Задача сводится к определению минимума этой функции. Приравнивая нулю производные выражения / по каждому из неопределенных параметров, получаем число уравнений, равное числу неизвестных параметров. В результате решения такой системы уравнений имеем численные значения искомых параметров в выражениях (4.39) .

Таким образом, вариационные методы решения задач обра­ ботки металлов давлением сводятся в основном к отысканию выражений (4.39), по возможности точно аппроксимирующих истинные зависимости перемещений от координат.

Понятно, что если бы эти выражения были нам известны, то в случае малых деформаций выражения всех компонентов девиатора напряжений можно было бы определить из равенств, кото­ рые при условии несжимаемости (4.38) приводятся к виду, совер­ шенно аналогичному равенствам (4.18), или при обозначениях (4.40) к виду: