Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Можно убедиться в том, что линии постоянных значений пере­ менных п и С являются в то^же время линиями скольжения.

С этой целью заметим, что систему равенств (4.14) можно решить относительно неизвестных dx и dy. При этом получаем:

Таким образом, убеждаемся в том, что линии постоянных зна­ чений г) и £ образуют во всех своих точках угол ± я /4 (т. е. ±45°) с направлением, составляющим -4 а с осью О Х , т. е., как это следует из равенств (4.12), с направлением одной из главных осей напряженного состояния в соответствующей точке. Следо­ вательно, эти линии являются линиями скольжения.

Теперь поставим перед собой задачу построения сетки линий скольжения в конкретном случае, т. е. при заданных граничных условиях.

В общем случае задача построения сетки линий скольжения решается при помощи применения так называемых рекуррентных формул. Допустим, известны значения а и р двух точках Л и В напряженного тела, претерпевающего плоскую пластическую деформацию, т. е. для точки А известны значения хА, уА, аА, %А, а для точки В — хв, ув, ав и %в. Рекуррентными формулами называют формулы, по которым вычисляют координаты точки С или D пересечения линии скольжения, проходящей через точку Л, с одной из двух взаимно перпендикулярных линий скольжения, проходящих через точку В. Такие формулы известны в литературе. Наша задача состоит в том, чтобы вывести рекуррентные формулы так, чтобы по ним можно было легко и точно вычислить коорди­ наты узловых точек сетки линий скольжения. Рекуррентные формулы выводятся из равенств (4.17) и (4.19).

Допустим, что точка С располагается по линии скольжения постоянного значения переменной г), проходящей через точку Л, и на линии скольжения постоянного значения переменной £, проходящей через точку В. В таком случае

Хс + <*с = h М = Х а + ал! %с ~ «с = h (£в) = 1в ~ <*в

Вынося среднее значение множителя ctg (а — я/4) за знак инте­ грала и вводя обозначения

Система уравнений (4.22) может быть решена относительно неиз­ вестных хс и ус. Однако удобнее преобразовать ее к следующему виду:

=— — ~2 ~ sin (авс — я/4) +

+УАщ2 УВ COS (а йс — я/4).

Решая систему уравнений (4.23) относительно неизвестных раз­

После очевидного тригонометрического преобразования послед­ ние равенства принимают вид:

Рекуррентные формулы (4.24) проще по написанию и точнее формул, рекомендуемых В. В. Соколовским [74]. Значения ■4 аас и 4 иВс могут быть ;легко вычислены по формулам (4.20)

и(4.21).

Всилу равенств (4.21) имеем:

<хАс авс — (ал <*в)/2; аАс Н- авс ~ (ал ав)/2 4- ас- (4.25)

Подставляя в последнее равенство вместо ас его выражение (4.20), получим

Координаты точки D, расположенной на пересечении характе­ ристик ni = const = TJb; • £ = const = определяются равен­ ствами:

Х л 4 ~ Х в _ _ Х ^ ~ Х в s*n (а АР 4~ юв р )

из двух точек пересечения линий скольжения (С или D) окажется вне габаритов тела. Очевидно, что такая точка нам не нужна, и мы будем для каждой пары контурных точек вычислять коор­ динаты только одной узловой точки.

Если на контурной кривой %сохраняет постоянное значение (что часто имеет место на практике), т. е. если контурная кривая является изобарой (кривой постоянного гидростатического дав­ ления), то удобно спаривать так контурные точки, чтобы для всех пар иметь равные значения разности ад — а в . В этом слу­ чае получаемые расчетом узловые точки также расположатся на одной изобаре, соседней с контурной. Спаривая затем таким же образом полученные узловые точки, мы найдем новые узловые точки, также расположенные на одной изобаре, и т. д.

Итак в результате последовательных вычислений мы заполним изучаемую область не только сеткой линий скольжения, но и изобарами. Таким образом, картина напряженного состояния рассматриваемой области будет при этом представлена более наглядно.

3. Осесимметричная задача пластического течения материала

Осесимметричное или приближенно осесимметричное пласти­ ческое формоизменение играет чрезвычайно большую роль в раз­ личных типовых процессах технологии обработки материалов

давлением.

В данном случае система уравнений (3.20) приводится к виду: