Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

характеризуемые микронеоднородной структурой, а в качестве модели неоднородной сплошной среды, адекватной квазиоднородному телу, может быть принята такая, в которой полагается, что напряжения, деформации и параметры, характеризующие свойства среды, являются случайными функциями координат.

Рассмотрим абстрактную микронеоднородную среду, которую назовем «поликристаллической», поскольку каждой геометриче­ ской точке среды соответствует «физическая» точка v, представ­ ляющая зерно (кристаллит) металлического тела.

Компоненты напряжений, деформаций и постоянные упру­ гости в точке среды суть случайные величины, заданные на мно­ жестве точек, принадлежащих микроскопически элементарной окрестности данной точки среды.

Таким образом, тензор деформаций и перемещений, когда тело имеет микронеоднородную структуру, задаваемую статистиче­ ски, определяется случайными полями (случайная функция не­ скольких переменных).

Вобщем случае неоднородного поля случайных деформаций

вмикронеоднородной среде можно выделить малую окрестность

данной точки V, где поле будет статически однородным в широ­ ком смысле (средние деформации постоянны, а момент второго порядка будет зависеть только от сдвига).

Деформированное состояние малой окрестности данной точки тела описывается симметричным тензором второго ранга ег/, имеющим в элементах микроструктуры (в зернах) случайные составляющие. Деформации структурных составляющих поли­ кристаллов (микродеформации или деформации 2-го рода по классификации Давиденкова—Фридмана), возникающие при на­ гружении поликристаллических тел, можно рассматривать как шестимерные тензорные случайные функции трех координат точек тела, задаваемых в общем случае многомерными законами совместного распределения всех шести составляющих тензора.

В прикладных задачах случайные функции можно задавать моментными функциями первого и второго порядка [53], мате­ матическими ожиданиями М [х (t) ] и корреляционными функци­ ями Кх (tu t2). Для теории важным частным случаем является нормальная функция, которая полностью определяется заданием математического ожидания и корреляционной функции. В ра­ ботах Волкова [10] показано, что пластические микродеформа­ ции распределяются по закону, близкому к нормальному.

Моментные функции первого порядка деформаций при обыч­ ных экспериментальных условиях нагружения, когда внешние силы детерминированы, совпадают с макроскопическими деформа­ циями (деформациями 1-го рода).

Моментные функции второго порядка деформаций представ­ ляют собой математическое выражение усредненных взаимодей­ ствий между микродеформациями как в соседних, так и в уда­ ленных друг от друга точках. В исследованиях, проведенных

276

на алюминии, меди и на армко-железе, экспериментально уста­ новлено свойство локальности корреляционных функций пла­ стических микродеформаций. На расстояниях, равных примерно четырем-пяти средним размерам зерна (в зависимости от дефор­ мации), микродеформации практически не коррелированы, а слу­ чайная функция превращается в вырожденную, которая опре­ деляется одномерной функцией распределения.

Эти выводы согласуются с найденным Ильюшиным [33] пара­ метром ориентации зерен I æ 8,5dcp, уточняющим порядок пе­ рехода от рассмотрения металлического тела, состоящего из малых дискретных частиц, к рассмотрению его как сплошного тела, с возможностью применения к нему анализа бесконечно малых.

Итак, в качестве б а з ы микроструктурного метода принят размер ро случайной секущей, пересекающей линии границ зерен в 11 точках. Эту базу можно считать нижней границей применимости модели однородной сплошной среды. К материаль­ ной частице таких размеров применимы положения дисциплины СМПД о деформированном состоянии материальной частицы (преобразования сферы в эллипсоид).

По направлению и значению главных полуосей эллипсоида можно установить направление главных осей деформации и опре­

В общем случае конечной деформации направление главных осей деформации неизвестно. Для нахождения значения и на­ правления главных осей эллипсоида воспользуемся положениями аналитической геометрии о проведении к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка.

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

«п* 2 + а2ъУ2+ «33Z2 + 2а1гху + 2a23yz -|-

В случае, -если уравнение (13.17) задано относительно декар­ товой прямоугольной системы координат, следующие выражения являются инвариантами поворота и переноса декартовой прямо­ угольной системы координат:

а21 а22 # 2 3

при помощи поворота и переноса прямоугольной системы коор­ динат может быть приведено к следующему виду:

причем в силу условия | Ях | «s | Я21 ^ | Я31, будем иметь а >

> b > с.

Для определения расположения эллипсоида, каноническое уравнение которого уже известно и за начало координат взят центр поверхности, следует знать координаты направляющих векторов осей системы, в которой поверхность имеет канониче­ ское уравнение.

Координаты направляющих векторов осей канонической си­

278