Файл: Системный подход в современной науке..pdf

17) Если исследователь или оператор, активный агент, сам не яв­ ляется частью иерархизированной системы, а только лишь какой-ли­ бо сети, то его собственное состояние и действия оказывают непо­ средственное влияние на сеть или соты. В сложных системах это со­ стояние или действия могут блокироваться или демпфироваться уровнями строения, иерархичностью системы.

Сравнение можно при желании продолжить и углубить. Но важнее в контексте нашей статьи то, что теоретическое описание сетей и сот (их моделей) можно получить из формализованных описаний подлин­ ных систем, включая сложные, методами редукции значений пара­ метров, характеристических свойств и отношений. Образцом воз­ можностей такого редуцирования будет, к примеру, выведение опи­ саний, законов и моделей статики из кинематики и динамики в рам­ ках классической механики. Механизмы такой редукции и соответст­ вующие результаты в виде теоретических описаний различных все более простых систем из абстрактного обобщенного описания (моде­ ли) сложной системы нами были показаны8. Разумеется, в целом эти вопросы нуждаются в дальнейшей самостоятельной проработке и уг­ лубленном анализе. Здесь они указаны всего лишь в качестве осно­ вы для преодоления ограниченности и узости описания и объяснения таких объектов, каковы сетевые и сотовые формации разного рода.

О понятии «системософия»

На наш взгляд, термином, охватывающим все перечисленные на­ правления системного анализа и исследований, а также сетевого анализа, может быть «системософия». Э. Ласло обозначил все это предметное поле как «системизм»9. Но термином «системизм» удоб­ нее (и точнее) было бы обозначать системный стиль мышления и си­ стемный подход в науке. Конечно, более точным было бы все, что мы уже перечисляли, обозначить термином «системология» (в деканатах по наивности так и делают), однако этот термин был уже занят, начи­ ная с работ Д. Боулдинга, М. Месаровича и др., у нас — Б. Флейшмана и др., для обозначения математизированной ветви ОТС. Непосред­ ственно прикладное направление стали называть «системотехни­ кой». Термин же «системософия», на наш взгляд, отвечает требова­ ниям адекватного отображения предмета и сути всех системных ис­ следований и подходов, включая сети и соты. Он исторически укоре-

нен в науке через свои части. Так, элемент его «-софия» включен в не­ которые термины для обозначения наиболее общих по масштабу уче­ ний, таких, как философия, теософия, а в христианском богосло­ вии — софиелогия и др.

Мы предлагаем нормировать понятие «системософия» как науку и как термин для учебного предмета в вузах, чтобы прекратить пута­ ницу и в головах, и в программах работы занимающихся системны­ ми проблемами, как ученых, преподавателей и администраций вузов, так и изучающих эти проблемы студентов и аспирантов. Соответст­ венно исчезла бы путаница в библиографиях и в каталогах, в изда­ тельских проспектах, в информации насчет системных исследований. Читателям все это легче было бы найти в библиотеках и в Интерне­ те (там тоже путаница). Читатель тогда без труда понимал бы, что си­ стемософия — это вся в совокупности премудрость о системах, се­ тях и сотах любого рода.

Мы сами остро почувствовали необходимость в термине «систе­ мософия», работая над теорией бихевиоральных систем (бихевиористикой) и их оптимизации (оптимологией). Надеемся, что «системщи­ ки», или, лучше, — «системософы», когда отмечается 100-летний юбилей Берталанфи и подводятся итоги системных исследований прошедшего века, поддержат наше предложение.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Разумовский О.С. Бихевиоральные системы. Новосибирск, 1993.

2 Моисеев Н.Н. Тектология Богданова — современные перспективы // Вопро­ сы философии. 1995. № 8.

3 Садовский B.H. Основания общей теории систем. М., 1974.

4 Там же.

5 КлирДж. Системология. Автоматизация решения системных задач. М., 1990. С. 14.

6 Разумовский О.С. Оптимология. 4.1. Общенаучные и философско-методоло­ гические основы. Новосибирск, 1999. С. 193-194.

7 Здесь и ниже см.: Sattler R. Biophilosophy: analytic and Holistic perspectives. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer Verlag, 1986.

8 Разумовский O.C. Закономерности оптимизации в науке и практике. Новоси­ бирск, 1990.

9 Ласло Э. Основания трансдисциплинарной единой теории // Вопросы фило­ софии. 1997. № 3.

А.П. Левин

ЭНТРОПИЙНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ВРЕМЕНИ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ*

Все реальные системы при формальном описании эксплицируют­ ся структурированными множествами, поэтому применение субституционной конструкции времени требует научиться подсчитывать ко­ личество замененных элементов во множествах со структурой.

Количество элементов структурированных множеств

Категории вместо множеств. Применение математического фор­ мализма в теоретическом знании начинается с подбора в качестве элементарного объекта теории определенным образом структуриро­ ванного множества. Например, экологическое сообщество из особей различных видов удобно описывать структурой множества с разбие­ ниями, где классы соответствуют слагающим сообщество популяци­ ям. Понятие близости— удаленности точек в эмпирическом простран­ стве описывается топологической математической структурой. Сово­ купность состояний атома можно описать векторами бесконечномер­ ного гильбертова пространства или равносильным образом — полем бесконечных матриц.

В математике создан язык для описания произвольных структури­ рованных множеств— теория категорий и функторов. Элементарным конструктом теории категорий является не «застывшее» состояние естественного объекта (каким предстает объект в теории множеств), а преобразование, «движение» объекта, на языке теории катего­ рий — морфизм. Категория — понятие более общее, чем множество: только некоторые из категорий при определенных условиях становят­ ся совокупностями множеств.

Мощности вместо количеств. Последовательное изложение пред­ ставлений о кардинальной структуре множеств и возможных ее обоб­ щениях содержится в книге, специально посвященной естественно­

научным приложениям теории категорий1, там же доказываются все утверждения, на которые опирается дальнейшее, по возможности не­ формализованное, изложение.

Есть два способа сравнить количество элементов в множествах. Пусть нам, к примеру, необходимо выяснить, хватит ли стульев для оказавшейся в комнате группы людей. Можно подсчитать отдельно количество стульев, отдельно — количество людей и сравнить два по­ лучившихся числа. Можно же попросить, чтобы каждый человек сел на один стул. После того как все люди усядутся, мы, не зная ни коли­ чества стульев в комнате, ни количества людей, тем не менее точно сможем сказать, какое из этих количеств больше: в зависимости от того, останутся ли свободными стулья или — стоящими люди. В ма­ тематике такой способ сравнения множеств называется установле­ нием соответствия (отображения) между множествами. Второй спо­ соб сравнения количеств фундаментальнее первого: конструкция числа элементов строится на основе установления соответствий меж­ ду множествами.

Будем задавать соответствие между элементами множеств стрел­ ками. Если из каждого элемента множества А выходит единственная стрелка и к элементам множества В приходит не более чем одна стрелка (рис. 1), то такое соответствие из А в В называется инъекци­ ей. Когда существует инъекция из А в В (на каждом стуле сидит один человек и никто не занял несколько стульев сразу), мы говорим, что количество элементов в множестве А меньше или равно количеству элементов в множестве В. Если существует инъекция как из А в В, так и из В в А, то количество элементов в этих множествах одинако­ во. Поскольку с помощью соответствий можно сравнивать не только конечные, но и бесконечные множества, вместо термина «одинако­ вое количество элементов» используют термин «равномощность» и термин «мощность» — вместо понятия «количество элементов». Натуральные числа — мощности конечных множеств — становятся названиями соответствующих классов равномощных друг другу со­ вокупностей.

Сила структур. Приведу примеры структурированных множеств.

1) Множества с разбиениями. Указываются признаки элементов множества, по которым их следует считать эквивалентными. Группы эквивалентных элементов образуют непересекающиеся классы, на которые разбивается исходное множество. Сообщество живых ор­ ганизмов, принадлежащих одному местообитанию, например все

В

Рис. 1. Инъекция из множества А в множество В.

особи пруда, по целому набору признаков разделяются на популяции организмов, принадлежащих одному биологическому виду.

Множество натуральных чисел разбивается на классы чисел, да­ ющих при делении, например, на 3, одинаковый остаток: N = ко u ki и кг, где ко = {3, 6, 9, 12,...}, ki = {1 ,4 , 7, 10,...} и к2 = {2, 5, 8, 11, ...}.

2)Множество с законами композиции. Для любых двух элементов

аи b этого множества определен третий элемент с, называемый их композицией.

В множестве целых чисел для двух любых элементов определен третий — их сумма.

В алгебре логики с двузначным пространством истинности {исти­ на (и), ложь (л)} определен ряд логических операций (законов компо­ зиции). Например,

3) Метрические пространства. Для любых двух элементов а и b определено число S(a, b) такое, что S(a, а) = 0, S(a, b) = S(b, а) и S(a,

с) < S(a, b) + S(b,c).

Для точек а и b в трехмерном евклидовом пространстве опреде­

Для структурированных множеств из всех возможных соответст­ вий выделены те, которые сохраняют структуру множества. Эти со­ ответствия называют морфизмами структуры.

Для экологического сообщества морфизмами, сохраняющими разбиение на виды, будут преобразования, состоящие в рождении или смерти особей. При этих преобразованиях биологический вид пе­ реходит в себя.

Для произвольных множеств с разбиениями по определению мор­ физмами служат соответствия, не перемешивающие классы эквива­ лентных элементов. Так, для отношения делимости чисел морфиз­ мом будет числовая функция, заключающаяся в умножении на любое натуральное число у = пх (например, если xi и Х2 имели одинаковый остаток при делении на 3, то соответствующие y^ и у2 будут также иметь одинаковый остаток).

Для закона сложения целых чисел морфизмом будет, например, преобразование, состоящее в замене знака числа у = > -х :а + Ь = с=> -а + (-Ь) = -с.

Одним из морфизмов метрической структуры является преобра­ зование вращения в пространстве — вращения сохраняют метрику пространства.

Количественное сравнение между собой неструктурированных множеств легко обобщить на множества, обладающие одинаковыми структурами. Структура множества А считается слабее структуры множества В, если существует инъективный морфизм структуры из А в В. Например, разбиение множества А на рис. 2 оказывается сла­ бее разбиения множества В.

Так же как сравнение с помощью инъекций неструктурированных множеств порождает понятие количества элементов во множестве (натуральные числа, мощности), так и сравнение структурированных

Рис. 2. Существование инъективного морфизма структуры множеств с разбиениями означает, что структура множества А слабее, чем структура

множества В.

множеств с помощью морфизмов порождает структурные числа структурированных множеств. По количеству элементов мы можем сравнивать любые множества, так как для любых двух множеств вы­ полняется принцип трихотомии: количество элементов в А меньше, чем в В; или количество элементов в А больше, чем в В; или количе­ ство элементов в А равно количеству элементов в В. Другими слова­ ми, всегда существует инъекция или из А в В, или из В в А, или и та и другая. По структурным числам структурированные множества упо­ рядочены лишь частично — существуют пары структурированных множеств, для которых ни прямой, ни обратной инъекций, сохраняю­ щих структуру, не существует. На рис. 3 приведен пример множеств с разбиениями, между которыми нет инъективных морфизмов. Так что если структурные числа положить в основу параметризации изменчи­ вости, то получающееся таким образом время будет выглядеть экзо­ тически: его моменты упорядочены не линейно, а лишь частично.

Функторное сравнение структур. Частичная упорядоченность структурных чисел и возникающая порой техническая трудность об­ наружения инъективных морфизмов для некоторых структур застав-

K f •

А В

Рис. 3. Не существует инъективного морфизма структуры множеств с раз­

биениями между А и В.

ляют продолжить поиск путей количественного сравнения структури­ рованных множеств. Путь, на котором поиск мог бы оказаться удач­ ным, хорошо разработан в математике. Речь идет о представлении одних математических структур другими математическими структу­ рами. Свойства вращения геометрического пространства можно эф­ фективно изучать с помощью умножения определенных матриц. Вся теория меры, в частности измерение длин, площадей и объемов в геометрии есть пример количественной параметризации, основан­ ной на представлении геометрических структур в числовые структу­ ры анализа.

Равносильные математические описания нередки в физике: со­ стояния атома в квантовой механике могут описываться векторами бесконечномерного гильбертова пространства (подход Шредингера) и бесконечными матрицами (подход Гейзенберга).

Поскольку в интересующем нас аспекте при количественном срав­ нении одинаково структурированных множеств нам приходится иметь дело не только с самими структурированными множествами, но и в большой степени с морфизмами их структуры, дальнейшее из­ ложение удобно вести на языке математической теории категорий, который специально предназначен для изучения совокупностей, ку­ да на равных правах входят структурированные множества и их мор­ физмы.

Категория включает класс объектов и множества морфизмов, за­ данных для некоторых (или всех) пар объектов. Для морфизмов за­

даны закон композиции и ряд аксиом, делающие их похожими на ма­ тематические соответствия между множествами. Наиболее нагляд­ ные примеры категорий — это совокупности всех одинаково структу­ рированных множеств:

—в категории упорядоченных множеств, где объекты — множест­ ва с отношением порядка, морфизмами служат монотонные (возра­ стающие и убывающие) соответствия между множествами;

—в категории групп морфизмы между объектами категории — группами — есть соответствия, сохраняющие закон композиции

иединичные элементы групп;

—в категории топологических пространств, где объекты — мно­ жества, для элементов которых задано отношение близости, морфиз­ мы есть непрерывные соответствия, переводящие близкие элементы одного топологического пространства в близкие элементы другого пространства;

—среди всевозможных категорий присутствует и категория всех множеств, объекты категории — множества, морфизмы — соответ­ ствия между множествами.

Функтор — это отображение одной категории в другую, при кото­ ром объекты переходят в объекты, морфизмы — в морфизмы и обя­ зательно сохраняется композиция морфизмов. Функторы оказывают­ ся представлением структур одной категории структурами другой.

Выделенные морфизмы категорий порождают упорядочение ее объектов. Так, в предыдущих абзацах мы сравнивали структуриро­ ванные множества с помощью инъективных морфизмов. Если функторное представление монотонно относительно упорядочения в кате­ гориях («структура объекта А сильнее структуры объекта В в катего­ рии Si» влечет «структура объекта F(A) сильнее структуры объекта F(B) в категории S2 », где F — функтор из Si в S2), то предъявление монотонного функтора составляет функторный метод сравнения структур: об упорядочении объектов А и В в какой-либо категории со сложной и непривычной структурой можно судить по упорядочению их образов F(A) и F(B) в категории с простой или хорошо изученной структурой объектов (в цитированной выше книге приведены доста­ точные условия монотонности функтора).

Инварианты структур. Функтор из произвольной категории струк­ турированных множеств в категорию неструктурированных мно­ жеств, сопоставляющий объекту А множество всех морфизмов Нот(Х, А) из фиксированного объекта X в объект А, оказывается мо-