ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.02.2024
Просмотров: 320
Скачиваний: 2
дующим образом: «...Деление целого должно быть таково, чтобы по частям наша мысль восходила к целому, поняла целое, как целое именно этих частей. Но их всего две. Стало быть, мера сравнения ча стей должна быть и мерой целого при сравнении с одной из частей. Эта последняя часть должна быть соединительным звеном для мыс ли при переходе от другой части к целому. Следовательно, она долж на быть большею, чем другая часть, во столько же раз, во сколько це лое больше её. Надо найти меру изоморфного отображения целого на свою большую часть такую, чтобы она равнялась величине отоб ражения большей части на меньшую»12.
Таким образом, получаем соотношение: m :M = M : ( M + m). Обо значив правую часть этого равенства через Ф, получим квадратное уравнение: Ф2 + Ф - 1 =0, корнями которого являются:
<3>i = 1 + ^ = 0,618 ... и |
ф2= |
1 ^ = - 1 618.. |
2 |
|
2 |
Введём теперь величину 0 = ф '= — |
, т. е. 0 |
является величиной, |
Ф |
|
|
обратной к Ф. В математическом смысле это означает введение «об ратного» двойственного к «прямому» пространства, в котором пря мая, описываемая уравнением у = Ф, превращается в гиперболу
У* |
= |
|
~ |
= © |
И наоборот, в «обратном» пространстве прямая |
V |
= |
0 , |
превращается в «прямом» пространстве в гиперболу |
||
Y* = ^ |
= Ф |
. Нетрудно доказать, что 0 удовлетворяет уравнению |
|||
© 2 - |
0 |
- |
1 = 0 . Оно, разумеется, отличается от уравнения для Ф (Ф2 |
||
+ Ф - 1 |
= 0), но внимательный читатель уже, наверное, догадался, что |
||||
в своём пространстве, двойственном к пространству, где существует Ф, уравнение для © будет точно таким же.
Корнями уравнения 0 2 - 0 — 1 = 0 являются:
01 = ^!L =1,618... |
и |
0 2 =-!— ^ = -0,618. |
2 |
|
2 |
Итак, подытожим. Мы начали наше рассуждение, желая получить число, которое бы сохранялось неизменным при переходе от рассмот рения отношения между целым к его большей части к отношению боль шей части к меньшей этого целого. При этом в неявном виде мы при няли следующие очевидные допущения, что М > m и что М + m = Т. Или, другими словами, мы внутри целого Т, выделив в нём две час ти (первый минимальный шаг расчленения), задали два правила рас членения; первое из них задаёт структуру, «положенность» в прост ранстве и времени, закон «порядка» — оно утверждает, что кроме точки «т», есть точка «М», отдалённая от «т» и что есть характери стика «порядка», связанная с этой удаленностью. Второе условие на кладывает функциональное ограничение на эту удалённость, требуя, чтобы «т» и «М» оставались внутри целого (закон «композиции»). Кроме того, в качестве «линейки» для измерения целого его частью мы взяли отношение М : т . В обратном пространстве мы вместо этой «линейки» использовали обратную, то есть отношение m М. Таким образом, мы заменили отношение порядка на обратное, знак «боль ше» (>) заменился на знак «меньше» (<). Закон «композиции», каза лось бы, не изменился, ведь целое Т по-прежнему включает в себя m и М, но это уже не прежние m и М, а описываемые с позиции «пря мого» пространства, и поэтому мы должны были бы их снабдить спе циальными значками, например т * и М*.
Рассматривая фундаментальное для общей теории систем поня тие иерархического порядка, Берталанфи отмечал, что такая иерар хия проявляется как в структурах, так и в функциях. В конечном сче те, отмечал он, структура (т. е. порядок частей) и функция (т. е. поря док процессов) могут быть одним и тем же. Мы утверждаем, что на ше понимание двойственности позволяет сделать вывод, что слова «могут быть одним и тем же» надо дополнить «но в разных простран ствах». Чтобы составить правильное понимание о целом, надо приме нить двойственное описание — структуру описать на языке функций
ифункцию на языке структуры. В математике такие теории существу ют. Например, принцип двойственности для теории категорий утверж дает, что некоторое высказывание истинно тогда и только тогда, ког да в этой теории истинно двойственное высказывание. Принцип двой ственности позволяет выделить формальные связи между понятиями
ирезультатами, которые в конкретных категориях кажутся не завися щими друг от друга. В частности, с помощью теории категорий была найдена двойственная связь между наблюдаемостью и достижимое-
тью системы. Наблюдаемость понимается в смысле возможности оп ределить состояние системы по выходу. Достижимость — в опреде лении множества достижимых состояний. Система представляется как пара двойственных систем таких, что достижимость одной двой ственна (в смысле категории) наблюдаемости другой.
В эволюционной лингвистической модели Дж. Николиса13 самоор ганизующиеся системы рассматриваются как открытые «пирамиды» иерархически упорядоченных «платформ», которые можно разделить на две категории: энергетическая и структурная «аппаратурная реали зация» и информационное и функциональное «программное обеспе чение». Центральная проблема состоит в выяснении того, каким обра зом символические информационные взаимодействия возникают из энергетических интерпретаций. Или другими словами, проблема со стоит в создании «интерфейса» между структурами нашей системы («аппаратурной реализации»), в которой динамика осуществляется по средством энергетических взаимодействий, и ее функциями («про граммным обеспечением»), в которых динамика осуществляется по средством последовательности взаимозависимых символов. Но если в случае энергетических взаимодействий на структурных уровнях по существу построена классификация и достигнуто понимание (в той об ласти, где они подчиняются классической электродинамике и кванто вой механике), то природа символических взаимодействий, как пишет Николис, на функциональных уровнях пока не установлена.
Наглядная модель двойственности в виде двух уравнений для зо лотого сечения позволяет выдвинуть гипотезу для рассмотрения фун даментальной проблемы соотношения структуры и функции. Наша гипотеза, опирающаяся на теорию двойственности, заключается в следующем: «прямая», или «видимая», ветвь двойственности отно сится к структурной части при рассмотрении объекта, а «обратная», или «невидимая», часть относится к функциональной части двойст венности. Так называемая «невидимая» ветвь не является иллюзией или математическим приемом; она существует, но в нашем «прямом» пространстве энергетических взаимодействий она представлена как символический (информационный) динамический процесс. Видимый и невидимый миры можно также рассматривать как внешний и внут ренний, и тогда динамика объекта определяется соединением и вза имной дополнительностью внешних и внутренних частей объекта, а последние допускают дальнейшее расслоение. Нашим опытным данным доступна лишь внешняя часть.
Для лучшего понимания того, как все это работает, вернемся к рассмотрению тепловых машин, которое позволяет придать смысл понятию двойственности. Отметим, что задача о пропорциональном делении целого на две части допускает следующее обобщение14. Ес ли ввести параметр р, который может принимать произвольные це лочисленные неотрицательные значения, то целое можно разделить на две неравные части так, чтобы отношение меньшей части (а)
кбольшей (Ь) равнялось бы р-й степени отношения большей части
кцелому:
b I a + b J
Это требование удовлетворяется при выполнении условия
Ь
где величина срр представляет собой единственный положительный корень уравнения
(ppP+1+ фр = 1
и называется обобщенным золотым сечением или золотым р-сечени- ем.
Поскольку величина р принимает бесконечно много значений, по стольку уравнение задает бесконечное число вариантов пропорцио нального деления целого. При р = 0 уравнение имеет решение:
1
которое соответствует классической дихотомии, т. е. делению цело го пополам. При р = 1 уравнение принимает вид:
ф12 + ф1 = 1,
из которого следует
Ф1 = ф.
нто соответствует делению целого по золотому сечению и характе ризует последнее как частный случай золотого р-сечения, отвечаю щий значению р = 1.
Можно показать, что при р > 0 справедливо соотношение
причем
lim Фр= 1
Покажем теперь, что при определенных соотношениях между дву мя ветвями двойственной структуры идеальной тепловой машины («тепловая машина — холодильная машина») в цикле Карно могут возникать пропорции обобщенного золотого сечения. Действитель но, в случае справедливости соотношения
X = т|Р
уравнение для Г| принимает следующий вид: т|Р+1 + г| = 1, т. е.
Л = Ф р .
если холодильный к.п.д. цикла Карно равен р-й степени теплового к.п.д., то последний при этом представляет собой золотое р-сечение.
Теперь получаем: X = фрР
и
X = фрР+1,
т. е. условием р-степенной зависимости холодильного к.п.д. цикла Кар но от его теплового к.п.д. является равенство отношения температур холодильника и нагревателя идеальной тепловой машины (р + 1)-й сте пени золотого р-сечения.
Из приведенных формул также следуют соотношения
О < ( р / * ' < -
р2
И
Рис. 1. Качественный вид функциональной зависимости к.п.д. цикла Карно от параметра р золотого р-сечения.
которые свидетельствуют о существовании двух ветвей двойствен ной структуры процесса возникновения золотого р-сечения в цикле Карно (см. рис. 1).
Указанная структура характеризуется тем, что при любом фиксиро ванном р (р > 0) во всем интервале возможных значений величины т|
0 < г| < 1
существуют два таких ее значения, которые связаны с золотым р-се чением, причем одно из них равно самому золотому р-сечению, а дру гое — его (р + 1)-й степени15. Эти значения при р = 0 совпадают друг
сдругом и с серединой интервала (вырожденный случай), а с рос том р (при р > 0) удаляются друг от друга и от середины указанного интервала (69) (которая продолжает оставаться их средним арифме тическим), приближаясь к его границам и асимптотически совпадая
сними в пределе (р —» °°).
При р = 1 эти два значения равны соответственно 0,618... и 0,382 = (0,б18)2, что в сумме дает единицу. Вспомним теперь, что Т| по сво
ему физическому смыслу показывает, какая часть производимой рабочим телом работы используется для его охлаждения. Почему же получилось два значения для величины т|? Это можно объяснить тем, что у нас есть, как мы уже знаем, две холодильные машины, которые «включаются» поочередно на двойственных ветвях цикла Карно. И если нам удалось за счет технологических ухищрений повысить к.п.д. нашей машины, то мы автоматически ухудшаем к.п.д. холо дильной машины Вселенной.
Структурные изменения во внешнем мире (работу) мы произво дим для того, чтобы изменить функциональную характеристику ра бочего тела — понизить температуру, что можно отметить аппарат ным средством нашего мира, например градусником. Но одновремен но выбрасываемое во Вселенную тепло ухудшает ее структурные свойства (повышается энтропия), что может вызвать в ней функцио нальные изменения в тех ее точках, где концентрируется это струк турное ухудшение.
Двойственность. Эволюционные модели. Приведем некоторые факты и соображения, подтверждающие логику нашего изучения двойственности. Двуликий Янус биологии — структура и функция. По мнению Гамалея16, развитие структур детерминировано генетиче ски, реализация функций — экологически. Генетически наследуемые структуры выполняют в эволюционном развитии стабилизирующую роль, закрепляя пройденный путь, а экологически зависимые функ ции — раскачивающую, обеспечивающую поиск направления движе ния сегодня. Путем участия обоих регуляторных механизмов достига ется совмещение направленной (прогрессивной) и адаптивной состав ляющих эволюции в точке перехода прошлого в будущее. Влияние структуры на функционирование понятно; ей задан диапазон подвиж ности, амплитуда функциональных колебаний; влияние функциональ ных колебаний на изменение структуры менее видно, ее механизм — постепенное накопление ничтожно малых сдвигов. Эти изменения хо тя и очень малы, но необратимо накапливаются. Биологическое время изменяется структурами, как вехами пройденного пути. По функцио нальным признакам воссоздание структуры практически невозможно.
Вертикальная детерминированность структурного развития и гори зонтальная — функционального дают основания поставить задачу по иска модели, отражающей четырехмерные отношение текущей эко логии и эволюции. С ее помощью можно, видимо, описать перекрест времени и пространства в биологической системе координат. Струк