Файл: Методические указания по выполнению практических заданий по дисциплине математика ( О. 7) для специальности 23. 05. 05 Системы обеспечения движения поездов.docx

, , :

Характеристическое уравнение: .

Корни характеристического уравнения: , , .

Собственный вектор для : , , ,

Собственный вектор для : , , ,

Собственный вектор для : , , .

Фундаментальная система решений:

Общее решение системы:

---

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

1. Запишите систему уравнений в матричной форме.

Ответ: .
2. Докажите, что функции являются решением системы уравнений при начальных условиях
3. Найдите общее решение системы

Ответ:
4. Найдите общее решение системы

Ответ:
5. Найдите частное решение системы

если

Ответ:
6. Найдите частное решение системы если

Ответ:
7. Найдите частное решение системы

если

Ответ:

Тема 9

Оригиналы и изображения

Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = е^аt, аR.

F(p) =

Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = sh(ωt) = , R.





Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = sin(ωt), R.

Формула Эйлера: е^i = cos + isin,е^–i = cos – isin.

Комплексное представление функции sin(ωt):

---

.

.

Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = t.

формула интегрирования по частям

Теоремы операционного исчисления

Пример. Найти изображение функции

f(t) – единичный импульс (рис. 5).

Представление единичного импульса в виде разности двух функций (рис. 2, 6): f(t) = 1(t) – 1(t – 1).

Рис. 5

1(t – 1) Рис. 6

Изображение функции Хэвисайда: 1(t)   .

Теорема запаздывания для функции Хэвисайда: 1(t – 1)   ;

.

Пример. Доказать теорему дифференцирования оригиналов:

   , если f(t)  F(p).

   формула интегрирования по частям

Тема 10

Изображения основных функций

Пример. Найти оригинал функции F(p) = .

– пункты 3, 4 таблицы 1.

Пример

---

. Найти оригинал изображения .


Числители дробей одинаковы: .

Система для нахождения значений неопределенных коэффициентов А, В:

Решение системы: , .

Разложение F(p) на элементарные дроби: .

Искомый оригинал (табл. 1):

Пример. Найти изображение ступенчатой функции, заданной на промежутке [0; +), четыре ступени которой представлены на рисунке 7.



Рис. 7
Аналитическое выражение функции f(t):

Изображение для f(t):

Слагаемые в скобках образуют убывающую бесконечную геометрическую прогрессию с знаменателем .

Сумма прогрессии:

Пример. Найти изображение импульсной дельта-функции Дирака если .

Рассмотрим прямоугольный импульс

при любом значении h.

Представление функции в виде разности двух функций Хэвисайда:  =  .

Изображение прямоугольного импульса: .

Изображение

---

равно пределу при h  0 изображения :

Тема 11

Решение дифференциальных уравнений

Пример. Найти решение уравнения y''–2y'– 8y = e^t, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0,y'(0) =0.

Изображение правой части уравнения: e^t ←  ;

изображение искомого решения: y(t) ← Y(p);

изображения производных: y'(t)  pY(p),y''(t) p²Y(p);

операторное уравнение: p²Y(p) – 2pY(p) – 8Y(p) = .

Решение операторного уравнения: Y(p) = ;
Разложение фнуции Y(p) на сумму элементарных дробей:

.

Частное решение д.у.:

Пример. Найти общее решение уравнения y'– 2y = e^t.

Назначим начальное условие: y(0) = с.

Изображение правой части уравнения: e^t  ;

изображение искомого решения: y(t) Y(p);

изображения производной: y'(t)  pY(p) – с;

операторное уравнение: pY(p) – с– 2Y(p) = .

Решение операторного уравнения: Y(p) = ;
разложение Y(p) на сумму элементарных дробей:



, где С = с + 1.

Общее решение д.у.:

Решение систем уравнений

Пример. Найти частное решение системы при начальных условиях

Частное решение системы:

---